多维分割论之一—直线分割平面的全套理论和方法

完美有趣实用的数学学术论文1—直线分割平面的全套理论和方法 多维分割论之一
湖北省安陆市第二高级中学 特级教师 祝有韬 直线划分平面问题十分有趣，本人现用全新的方法研究它.
预备定理：平面上有n 条两两相交的直线（其中任两条不平行，任三条不共点），
则它们将平面划分成201
(()2)2
f n n n =++个区域.
用数学归纳法或递归数列法均极易证明它.但我们感兴趣的是
0()f n =21(2)2
n n ++211n C +=+，组合数2
11n C ++的意义何在？
因为两条不平行直线交于一点，故21n C +是n +1条无二线平行且无三线共点的共面直线两两相交所得交点个数. 对此，我们可大胆设想：是否平面被若干条直线划分成的区域个数与这些直线间的交点个数有关？
答案是肯定的.
定理1（几何原理）:平面上有n 条直线(其中任二条不平行，任三条不共点)，则它们将该平面划分成的区域个数正好是n +1条直线两两相交所得交点个数再加1，
即2
11()1n f n C +=+
证明：当n =1时，一直线a 分平面成两个区域，若在该平面上引进一条无穷远线（注：平面向各个方向均无限延伸，即平面上每条直线向其两端伸向‘无穷远点’，所有无穷远点汇成一条‘无穷远线’——半径无穷大的圆——也可视其为直线——曲直转化！）称其为“直线b ”,则a b l ⋂= (如图1，a b 与交于无穷远点l 和l '，但应视l 和l '为同一点！这也符合“二直线相交交点唯一”的公理)，即22C =1,而所划
分成的区域个数222C =+1，正好符合“交点个数加1”.
( '
I '
I
(图1)
'
I
同理2n =时，连同无穷远直线有共面的三条直线，交点个数为233C =,如图2交
点(
''Ⅰ同Ⅰ),Ⅱ(同Ⅱ)和Ⅲ，其分割成的区域个数2
341C =+，也符合“交点个数加1” （注：事实上2
010(0)1n f C +===Q 时命题也成立，+1,这里规定
0m r r m C <=时，） 假定n k =时，命题成立，即k 条符合条件的直线划分平面所成区域个数为21()1k f k C +=+.符合“交点个数加1”
，则当1+11n k k k =++时,第条与前条（包括无穷远直线）交于1k +个点，故连同原有交点共有交点21(1)k C k +++=21k C ++11k C +=2
2
k C +个，而2(1)1(1)1k f k C ++=++,也符合“交点的个 数加上1”，故命题恒成立 另外，平面上n 条直线分割平面的问题不外有四类：
10 n 条中无三线共点也无二线平行的; 20 n 条中有三线共点但无二线平行的; 30 n 条中无三线共点但有二线平行的; 40 n 条中既有三线共点也有二线平行的.
有了定理1，则不但解决了问题10，而且对20﹑30﹑40及由其综合而成的任何复杂情形都迎刃而解了.
定理2：平面上有n 条直线，其中任两条不平行，但有p 组分别有i m 条交于i A 点
(1,2,,i p =L ，且1
p
i i m =∑≤)n ,则其划分该平面所成区域个数为：122()(1)n f n C +=+-
2
1
1
(1)p
m i C
+=+∑ +21
p
i i m =∑
其中2
11
(1)p
m i i i A p C m +=+∑表分别交于点的条(共组)当其皆不共点时，
应分割出的区域个数，而21
p
i i m =∑则为因其共点而实际分割成的个数.
定理3：平面上有n 条直线，其中有12,
j q j s j q =L 组平行线,第组有条(、﹑、1
)
q
j
j n s
=≤∑且任何三线不共点，则其将平面划分成的区域个数为：132
()1)(n f n C ++=-
2
1
q
s j
j C
==∑,
其中21
q
s j j C ==∑表各组平行线因其平行导致交点个数的减少量.
定理4：平面上有n 条直线，其中(,)12i i p m A i p q =L 组分别有条交于点、、﹑又有组平行线,1
1
12,()p
q
i j j i j m j s j S q n ==+=≤∑∑L 第组有条相平行、、、且,则其将平面划分成的
区域个数为：2
221
1
1
1
4()(1)[(1)2]i j p
q
n m i s i j C
m C f n C
++==+-+--=∑∑，
显然4()f n 是解决问题的万能公式，123()()()f n f n f n 、、则分别是其当
000
,,00,24,103p p p q q q =≠=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==≠⎩⎩⎩
时的特例且对定理、、均不需证明都用“交点的个数再加”的原理去理解.应用起来皆十分方便.
例1 平面上有n 个点（任三点不共线），过每两点作一直线，这些直线中任两条不平行，问这些直线将其所在平面划分成多少个区域？
解：依几何原理知划分成的区域个数为
()222(1)1
14321()1(1)[()](21623261)8
n n C f n C n C n n n n n -++=-+--=-+-++ 例2 直线1234/////,/l l l l ABCD AB BC n 它们围成正方形将﹑分别分成，等份，过每个分点分别作13l l 、的平行线，再作正方形的对角线所在的直线，问这些直线将平面划分成多少个区域？
(图5)
（图4）
A B
C
D D
C B
A
l 1
l 2
l 3
l 4
l 4
l 3l 2
l 1
解：共2n +4条直线，其中有两组平行线，每组n +1条
10 n 为偶数时，见图1，有2n 个三线共点，1个四线共点，故所分成的区域个数为
][2222
251315
(1)[(1)()222(1)]342n n f n C C n C C +++=---⨯+--⨯++268n n =++
20
n 为奇数时，见图2，有2(1)n +个三线共点，
222
25124()(1)22([(1)2]1)369n n f n C C n n C n ++=+--+⨯=+++-
例3 直线123,,l l l 围成三角形,,ABC AB BC n 将分别分成等份，过每个分点分别作其它二直线的平行线，这些直线将平面划分成多少个区域？
解： 共有3n 条直线，有三组平行线，每组n 条，且有
2
)]1(1)[1(+++n n 2
233n C +--=个三线共点，故所划分成的
区域个数231)(1)(n C f n ++=2223(3)n n C C +---22453(1)23) 3.2
2
n C n +-⨯=++
l 3l 2
l 1
C
B A
（图6）
121212,,,,.
()l l O l A B C D l E F G A B C D E F M l G l ⋂=例4直线在上取点、、、在上取点、、过、、、、、、中任意二点作一直线求所有直线包括、分别在下列情形时划分所在平面所成区域的个数 ⅰ.求M 的最大值;
ⅱ.,,OA AB BC OE EF FG D AB ====且为的中点；
ⅲ.,,OA AB BC OE EF FG D AG CE DF ====点使得、、三线交于一点.
解： ∵给定的7个点可确定11
4
312C C =条直线，连同12l l 、共14条，其中4处四线共点，3处五线共点，故
ⅰ.221
15
56(1)4(1)3(1)44235276max M C C C =+-+-++⨯⨯+⨯⨯= ⅱ. 14条中有2组二线平行,1组三线平行,4组四线共点和3组五线共点,此时
2
223 2762371.max M M C C =--=--=
ⅲ. 此时有1组三线平行，1组三线共点，4组四线共点和3组五线共点.
2234 13272.max M M C C =--++⨯=（）
(图8)
(图7)
O
O G G E F
F E l 2
l 1
C
D B A A B
D
C
l 1l 2
5结合具体图形研究由正边形顶点所确定的所有直线（注：每两点确定一条直线）将所在平面划分成的区域个数的值，并例解决如下问题：
45610(2).((1).()()12),.
(3).()i f f i f n =L 列出，，，，的计算式，并求值；
写出求的详细过程；
请对分割成的区域个数做出公式的猜想并试证明之
限篇幅过程从略，有兴趣的读者可自己完成此过程 (以上部分是原来论文中的内容)
以下整个过程是今年8月份停止打工性的教学生涯后，花很长时间解答成功并编辑出来的答案：一道题的结论竟然长达6页！
解法1：这是一个非常复杂的数学问题.
