2020-2021学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷
试题数：19，总分：100
1.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −2
3 B. 23 C. −32 D. 32
2.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √5
3.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限
5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π
2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 1
2
x D. y =sin 12x
6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：
① 向左平移π
4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的1
3
（纵坐标不变）；
② 向左平移π
12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的1
3
（纵坐标不变）
③ 将每个点的横坐标缩短为原来的1
3（纵坐标不变），再向左平移π
4
个单位
④ 将每个点的横坐标缩短为原来的1
3（纵坐标不变），再向左平移π
12
个单位
其中能得到函数y=sin(3x+π
4
)的图象的是（）
A. ① ③
B. ② ③
C. ① ④
D. ② ④
7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）
A.- b⃗⃗
B. b⃗⃗
C.-6 a⃗ + b⃗⃗
D.6 a⃗ - b⃗⃗
8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π
2
)的图象如图所示，则ω的值为（）
A.2
B.1
C. 1
2
D. 1
4
9.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π
2
+2kπ(k∈Z)”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个
11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 12.（填空题，4分）已知
cosα
4sinα−2cosα
=16
，则tanα=___ ．
13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π
2) 在区间 (π
3，4π
3
) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π
3)≤f (x )≤f (π
3) 成立，则φ=___ ．
15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．
（1）若甲声波的数学模型为f 1（t ）=sin200πt ，乙声波的数学模型为f 2（t ）=sin （200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f （t ）=f 1（t ）+f 2（t ）．要使f （t ）=0恒成立，则φ的最小值为；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H （t ），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f （t ）和g （t ），满足H （t ）=f （t ）+g （t ）．已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．
① y =sin π
2t ； ② y=sin2πt ； ③ y=sin3πt ； ④ y=2sin3πt ． 则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）
16.（问答题，9分）已知函数 f (x )=
1−cos 2x
sinx
． （Ⅰ）求f （x ）的定义域； （Ⅱ）若 f (θ)=
2√5
5
，且 θ∈(π
2，π) ，求
tan （π-θ）的值．
17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；
（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．
18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π
3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3
，
7π
3
] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
x
π3 5π6 11π
6 7π3 x −π
3
π 3π2 2π f （x ）
2
（ⅰ）若函数g （x ）的最小正周期为 2π
3 ，求g （x ）的单调递增区间；
（ⅱ）若函数g （x ）在 [0，π
3] 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．
19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：
① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．
（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）
-f （x ）=2021，并说明理由；
（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=t
f (t )+f (t )f(4t
)
的值域．
2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：19，总分：100
1.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −2
3 B. 23 C. −32 D. 32
【正确答案】：C
【解析】：利用任意角的三角函数的定义求解．
【解答】：解：∵角α的终边经过点P （-2，3）， ∴tanα= 3
−2 =- 3
2 ， 故选：C ．
【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题． 2.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √5
【正确答案】：D
【解析】：根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．
【解答】：解：根据题意，向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |= √12+22 = √5 ， 即| a ⃗ |= √5 ， 故选：D ．
【点评】：本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．
3.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
【正确答案】：A
【解析】：根据向量的减法的运算法则进行求解即可．
【解答】：解：因为： MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．
【点评】：本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．
4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 【正确答案】：B
【解析】：根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．
【解答】：解：△ABC 中，A 为钝角，所以B 为锐角， 所以cosA ＜0，tanB ＞0，
所以点P （cosA ，tanB ）在第二象限内． 故选：B ．
【点评】：本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题． 5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π
2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 1
2x D. y =sin 1
2x 【正确答案】：A
【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．
【解答】：解：对于A，y=cos2x的周期为π，在区间（π
2
，π）单调递增函数，所以正确；
对于B，y=sin2x的周期为π，在区间（π
2
，π）不是单调函数，所以不正确；
对于C，y=cos 1
2 x的周期为2π1
2
=4π，所以不正确；
对于D，y=sin 1
2 x的周期为2π1
2
=4π，所以不正确；
故选：A．
【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断，是基础题．6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：
① 向左平移π
4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的1
3
（纵坐标不变）；
② 向左平移π
12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的1
3
（纵坐标不变）
③ 将每个点的横坐标缩短为原来的1
3（纵坐标不变），再向左平移π
4
个单位
④ 将每个点的横坐标缩短为原来的1
3（纵坐标不变），再向左平移π
12
个单位
其中能得到函数y=sin(3x+π
4
)的图象的是（）
A. ① ③
B. ② ③
C. ① ④
D. ② ④
【正确答案】：C
【解析】：根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=
sin(3x+π
4
)即可．
【解答】：解：① y=sinx→ y=sin(x+π
4)→ y=sin(3x+π
4
)；
② y=sinx→ y=sin(x+π
12)→ y=sin(3x+π
12
)；
③ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π
4
)；
④ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π
12)=sin(3x+π
4
)．
故选：C．
【点评】：本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．
7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）
A.- b⃗⃗
B. b⃗⃗
C.-6 a⃗ + b⃗⃗
D.6 a⃗ - b⃗⃗
【正确答案】：D
【解析】：利用平面向量的基本定理，推出结果即可．
【解答】：解：如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ = a⃗+b⃗⃗ +（2 a⃗−2b⃗⃗）-（-3 a⃗）=6 a⃗ - b⃗⃗．
故选：D．
【点评】：本题考查向量的基本定理的应用，向量的加减运算，是基础题．
8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π
2
)的图象如图所示，则ω的值为（）
A.2
B.1
C. 1
2
D. 1
4
【正确答案】：C
【解析】：由点（0，√2）在函数的图象上可求sinφ= √2
2，结合范围|φ|＜π
2
，可得φ= π
4
，
又点（2π，- √2）在函数的图象上，有sin（2πω+ π
4）=- √2
2
，可得2πω+ π
4
=2kπ- π
4
，或
2kπ- 3π
4
，k∈Z，从而解得ω的值．
【解答】：解：∵点（0，√2）在函数的图象上，即有2sinφ= √2，∴sinφ= √2
2
，
∵|φ|＜π
2
，
∴可得：φ= π
4
，
又∵点（2π，- √2）在函数的图象上，即有2sin（2πω+ π
4
）=- √2，
∴sin（2πω+ π
4）=- √2
2
，可得2πω+ π
4
=2kπ- π
4
，或2kπ- 3π
4
，k∈Z，
∴解得ω=k- 1
4，或ω=k- 1
2
，k∈Z，
则当k=1时，ω的值为1
2
．
故选：C．
【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于基础题．
9.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π
2
+2kπ(k∈Z)”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：B
【解析】：sinα=cosβ⇒cos（π
2 -α）=cosβ，可得β=2kπ±（π
2
-α），k∈Z．即可判断出结论．
【解答】：解：sinα=cosβ⇒cos（π
2
-α）=cosβ，
∴β=2kπ±（π
2
-α），k∈Z．
化为：α+β= π
2+2kπ，k∈Z，或β-α=- π
2
+2kπ，k∈Z，
∴“sinα=cosβ“是“α+β= π
2
+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】：本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个 【正确答案】：A
【解析】：先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数f （x ）的对称性即可做出判断．
【解答】：解：因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为MN 的中点， 因为函数f （x ）=（x-1）3关于点（1，0）成中心对称，
所以当Q 的坐标为（1，0）时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意， M ，N 在（1，0）两侧时，中点也要在函数f （x ）上，只能是（1，0），
M ，N 在（1，0）同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与f （x ）在一侧有3个交点，不可能成立，
故满足条件的Q 只有一个， 故选：A ．
【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．
11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]（7，0）
【解析】：根据向量的坐标运算求出 a ⃗ +2 b ⃗⃗ 的坐标即可．
【解答】：解：∵ a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1）， ∴ a ⃗ +2 b
⃗⃗ =（1，-2）+2（3，1）=（7，0）， 故答案为：（7，0）．
【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是基础题． 12.（填空题，4分）已知 cosα
4sinα−2cosα=1
6 ，则tanα=___ ． 【正确答案】：[1]2
【解析】：对已知等式分子分母同时除以cosα，即可求出tanα的值．
【解答】：解：∵ cosα
4sinα−2cosα=1
6 ， ∴ 1
4tanα−2=1
6 ， ∴4tanα-2=6， ∴tanα=2， 故答案为：2．
【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 【正确答案】：[1]- 35
【解析】：利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解x ，y 即可．
【解答】：解：在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图，可知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
5 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4
5 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x= 1
5 ，y= 45 ， 则x-y=- 35 ． 故答案为：- 3
5 ．
【点评】：本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π
2) 在区间 (π
3
，
4π
3
) 上单调，且对任意实数x 均有
f (4π3
)≤f (x )≤f (π3
) 成立，则φ=___ ． 【正确答案】：[1] π
6
【解析】：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．
【解答】：解：∵函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π
2) 在区间 (π
3，4π
3
) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π
3)≤f (x )≤f (π
3) 成立，
∴ 1 2• 2π
ω
= 4π
3
- π
3
，∴ω=1．
且π
3是f（x）的最大值点，4π
3
是函数f（x）的最小值点，
由五点法作图可得1× π
3+φ= π
2
，∴φ= π
6
，
故答案为：π
6
．
【点评】：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并
能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．
（1）若甲声波的数学模型为f1（t）=sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）=sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）=f1（t）+f2（t）．要使f（t）=0恒成立，则φ的最小值为；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）=f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函
数中的两个．
① y=sinπ
2
t；② y=sin2πt；③ y=sin3πt；④ y=2sin3πt．
则S1，S2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）
【正确答案】：[1] ② ③
【解析】：（1）由函数f（t）的解析式以
及正弦型函数的性质，即可解出；
（2）由函数图象分析可知至少有一个数学
模型的振幅大于等于2，由此可知④ 是必
选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．
【解答】：解：（1）由题意可知
sin200πt=-sin（200πt+φ），
又∵sin（π+α）=-sinα，
∴φmin=π，
（2）当t=1时，y=sinπ
2
=1，y=sin2π=0，y=sin3π=0，y=2sin3π=0，
由图象可知H（1）=0，∴排出① ，
由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t），g（t）的周期不同，
而③ ④ 的周期相同，∴一定包含② y=sin2πt，
若② ④ 组合，当t= 1
6时，H（1
6
）=sin（2π× 1
6
）+2sin（3π× 1
6
）= √3
2
+2＞3，与图象不符，
∴排除④ ，∴只能是② ③ ．
故答案为：π，② ③ ．
【点评】：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．
16.（问答题，9分）已知函数f(x)=1−cos2x
sinx
．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f(θ)=2√5
5，且θ∈(π
2
，π)，求tan（π-θ）的值．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）由sinx≠0即可求出f（x）的定义域．
（Ⅱ）先化简函数f（x）的解析式，再代入f(θ)=2√5
5，得到sinθ= 2√5
5
，在根据同角三角函
数间的基本关系和角θ的范围求解即可．
【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z），
∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
（Ⅱ）f(x)=1−cos 2x
sinx = sin2x
sinx
=sinx，
∵ f(θ)=2√5
5
，
∴sinθ= 2√5
5
，
又∵ θ∈(π
2，π)，∴cosθ=- √1−sin2θ =- √5
5
，
∴tan（π-θ）=-tanθ=- sinθ
cosθ
=2．
【点评】：本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；
（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）根据向量的运算性质计算即可；（Ⅱ）根据向量的线性运算计算即可．
【解答】：解：（Ⅰ）∵A （5，-2），B （-1，4），M 是线段AB 的中点， ∴M （
5−12 ， −2+4
2
）=（2，1）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，4）-（5，-2）=（-6，6）；
（Ⅱ）设D （x ，0），则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，-4）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-2）， ∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，
∴（x+1）•（-2）-（-4）•（-1）=0，解得：x=-3， ∴点D 的坐标是（-3，0）．
【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题． 18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3
) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π
3
，
7π
3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
x
π3
5π6
11π
6 7π3
x−π
3
π3π
2
2π
f（x） 2
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．
（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为2π
3
，求g（x）的单调递增区间；
（ⅱ）若函数g（x）在[0，π
3
]上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）利用正弦函数的性质及五点作图法即可求解；
（Ⅱ）（ⅰ）由已知可求g（x）=2sin（ωx- π
3
），利用正弦函数的周期公式可求ω=3，利用正弦函数的单调性即可求解；（ⅱ）利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】：解：（Ⅰ）表格如下：
x π
35π
6
11π
6
7π
3
x−π
3
π
2
π3π
2
2π
f（x） 2 -2 图像如下：
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．
（ⅰ）∵ f (x )=2sin (x −π
3) ，g （x ）=f （ωx ）（ω＞0）． ∴g （x ）=2sin （ωx - π
3 ），
∵函数g （x ）的最小正周期为 2π3 = 2π
ω ，解得ω=3， ∴g （x ）=2sin （3x- π3
），
令2kπ- π2 ≤3x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，解得- π
18 + 2kπ3 ≤x≤ 5π18 + 2kπ
3
，k∈Z ， 可得g （x ）的单调递增区间为[- π
18 + 2kπ3 ， 5π18 + 2kπ
3
]，k∈Z ； （ⅱ）ω的取值范围为（0，1）．
【点评】：本题主要考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题． 19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：
① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．
（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；
（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=t
f (t )+f (t )f(4t
)
的值域．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）利用定义分别判断即可求解得结论；
（Ⅱ）由 ② 计算可得f （x+2n ）=f （x ）+n ，即f （x+2n ）-f （x ）=n ，令n=2021即可求得a 的值；
（Ⅲ）根据已知可得任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ，由f （t ）≠0，可得t∉[-2，2），分t=2，|t|＞2两种情况分别求出g （t ）的值域即可得解．
【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=2x 为增函数，满足性质 ① ， 对于 ② ，由∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1有2（x+T ）=2x+1， 所以2T=1，T= 12
，
所以函数f （x ）=2x 满足性质P （ 1
2 ）．
函数g （x ）=sinx 显然不满足 ① ，所以不满足性质P （T ）． （Ⅱ）存在，理由如下： 由∀x∈R ，f （x+2）=f （x ）+1．
可得f （x+2n ）=f （x+2n-2）+1=f （x+2n-4）+2=f （x+2n-6）+3=…=f （x ）+n （n∈N*）， 即f （x+2n ）-f （x ）=n ， 令n=2021，得a=2n=4042．
（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），所以f （0）=0， 因为函数f （x ）满足性质P （4），
由 ① 可得，在区间[-2，0]上有f （-2）≤f （x ）≤f （0），
又因为f （-2）=0，所以0≤f （x ）≤0，可得任意x ∈[-2，0]，f （x ）=0， 又因为对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ）， 所以任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，
递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ， 函数g （t ）=
t
f (t )(f(4t
)+1)
，因为f （t ）≠0，所以t∉[-2，2），
由 ② 及f （-2）=0，可得f （2）=1， 所以当t=2时，g （2）= 2
1×(1+1) =1， 当|t|＞2时， 4
t ∈（-2，2），所以f （ 4
t ）=0， 即|t|＞2时，g （t ）= t
f (t ) ，
所以当t∈[4k -2，4k+2）（k∈Z ，k≠0，t≠2）时，g （t ）= t
k ， 当k≥1时，g （t ）∈[
4k−2k ， 4k+2k ）=[4- 2k ，4+ 2
k
）（当k=1时，g （t ）≠2，需要排除），
此时 2
k 随k 的增大而减小，所以[4- 2
k+1 ，4+ 2
k+1 ）⫋[4- 2
k ，4+ 2
k ）， 所以求值域，只需取k=1，得g （t ）∈[4- 2
1 ，4+ 2
1 ）=[2，6）， 当k ＜0时，g （t ）∈（
4k+2k ， 4k−2k ]=（4+ 2k ，4- 2k
]， 此时 2
k 随k 的增大而减小，所以（4+ 2
k−1 ，4- 2
k−1 ]⫋（4+ 2
k ，4- 2
k ]， 只需取k=-1，得g （t ）∈（4+ 2
−1 ，4- 2
−1 ]=（2，6]．
综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2，6]．
【点评】：本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。