2022届广东省揭阳一中、潮州金山中学高三压轴卷数学试卷(含解析)

2022学年高考数学模拟测试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数
的图象可能是下面的图象( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）条件．
A ．必要而不充分
B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
3．已知函数ln(1),0()11,02
x x f x x x +>⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）
A ．[32ln 2,2)-
B ．[32ln 2,2]-
C ．[1,2)e -
D ．[1,2]e -
4．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1
B ．5
C ．3
D ．5
5．函数1()ln |
|1x
f x x
+=-的图象大致为 A ． B ． C ．
D ．
6．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
7．已知命题p ：,x R ∃∈使1
sin 2
x x <
成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1
sin 2x x ≥
均成立 B ．,x R ∀∈1
sin 2x x <
均成立 C ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x ≥成立
D ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x 成立 8．要得到函数2sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象
A ．向左平移3π
个单位长度 B ．向右平移3
π
个单位长度
C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
6
π
个单位长度 9．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[
)4+∞， B ．[]
06，
C ．[]04，
D ．[)6+∞，
10．已知函数
()2
22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．
54
π B ．
34
π C ．
2
π D ．
3
π 11．把函数2
()sin f x x =的图象向右平移12
π
个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题
①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12
x π
=
③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
④()g x 存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知抛物线2
2(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆2
2
(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）
A ．211-
B ．5
25
-
C ．25
D ．251-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围有___________.
14．曲线3
y x =在点（1，1）处的切线与x 轴及直线x =a 所围成的三角形面积为
1
6
，则实数a =____。

15．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈都有
n k S S ≤成立，则k 的值为__________．
16．已知集合{}02A x x =<<，{
}11B x x =-<<，则A
B =_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．
BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，13
2
PB =，3PA PC ==
（Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；
（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．
18．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
2
，且过点()0,1A .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系. 19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θ
θ
==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C 的极坐标方程是2sin ρθ=.
（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，和(20)，
，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求
22
11
||||OA OB +的值.
20．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，3AC PB =.
（1）求证：AC PB ⊥；
（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值.
21．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：. 组别
[)30,40
[)40,50
[)50,60
[)60,70
[)70,80
[)80,90
[)90,100
频数
2
12
20
25
24
13
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198,Z N μμ-似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求38.2(.)802P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额(单位：元)
20 50
概率
34 14
现有市民甲参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望. 附：参考数据与公式：19814≈，若()2
,X N
μσ-，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，
()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=
22．（10分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据： 处罚金额x （单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数y
50
40
20
10
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民.现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？
2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【答案解析】 因为，所以函数
的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当
时，
，
所以，排除D ．选C ．
2、A 【答案解析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确
定结果. 【题目详解】
若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2
c <{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【答案点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 3、A 【答案解析】
分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =， 则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-， 则满足01,20n e m <<--<≤，
则1
ln(1)12
n m +=
+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111
n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<， 当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-， 当0n =时，()022ln12h =-=；
当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，
所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 4、A 【答案解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出z ，求出z 的模即可． 【题目详解】 解：55(34)4334255
i i i i
z i +-+=
==-， 2
2
43155z ⎛⎫⎛⎫
∴=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选：A 【答案点睛】
本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 5、D 【答案解析】
由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln |
|1x f x x --==+1ln ||()1x
f x x
+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ． 6、B 【答案解析】
由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
7、A 【答案解析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2
x x x ∀∈≥
R ．
考点：全称命题. 8、D 【答案解析】 先将2sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
化为2cos 26π⎡⎤
⎛⎫=-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【题目详解】 因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=+
=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6
π
个单位. 【答案点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型. 9、B 【答案解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围. 【题目详解】
实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，
则将2y x =-平移，平移后结合图像可知，当经过原点()0,0O 时截距最小，min 0z =； 当经过()3,0B 时，截距最大值，max 2306z =⨯+=， 所以线性目标函数2z x y =+的取值范围为[]0,6，
故选：B. 【答案点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题. 10、C 【答案解析】
利用二倍角公式与辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数()y g x =的解析式为
()2sin 416g x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，可得函数()y g x =的值域为[]1,3-，结合条件()()129g x g x ⋅=，可得出()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，于是得出12x x -为函数()y g x =最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项. 【题目详解】
函数()2
22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭，
将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
12倍，得2sin 46y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛
⎫==-+ ⎪⎝
⎭的图象，易知函数()y g x =的值域为[]1,3-.
若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由()426
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈； 其中1x 、2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，
12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242
T ππ
=
=．故选C ． 【答案点睛】
本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定()1g x 、()2g x 均为函数()y g x =的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11、C 【答案解析】
由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭可求得值域；
利用代入检验法判断②③；
对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【题目详解】 由题,2
1cos 2()sin 2
x
f x x -==
, 则向右平移12
π
个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛
⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝
⎭ cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；
当12
x π
=时,206
x π
-
=,所以12
x π
=
是函数()g x 的一条对称轴,②正确；
当3
x π
=
时,226x ππ-
=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛
⎫'=-∈- ⎪⎝
⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和
2x x =处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个. 故选:C 【答案点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用. 12、D 【答案解析】
利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min
PM ，由PQ 取
得最小值为min
1PM -，求得结果.
【题目详解】
由抛物线2
:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2
p
x =-
， 则点(5,)t 到焦点的距离为562
p
d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：2
4y x =，
设(,)P x y ，圆22
:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，
则PM ===，
当4x =时，PQ 11-=， 故选D. 【答案点睛】
该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0a =或12
a ≥ 【答案解析】 函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-的零点⇔方程224x a x a -+=的根，求出方程的两根为14x a =-，20x =，从而可得40
a -=或42a -≤-，即0a =或1
2
a ≥. 【题目详解】 函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞的零点⇔方程224x a x a -+=在区间(2,)-+∞的根，所以|2|2||x a x a -=+，
解得：14x a =-，20x =， 因为函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，
所以40a -=或42a -≤-，即0a =或12
a ≥. 【答案点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论. 14、13
a =
或1 【答案解析】
利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与x 轴和x a =的交点，由三角形的面积公式可得所求值． 【题目详解】
3y x =的导数为23y x '=，
可得切线的斜率为3，切线方程为13(1)y x -=-，
可得32y x =-，可得切线与x 轴的交点为2
(3
，0)，切线与x a =的交点为(,32)a a -，
可得
121·32236a a --=，解得1a =或13。

