2025高考数学总复习两条直线的位置关系

x2＋y2 .
知识梳理
(2)点到直线的距离
|Ax0＋By0＋C|
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
A2＋B2 .
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ |C1－C2| A2＋B2 .
常用结论
六种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y). (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y). (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为 (－y，－x). (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点 为(x，2b－y).
(2)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条 不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
√C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)， 解得m＝1或m＝－3， 而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去， 则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件.
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第二部分
探究核心题型
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2023·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1
＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y ＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系 平行
l1，l2满足的条件 _k_1_＝__k_2且__b_1_≠__b_2_
l3，l4满足的条件 _A_1_B_2_－__A_2_B_1_＝__0_，__且__A_1C__2－__A__2C__1≠__0_(_或______
_B_1_C_2_－__B_2_C_1_≠__0_)_
垂直
_k_1_·_k2_＝__－__1_
_A_1_A_2_＋__B_1_B_2＝__0__
相交
_k_1_≠__k_2_
__A_1_B_2_－__A_2B__1≠__0__
知识梳理
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). ②结论：|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 . ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝
＝_3_或__－__2__；若l1∥l2，则m＝__7__.
因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0， 所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2， 若 l1∥l2，则 m－1＋6m＝0，解得 m＝17，经检验符合题意.
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行 于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是
自主诊断
3.(选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－
4y－3＝0的距离为
√A.
5 2
B. 5
C. 10
10 D. 2
由直线 2x－4y－3＝0 可得，x－2y－32＝0，根据两条平行线间的距离
公式知 d＝
1－2＋32－－122＝
5 2.
自主诊断
4.直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是__x_－__2_y_＋__11_＝__0__. 在直线上取点P(3,0)，点P关于M(－2,1)的对称点为P′(－7,2)， 过点P′与原直线平行的直线方程为x－2y＋11＝0，即为对称后的直线 方程.
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率
分别为－sina A，sinb B，
又在△ABC 中，sina A＝sinb B，
所以－sina
Ab ·sin
B＝－1，
所以两条直线垂直.
(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m 1
第八章
§8.2 两条直线的位置关系
课标要求
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k ，
且线段AB的中点在直线l上.( √ )
自主诊断
2.(选择性必修第一册P102T2改编)若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1
＝0平行，则m等于
√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行， 所以23＝m6 ≠－11，解得 m＝4.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C
所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置
关系是
A.相交但不垂直 C.平行
常用结论
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y). (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k 的对称(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × ) (3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )