2018版高中数学 小问题集中营 专题4.5 辅助角公式及应用

专题五 辅助角公式及应用
一、问题的提出
【2017课标II 文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 ； . 该题可通过辅助角公式化为()sin y A x ωϕ=+形式，再运用三角函数的性质解决；我们把
()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由tan b
a
θ=
确定),称作辅助角公式,该公式在高考中考查频率非常高,且常和三角函数的性质结合在一起进行考查. 二、问题的探源
本题解法：有辅助角公式得；()(),tan 2f x x ϕϕ=+=，则；()f x ≤= 1．所涉及的公式（要熟记,是三角函数式变形的基础） 降幂公式：221cos21cos2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=
2.关于()sin cos a b αααϕ+=
+的说明
(1)使用范围：三个特点：① 同角（均为α）,②齐一次,③正余全
(2)表达式变为：
sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭
② 二找：由2
2
1⎛⎫⎛⎫+=,故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角）, 如
cos ϕϕ=
=
可得：
)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+
③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+
(3)举例说明：sin y x x =+
①1
2sin cos 2
2y x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
②
1cos sin 2cos sin sin cos 23333y x x ππππ⎛⎫
==⇒=+ ⎪⎝⎭
③ 2sin 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
(4)注意事项：
① 在找角的过程中,一定要找“同一个角”的正余弦,因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式,所以构造的正余弦要同角
② 此公式不要死记硬背,找角的要求很低,只需同一个角的正余弦即可,所以可以从不同的角度构造角,从而利用不同的公式进行合角,例如上面的那个例子：
12sin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
,可视为1sin cos 266ππ==,那么此时表达式就变为： 2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
所以,找角可以灵活,不必拘于结论的形式.找角灵活,也要搭配好对应的三角函数公式. 当然,角寻找的不同,自然结果形式上也不一样,但2cos 6y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
与2sin 3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）
③ 通常遇到的辅助角都是常见的特殊角,这也为我们的化简提供了便利,如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦,那么可用抽象的ϕ来代替,再在旁边标注ϕ的一个三角函数值. 3.规律探究
（1）观察式子：主要看三点
① 系统：整个表达式是以正余弦为主,还是正切（大多数情况是正余弦）,确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）
② 确定研究对象：是以x 作为角来变换,还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换.
③ 式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次）,若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式,那么很有可能要使用合角公式,其结果成为
()()sin f x A x ωϕ=+的形式.例如：
齐二次式：2
sin 2cos sin 2y x x x =-+,齐一次式：sin cos 6y x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
（2）向“同角齐次正余全”靠拢,能拆就拆,能降幂就降幂：常用到前面的公式
221cos21cos2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=
,2sin cos sin2ααα=（还有句老话：平方降幂） 例如：sin cos 6y x x π⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
,确定研究对象了：x ,也齐一次,但就是角不一样
（一个是x ,一个是6
x π
+）
那么该拆则拆,将cos 6x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
打开
11sin sin sin 22y x x x x x ∴=+
-=+ 于是就可合角了
3
三、问题的佐证
【例1】（2017山东文7
）函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为（ ）
A.
π2 B. 2π
3
C.π
D. 2π
【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛
⎫=+=+
⎪⎝
⎭,所以其周期2ππ2
T ==。

【例2】（2016高考新课标3
理数）函数sin y x x =
的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
【例3】（2016山东文17
）设2
()π)sin (sin cos )f x x x x x =---.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再把得到的图像向左平移
π
3
个单位,得到函数()y g x =的图像,求π6g ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【解析】 （1）由
(
)()()2
πsin sin cos f x x x x x =---
=()
212sin cos x x x -
-)1cos2sin 21x x =-+-
=sin 221x x -
π2sin 213x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭,
得()π
5π
ππ12
12
k x k k -
+
∈Z 剟, ()f x 的单调递增区间是()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦Z ,（或写为()π5ππ,π1212k k k ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭Z ）.
【例4】（2016天津理15）已知函数()ππ4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的单调性. 【解析】 （1）()f x 的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠
+∈⎨⎬⎩⎭
Z . ()ππ
4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2
14sin cos 2sin cos 22x x x x x x ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭
)π
sin 21cos 2sin 222sin 23x x x x x ⎛
⎫+-=-=- ⎪⎝
⎭.
所以()f x 的最小正周期2π
π2
T ==. （2）令π23z x =-
,函数2sin y z =的单调递增区间是()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
Z .
由πππ2π22π23
2k x k -
+-+剟,得π
5π
ππ12
12
k x k -++剟,k ∈Z . 设ππ,44A ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦,π5πππ,1212B x k x k k ⎧⎫=-++∈⎨⎬⎩⎭
Z 剟,易知ππ,124A B ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦. 又πππ12462T ⎛⎫-
--=< ⎪⎝⎭,所以当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间ππ,124⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增, 在区间ππ412⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，
上单调递减. 四、问题的解决
5
1.
已知cos sin 6παα⎛⎫
-+= ⎪⎝
⎭7sin 6πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值是（ ） A.
35 B. 45 C. 35- D. 4
5
-
【答案】
D
2.（2016山东理7
）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（ ）. A ．
π2 B ．π C ．3π2
D ．2π
【答案】B
【解析】由()(
)22
()2sin cos cos sin sin 22f x x x x x x x ⎤=+-==⎦
π2sin 23x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭,所以最小正周期是π. 故选B.
3.已知函数()2
3sin cos 4cos f x x x x ωωω=-（0ω>）的最小正周期为π，且()1
2
f θ=
， 则2f πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
（ ） A. 52-
B. 92-
C. 112-
D. 132
- 【答案】B
【解析】由题可知： ()3sin22cos222f x x x ωω=--由最小正周期为2可得1ω=又()1
2
f θ=代入 可得：
()554sin 2,tan 223θϕϕ⎛⎫
+==- ⎪⎝⎭
，…， ()sin 21θϕ+=， 则()55sin 22222
f πθθϕ⎛⎫
+
=-+-=- ⎪⎝
⎭故选B.
