中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步

第六节矩形、菱形、正方形
,青海五年中考命题规律)
年份题型题号考查点考查内容分值总分2017
解答23(2) 菱形的判定以梯形为背
景判定菱形
5
解答27 探究规律以正方形和
等腰直角三
角形为背
景，探究线
段之间的关
系
11 16
2016
填空11 菱形的性质已知菱形的
两条对角线
长，求菱形
的高
2
解答27 探究规律由三角形外
作正三角
形、正四边
形、正五边
形、正n边
形探究规律
10 12
2015解答24 菱形的判定以梯形为背
景判菱形
8 8
2014解答27 探究规律以正方形与
直尺为背
景，探究线
段之间的关
系或求线段
比
8 8
2013解答27 探究规律以正方形为
背景探究规
律
8 8
命题规律纵观青海五年中考，矩形、菱形、正方形为常考内容，最多设2道题，题型以解答题为主，且每年都有与之相关的探究的综合应用，题目难度中等偏上．预计2018年
青海省中考，特殊四边形的探究规律为必考题型，除此之外，还有可能另外设置特殊四边形的计算与证明问题，应加强训练.
,青海五年中考真题)
菱形
1．(2015青海中考)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝__24
5
__．
2．(2015青海中考)如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC 平分∠BAD，CE ∥DA 交AB 于点E.
求证：四边形ADCE 是菱形． 证明：∵AB∥CD，CE ∥DA. ∴四边形ADCE 是平行四边形．
∵AC 是∠DAB 的平分线，∴∠DAC ＝∠CAB. ∵DC ∥AE ，∴∠DCA ＝∠CAB， ∴∠DAC ＝∠DCA，∴DA ＝DC ， ∴平行四边形ADCE 是菱形．
矩形
3．(2012青海中考)已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，MA ＝MC. (1)求证：CD ＝AN ；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN 是矩形．
证明：(1)∵CN∥AB， ∴∠DAC ＝∠NCA. 在△AMD 和△CMN 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠DAC＝∠NCA，MA ＝MC ，
∠AMD ＝∠CMN，
∴△AMD ≌△CMN(ASA )，∴AD ＝CN.
又∵AD∥CN，∴四边形ADCN 是平行四边形，∴CD ＝AN ； (2)∵∠AMD＝2∠MDC，∠AMD ＝∠MCD＋∠MDC.
∴∠MCD ＝∠MDC，∴MD ＝MC.由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD ＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC ＝DN ， ∴四边形ADCN 是矩形．
正方形
4．(2014西宁中考)如图，G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H.若AB ＝2，AG ＝1，则EB ＝__5__．
5．(2017青海中考)请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，点D 为BC 上一动点，连接AD ，以AD 为边在AD 的右侧作正方形ADEF ，连接CF.则线段CF ，BD 之间的位置关系为__CF⊥BD __，数量关系为__CF ＝BD__；
探究2：如图②，当点D 运动到线段BC 的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？(请写出证明过程)
解：当点D在线段BC的延长线上时，(1)中的结论仍成立．
证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD，即∠DAB＝∠FAC.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB ＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BD.
探究3：如图③，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．
解：当∠BCA＝45°时，CF⊥BD.
证明：过点A作AM⊥AC交BC于点M，则∠AMC＋∠ACM＝90°.∵∠ACM＝45°，∴∠AMC＝∠ACM＝45°，∴AC＝AM.∵∠MAC＝∠FAD＝90°，∴∠MAD＋∠CAD＝∠FAC＋∠CAD，即∠MAD＝∠FAC，∵AD＝AF，∴△DAM≌△FAC(SAS)，∴∠ACF＝∠AMD＝45°，∴∠BCA＋∠ACF＝90°，即CF⊥BD.
6．(2016青海中考节选)如图①，分别以△ABC的边AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.
(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC；
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°.请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．
图①
解：(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
∴△ABE≌△ADC(SAS)；
图②
(2)∠BOC＝90°.证明如下：设AD与BE交于点G.
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABE＋∠AGB＝90°.
∵△ABE ≌△ADC ，∴∠ADC ＝∠ABE，∴∠ADC ＋∠AGB＝90°. 又∵∠AGB＝∠DGO，∴∠DGO ＋∠ADC＝90°， ∴∠DOG ＝90°，∴∠BOC ＝90°.
