2025高考数学总复习两条直线的位置关系

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x2+y2 .
知识梳理
(2)点到直线的距离
|Ax0+By0+C|
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
A2+B2 .
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d= |C1-C2| A2+B2 .
常用结论
六种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为 (-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点 为(x,2b-y).
(2)(2023·合肥质检)若l1:3x-my-1=0与l2:3(m+2)x-3y+1=0是两条 不同的直线,则“m=1”是“l1∥l2”的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
若l1∥l2,则3×(-3)=-m×3(m+2), 解得m=1或m=-3, 而当m=-3时,l1,l2重合,故舍去, 则“m=1”是“l1∥l2”的充要条件.
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第二部分
探究核心题型
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2023·桂林模拟)已知直线l1:ax+(a-1)y+3=0,l2:2x+ay-1
=0,若l1⊥l2,则实数a的值是
√A.0或-1
B.-1或1
C.-1
D.1
由题意可知l1⊥l2,故2a+a(a-1)=0, 解得a=0或a=-1,经验证,符合题意.
1.两条直线的位置关系
直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y +C2=0(其中l1与l3是同一条直线,l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表:
位置关系 平行
l1,l2满足的条件 _k_1_=__k_2且__b_1_≠__b_2_
l3,l4满足的条件 _A_1_B_2_-__A_2_B_1_=__0_,__且__A_1C__2-__A__2C__1≠__0_(_或______
_B_1_C_2_-__B_2_C_1_≠__0_)_
垂直
_k_1_·_k2_=__-__1_
_A_1_A_2_+__B_1_B_2=__0__
相交
_k_1_≠__k_2_
__A_1_B_2_-__A_2B__1≠__0__
知识梳理
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2). ②结论:|P1P2|= x2-x12+y2-y12 . ③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=
=_3_或__-__2__;若l1∥l2,则m=__7__.
因为l1:(m-1)x-6y-2=0,l2:mx+y+1=0, 所以,若l1⊥l2,则m(m-1)-6=0,解得m=3或m=-2, 若 l1∥l2,则 m-1+6m=0,解得 m=17,经检验符合题意.
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,且平行 于直线3x+2y+7=0的直线方程是
自主诊断
3.(选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x-2y+1=0与直线2x-
4y-3=0的距离为
√A.
5 2
B. 5
C. 10
10 D. 2
由直线 2x-4y-3=0 可得,x-2y-32=0,根据两条平行线间的距离
公式知 d=
1-2+32--122=
5 2.
自主诊断
4.直线x-2y-3=0关于定点M(-2,1)对称的直线方程是__x_-__2_y_+__11_=__0__. 在直线上取点P(3,0),点P关于M(-2,1)的对称点为P′(-7,2), 过点P′与原直线平行的直线方程为x-2y+11=0,即为对称后的直线 方程.
√B.垂直
D.重合
由题意可知,直线 xsin A+ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的斜率
分别为-sina A,sinb B,
又在△ABC 中,sina A=sinb B,
所以-sina
Ab ·sin
B=-1,
所以两条直线垂直.
(2)已知两直线l1:(m-1)x-6y-2=0,l2:mx+y+1=0,若l1⊥l2,则m 1
第八章
§8.2 两条直线的位置关系
课标要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条 平行直线间的距离.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
(4)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-1k ,
且线段AB的中点在直线l上.( √ )
自主诊断
2.(选择性必修第一册P102T2改编)若直线2x+my+1=0与直线3x+6y-1
=0平行,则m等于
√A.4
B.-4
C.1
D.-1
因为直线2x+my+1=0与直线3x+6y-1=0平行, 所以23=m6 ≠-11,解得 m=4.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a,b,c分别为△ABC中角A,B,C
所对边的边长,则直线xsin A+ay+c=0与bx-ysin B+sin C=0的位置
关系是
A.相交但不垂直 C.平行
常用结论
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k 的对称(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × ) (2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
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