(1).观察所作出的相应图形，
经分析多线共点和多线平行的组数和每组的直线条数，则结论立马可知了，再利用定理4中的计算公式分别可得
24
222
3+121
(4)(1)4[(1)23]216C f C C C +=+-+-⋅-=. (如图9，有4组三线共点和2组二线平行)
25
2224121
(5)(1)5[(1)24]536C f C C C ++=+-+-⋅-=. (如图10，有5组四线共点和5组二线平行)
(图11)(图10)(图12)
(图9)26
222225131321
(6)(1)6[(1)25][(1)23]3()72.C f C C C C C +++=+-+-⋅-+-⋅-+= (如图11,有6组五线共点,3组二线平行和3组三线平行及1组三线共点，)
27
2226131
(7)(1)7[(1)26]7141.C f C C C ++=+-+-⋅-= (如图12，有7组六线共点和7组三线平行)
28
222222
714131431
(8)(1)8[(1)27][(1)24]16[(1)23]4()232.C f C C C C C C ++++=+-+-⋅-+-⋅-+-⋅-+=(如图13，有8组七线共点，1组四线共点，16组三线共点和4组四线平行，4组三线平行)
(图15)
(图14)(图13)
29
222
8+141
(9)(1)9[(1)28]9424C f C C C +=+-+-⋅-=(如图14，有9组八线共点，9组 四线平行)
210
2229+1511
222
(10)(1)10[(1)29][(1)25]10C f C C C ++=+-+-⋅-+-⋅有组九线共点，
5组五01012121213156122246612A OA A OA ∴⋅=⋅=∠∠个三线共点，个四线共点，整个平面内有个十一线共点及1组六线共点,有个三线共点,有个四线共点,有组五线平行和组六线平行.注意:整个平面内半开半闭角域是一个周期,全图共有个周期,且一个闭区域是以其角平分线为对称轴的.
212
222211161311
222
4156(12)(1)12(1211)(126)156(123)24(124)6()221254010156721501284.
C f C C C C C C C +++++=+-+-⋅-+-⋅-+-⋅-+-⋅-+=-----=故2222
1122222
1114322
(3):(12)()(1)[(1)2(1)][(1)2]21)(22(12().
4324681016n n n
C n n n n n f f n C n C n C n n n n n C n C C C n n ++++-=+-+---+-⋅-++-⋅++-⋅-+=解满足公式：(1))但此公式对、、、时的正边形都不满足！这些都是反例(说明某结论不成立只需举一个反例即可！).结合图可知
A
01211223,,,()n n O OA OA OA OA AOA A OA n n f n -∠∠L L 的多线共点组,尤其当值很大时,在过重心的该多边形外径所在射线,上的多线共点个数易求,但在诸如,,，的两边是虚线的开角域内的多线共点的个数以及其是属于几线共点都不是与相关的同一公式！由边数为偶数时的正多边形的所有顶点确定的全部直线分割成的平面区域个数的统一计算公式不存在。

当n
5,7,99n =纵观上述以及大于的所有奇数等例子的图形以及上图易知，
定理6: 当n 为奇数时，由正n 边形各顶点确定的直线中，有且仅有n 个
11
2
n n n --共点直线组,每组有条;各边所在直线中无平行直线组；其对角线中有个平行直线组,每组
条相平行.由其各顶点确定的直线分割其所在平面所成区域的个数
2222
(1)111
2
()(1)[(1)2(1)]n
n n C f n C n C n nC -+-+=+-+---，对此公式可分别取3,5,7n =…等 m
π
，
例5 (3)解法2(利用复数工具和平面解析几何知识求解)：
22
(cos sin)sin)(0,1,2,
,1)sin)
k k z i a bi n i k
n n
n i n
n n
θπθπ
ρθθ
θθ
++
=+=+=+=
-+
L
复数的次方根
为起点的个分点.
1
51
(1,0),
n z
利用复数解决例题的问题，不影响结论不妨设正多边形外接圆半径为，且其外接圆为单位圆，设单位圆圆周的等分点第一个点为则正多
()
()
()
1
n
f
n
n
n
n
f
因为奇数的正多边形的各顶点都是多线共点,除此之外不再有多线共点的情况，而二维分割的分割解公式中平行问题极易解决.