7．(2014青海中考)请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
(1)如图①，将角尺放在正方形ABCD 上，使角尺的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点D 重合，角尺的一边交CB 于点F ，另一边交BA 的延长线于点G.求证：EF ＝EG ；
(2)如图②，移动角尺，使角尺的顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线BD 上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF 和EG 的数量关系：EF________(选填“＝”或“≠”)EG；
(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G ，A 重合)，其余条件不变，若AB ＝4，DG ＝3，求EF
EG
的值．
解：(1)∵∠AEF＋∠AEG＝90°，∠AEF ＋∠CEF＝90°，∴∠AEG ＝∠CEF. 又∵∠GAE＝∠C＝90°，EA ＝EC ，∴△EAG ≌△ECF(ASA )，∴EG ＝EF ； (2)＝；
(3)过点E 作EM⊥AB 于点M ，作EN⊥BC 于点N.则∠MEN＝90°，EM ∥BC ，EN ∥AB ，∴EM AD ＝BE BD ＝EN CD .∴EM EN ＝AD
CD ＝
3
4
.又∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN ＋∠MEF＝90°，∴∠FEN ＝∠GEM， ∴Rt △GME ∽Rt △FNE ，则EF EG ＝EN EM ＝4
3.
,中考考点清单)
矩形的性质与判定
1．定义：把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图①.
2．性质
文字描述字母表示[参考图①]
(1)对边平行且相等AD
瘙綊BC，AB
瘙綊CD
(2)四个内角都是直角__∠DAB__＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
(3)两条对角线相等且互相平分AC＝__BD__，OA＝OC＝OB＝OD
(4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图
形
3.判定
文字描述字母表示[参考图①]
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形
(2)有三个角是直角的四边形是矩形若∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形
ABCD是矩形
(3)对角线相等的平行四边形是矩形若AC＝__BD__，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是矩形
菱形的性质与判定
图②
4．定义：把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．如图②.
5．性质
文字描述字母表示[参考图②]
(1)菱形四条边都相等AB＝__BC__＝CD＝DA
(2)对角相等
∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝__∠ABC__
(3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平
分一组对角__AC__⊥BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC
(4)菱形既是中心对称图形，也是轴对称图
形
6．判定
文字描述字母表示[参考图②]
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形
若四边形ABCD是平行四边形，且AD＝AB，则四边形ABCD是菱形
(2)四条边相等的四边形是菱形
若AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形
(3)两条对角线互相垂直的平行四边形是菱
形若AC⊥BD，且四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形
正方形的性质与判定
7．定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．如图(3)
8．性质
文字描述字母表示[参考图③]
(1)四条边都相等即AB＝BC＝CD＝DA
(2)四个角都是90°即∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°
(3)对角线互相垂直平分且相等即AC⊥__BD__，AO＝OC＝OD＝OB
(4)对角线平分一组对角∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45°
(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称
图形
9.判定
文字描述字母表示[参考图③]
(1)一组邻边相等且有一个角是直角的平行
四边形叫做正方形．若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，
∠ADC＝90°，则四边形ABCD是正方形.
(2)有一角是直角的__菱形__是正方形．若∠ABC＝90°且四边形ABCD是菱形，则四
边形ABCD是正方形.
(3)有一组邻边相等的矩形是正方形．若AB＝BC，且四边形ABCD是矩形，则四边
形ABCD是正方形.
(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形是
正方形．若四边形ABCD中，A C⊥BD，AC平分BD，BD
平分AC，AC＝BD，则四边形AB CD是正方形.