4.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，若cos cos 23sin B C A
b c C
+=，
cos 2B B +=，则a c +的取值范围（ ）
A. 2⎛
⎝
B. 32⎛ ⎝
C. 2⎣
D. 32⎡⎢⎣ 【答案】B
【解析】由题意
cos cos B C b c += (
)sin cos cos sin cos sin cos sin sin B C c B b C C B B C bc b C b C +++===
b ∴=
1cos 2cos sin 2sin 2226B B B B B π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6
2
B π
π
∴+
=
, 3B π
=
,
1sin b B =，
23A B π
∴+=
2032C A ππ<<
-<,02A π<<，62
A ππ
∴<<
23sin sin sin sin sin 326a c A C A A A A A ππ⎛⎫⎛
⎫+=+=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
6
2
A π
π
<
<
,326A π⎛
⎫∴-
<+≤ ⎪⎝
⎭B 5.（2016浙江高考11）已知2
2cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A =________,
b =________. ；1
【解析 】2
π2cos sin 2214x x x ⎛
⎫+=
++ ⎪
⎝
⎭,所以A =,1b =.
6．（2016上海文5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5,则常数a = ． 【答案】 3±
【解析 】由辅助角公式可知函数()
f x 5=,故3a =±． 7.已知向量23sin ,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛
⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎝⎭ 若m n ⊥ ，则πcos 3x
⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
的值为__________． 【答案】
1
2
【解析】m n ⊥ 211π1cos cos 0cos 0sin 44422222262x x x x x x ⎛⎫⇒+=⇒++=⇒+=- ⎪⎝⎭
7
所以πcos 3x ⎛⎫+
⎪⎝
⎭ 2π1112sin 14622x ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭
8.（2015安徽文）已知函数2
()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】(1) π (2)
(
)max 1f x =()min 0f x =
.
9.设锐角．．三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 【答案】（1）6
B π
=
．（2）32⎫
⎪⎪⎝
⎭， 【解析】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =， 由AB
C 为锐角三角形得π6B =
． （2）cos sin cos sin 6A C A A π
π⎛⎫+=+-
- ⎪⎝
⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
1cos cos 22A A A =+
+3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
由ABC 为锐角三角形知，
2336
A πππ
<+<，
所以
1sin 232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭
．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝
⎭
所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫
⎪⎪⎝⎭
，． 10.已知函数(
)12cos22x
f x x x π+=
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
.
（Ⅰ）求函数()y f x =的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()y f x =在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）()y f x =的单调递增区间为2ππ2π,2π32k k ⎡⎫-
+-+⎪⎢⎣⎭或ππ2π,2π23k k ⎛⎤
-++ ⎥⎝⎦
（k Z ∈）
（Ⅱ）0x =时，函数()f x
；π
3
x =时，函数()f x
取得最大值 【解析】（Ⅰ）显然，π
2π2
x k ≠±
，k Z ∈ (
)1cos2π2x
f x x x +=
=
⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
2x +
1cos 2x x ⎫=+⎪⎪
⎭
π6x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ 由πππ2π2π263k x k -+≤+<-+，k Z ∈，或πππ
2π2π362k x k -+≤+<+，k Z ∈ 得2ππ2π2π32k x k -
+≤<-+，k Z ∈，或ππ
2π2π23
k x k -+≤<+，k Z ∈ 即函数()y f x =的单调递增区间为2ππ2π,2π32k k ⎡⎫-+-+⎪⎢⎣⎭或ππ2π,2π23k k ⎛⎤
-++ ⎥⎝⎦
（k Z ∈）.
（Ⅱ）因为π02x ≤≤，得ππ2π
663
x ≤+≤， 所以当ππ
66
x +=，即0x =时，函数()f x
当ππ62x +
=，即π
3
x =时，函数()f x
取得最大值11.已知向量,a b
满足)()
()2sin cos sin ,cos ,cos sin a x x x b x x x =-+=-,函数()()·f x a b x R =∈. （1）求()f x 的单调区间；
9
（2）已知数列()
2*
112
24n n a n f n N ππ⎛⎫=-∈ ⎪
⎝⎭，求{}n a 前2n 项和为2n S . 【答案】（1）7,,1212k k k Z ππππ⎡
⎤
-
-∈⎢⎥⎣
⎦
； （2
)
22n n --
.
12.（2015福建文）已知函数(
)2cos 10cos 222
x x x
f x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图像向右平移
π
6
个单位长度,再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图像,且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）求证：存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >． 【答案】(1) π (2)
(
)max 1f x =()min 0f x =.
【解析】分析：（1）先利用二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()π10sin 56f x x ⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
,然后利用2π
T ω
=
求最小正周期；（2由函数()f x 的解析式中给x 减
π
6
,再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-,当sin x 取1时,()g x 取得最大值105a +-,列方程求得13a =,从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >,可解不等式()00g x >,只需解集的长度大于1,此时解集中一定含有整数,由周期性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．
（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得010sin 80x ->,即04sin 5
x >
．
由
45<知,存在0π03α<<,使得04sin 5
α=． 由正弦函数的性质可知,当()00,πx αα∈-时,均有4
sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π, 所以当()()002π,2π+πx k k k αα∈+-∈Z 时,均有4sin 5x >
． 因为对任意的整数k ,()()000π
2π+π2ππ213
k k ααα--+=->
>, 所以对任意的正整数k ,都存在正整数()()002π,2ππk x k k k αα∈++-∈Z ,使得4sin 5
k x >． 即存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >．
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11。