又因为偶数的正多边形中的平行线组易于解决，但共点线组的个数和每个组是几线共点问题是关键的难点！要想正确求
边形各顶点为的次方根复数根
出分割解公式,必须突破这一难点！
以
.
下解决之.
(cos sin
.
) 0
n
n
z i
ρθθθ
=+≠
又重心为原点的任意正多边形的顶点为个复数，当
个顶点对应的复数的幅角都为任意角，则正多边形顶点横、纵坐标是三角形式，则本例的计算都涉及三角运算,但由于其方法和道理都非常简单，所以限篇幅这里可不再举例了,此处只举特殊角的例,不妨仍以正十二边
的时，
形为例
中
0123456
789
22
112cos sin(0,1,2,,11)
1212
112
1111
(1,0),),((0,1),((),(1,0),
2222
11
(),(,(0,1),
22
k k
i k
A A A A A A A
A A
M
A
N
A
ππ
=+=
∴--
---
Q L
在以下图16中我们来证是三等分点和是四等分点.
复数的次方根是原点为心，1为半径的圆周上以(,0)为起点的个分点
,
1011
11
(,),
22
A-
161011
1
1
1)
2
A A A A y x y x
=++=
易得直线和的方程分别为和
2424
11
1)(22
22
5(51)11
(1
24222
11
((
22
y x x x x
x x y
M A A y M A A
++=⇒+=
+
⇒=⇒====
∴+=∈
消
又直线方程为显然直线，
0817
241610110817
//
3
A A A A
A A A A A A A A A A k k
∴⇒==
、和三线共点.又由
0808081610111,(322
3
A A y x M A A y x A A A A A A ∴=+=
∴Q 的方程为且点的坐标不满足的方程，、和三线不共点.
01A OA ∠利用复数和解析几何工具能证明正多边形各顶点确定的所有直线之间是否共点了，则半开半闭的角域内的共点直线组全部把握，而正十
010112).
A OA A OA ∠∠二边形是个与角域全等的域(含角域
A 071310110723911042111923160100018213OA A OA ∠为四组三线共点,另由正多边形的对称性知对称轴线上有个三线共点,所以半开半闭的角域内共有个四线共点和个三线共点.
(85)1213121562122412+⋅=⋅=⋅=则知整个平面上有个三线共点，个四线共点，另加各顶点处的个十一线共点，重心处的六线共点.
212
2222
11161311
(12)(1)12(1211)(126)156(123)C f C C C C ++++=+-+-⋅-+-⋅-+-⋅则正十二边形分割解为
2222
4156222
112
2222
1114322
24(124)6()1284.
()(1)[(1)2(1)][(1)2]21)(22(12().
432n n n
C n n n n C C C n f n C n C n C n n n n n C C C C +++++--+-⋅-+==+-+---+-⋅-++-⋅++-⋅-+可用公式：[(1))] 46810()n n n f n =但此公式对、、、时的正边形都不满足！这些都是为偶数的正多边形存在同一分割解公式的反例！故
1(),n n f n o 为偶数的正边形的分割解其统一的计算公式不存在！
- 11 - 2222(1)1112
2112
()(1)[(1)2(1)]n n n C n n n n n n f n C n C n nC -+-+--=+-+---o 解法1中已阐述：由为奇数的正边形各顶点确定的直线中，有且仅有个共点直线组,每组有条;各边所在直线中无平行直线组；其对角线中有个平行直线组,每组条相平行.由其各顶点确定的直线分割其所在平面所成区域的个数 对此公式可分别取3,5,7n =等进行验证，注意0m n
m n C >=时，组合数
“巧妙的思维构建出猜想到证明的全过程；严密的推理完成了平面到空间的大飞跃； 简练的语言阐述准文字到符号的全文体；精准地编辑书写完局部到全篇的整版面； 精湛的画技描绘成形式到内容的美图形；科学的算理解决了定理到公式的推演算。

”。