对特殊的平行四边形的判定理解不透彻
【例】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点．
(1)求证：△MBA≌△NDC；
(2)四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？
【错解】(1)在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ＝
12AD ，CN ＝1
2
BC ，∴AM ＝CN ，在△MAB 和△NCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠C＝90°，AM ＝CN ，∴△MAB ≌△NCD ； (2)四边形MPNQ 是平行四边形．
【错因分析】由于对特殊四边形的判定方法理解不透彻，所以不能对问题进行深入的探究和挖掘． 【正解】(1)在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ＝12AD ，CN ＝1
2BC ，∴AM ＝CN ，在
△MAB 和△NCD 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠C＝90°，AM ＝CN ，
∴△MAB ≌△NCD ；
(2)四边形MPNQ 是菱形，理由如下：连接AP ，易证A ，P ，N 三点共线，且△ABN≌△BAM，∴AN ＝BM ，∵△MAB≌△NCD，∴BM ＝DN ，∵P ，Q 分别是BM ，DN 的中点，∴PM ＝NQ ，DQ ＝BP ，又易知DM ＝BN ，∠MDQ ＝∠NBP，∴△MQD ≌△NPB ，∴MQ ＝NP ，∴四边形MPNQ 是平行四边形，∵M 是AD 的中点，Q 是DN 的中点，∴MQ ＝1
2AN ，∴MQ
＝12BM ，∵MP ＝1
2
BM ，∴MP ＝MQ ，∴四边形MQNP 是菱形．
,中考重难点突破)
矩形的判定与性质
【例1】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF ⊥AC ，则∠BDF 的度数是多少？
【解析】(1)先由对角线互相平分证明四边形ABCD 是平行四边形，再由对角相等及已知其和等于180°可得∠ABC＝90°，即可得出结论；(2)由∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∠ADC ＝90°，可求出∠FDC 的度数，再由DF ⊥AC 可求得∠DCO 的度数，又由OC ＝OD 可得∠ODC 的度数，从而利用∠BDF＝∠OD C －∠FDC 求解即可．
【答案】解：(1)∵AO＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠ADC，∵∠ABC ＋∠ADC＝180°，∴∠ABC ＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，∴∠FDC ＝36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠DCO＝54°，∴∠BDF ＝∠ODC－∠FDC＝18°.
1．(2017绵阳中考)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F 两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( A)
A．1 B．2 C. 2 D. 3
(第1题图)
(第2题图)
2．(2017随州中考)如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM，BD交于点N，现有下列结论：
①AM＝AD＋MC；②AM＝DE＋BM；③DE2＝AD·CM；④点N为△ABM的外心，其中正确的个数为( B)
A．1个B．2个C．3个D．4个
菱形的相关计算
【例2】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE.求∠DEC的大小．
(例2题图)
(例2题答图)
【解析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到△ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【答案】解：如答图，连接BD.∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°.∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°－(∠CDE＋∠C)＝75°.
3．(2017营口中考)在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在
点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为
__3或6__．
4．
(2017襄阳中考)如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABF，且交AE 于点D ，连接CD. (1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若∠ADB＝30°，BD ＝6，求AD 的长．
解：(1)∵AE∥BF，∴∠ADB ＝∠CBD.又∵BD 平分∠ABF，∴∠ABD ＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB，∴AB ＝AD.同理：AB ＝BC ，∴AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；
(2)∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝6，∴AC ⊥BD ，OD ＝OB ＝12BD ＝3.∵∠ADB＝30°，∴cos ∠ADB ＝OD AD ＝3
2，∴
AD ＝
33
2
＝2 3.
正方形的相关计算
【例3】(2018中考预测)如图，在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，求CH 的长．
(例3题图)
(例3题答图)
【解析】解：如答图，连接AC ，CF ，延长AD 交FE 于M 点，根据正方形的性质求出AM ＝4，FM ＝2，∠ACF ＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH ＝1
2
AF ，根据勾股定理求出AF 即可．
【答案】解：如答图，连接AC ，CF ，则在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，∠ACG ＝∠FCG＝45°，∴△ACF 是直角三角形，AF 为斜边．又∵H 是AF 的中点，∴CH ＝1
2AF.延长AD 交FE 于M 点，在Rt △AMF 中，AM ＝1＋3＝4，
MF ＝3－1＝2，根据勾股定理，得AF ＝25，∴CH ＝ 5.
5．(广东中考)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( B )
A . 2
B ．2 2
C .2＋1
D ．22＋1
11 (第5题图)
(第6题图)
6．(2017泰安中考)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC＝FB ；④PF＝PC.其中正确结论的个数为( D )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．(天津中考)如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角
线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQ S 正方形AEFG 的值等于__89
__． (第7题图)
(第8题图)
8．(2017义乌中考)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD ＝1 500 m ，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m ，则小聪行走的路程为__4__600__m .。