【答案点睛】
本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。

15、20 【答案解析】
由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出n S ，利用二次函数的基本性质求出n S 的最大值及其对应的n 值，即可得解. 【题目详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由14712581399931293a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1392a d =⎧⎨=-⎩
，
()()()2
21139140204002
n n n d S na n n n n n n -∴=+=--=-+=--+.
所以，当20n =时，n S 取得最大值，
对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k S 为数列{}n S 的最大值，因此，20k =. 故答案为：20. 【答案点睛】
本题考查等差数列前n 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题. 16、()0,1 【答案解析】
根据交集的定义即可写出答案。

【题目详解】
{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，(0,1)A B =
故填()0,1 【答案点睛】
本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、
【答案解析】
(I)取AC 的中点M ,连接,PM BM ,通过证明AC ⊥平面PBM 得出AC BP ⊥;
(II)以M 为原点建立坐标系，求出平面APC 的法向量n ，通过计算n 与AD 的夹角得出AD 与平面APC 所成角． 【题目详解】
（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，PA ＝PC ，
∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ，又BM ∩PM ＝M ， ∴AC ⊥平面PBM ， ∵BP ⊂平面PBM ， ∴AC ⊥BP ．
（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，
∵AB ＝BC ＝1，∴
AC =BM 1
2
=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ． ∵PA ＝
PC =
CM 12AC =
=
PM 32=， ∵
PB =，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°
， 以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，
以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0
，，0），C （0
0），P （34-，0
，D （﹣1
，0）， ∴AD =（﹣1
0），AC =（0
0），AP =（34-
，2
，4
）， 设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00
n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即0
304
x y z =⎨-++=⎪⎩， 令
x =n =
0，1）， ∴cos n ＜
，4
n AD AD n AD
⋅=
=-
＞
∴直线AD 与平面APC 所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|34
=
．
【答案点睛】
本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理使用,难度一般.
18、（1）2
214
x y +=（2）点M 在以OD 为直径的圆上
【答案解析】
（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆C 的标准方程； （2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ，求出直线AM 的方程，进而求出点N 的坐标，再利用中点坐标公式得到点D 的坐标，下面结合点P 在椭圆C 上证出0OM DM →
→
⋅=，所以点M 在以OD 为直径的圆上． 【题目详解】
（1）由题意可知，2221
3b c
a a
b c
=⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩，
∴椭圆C 的标准方程为：2214
x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0
(
2
x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为0000
12(1)
02
y y x x --=
-， ∴直线AM 的方程为：00
2(1)
1y y x x -=
+，
令1y =-得，0
1x x y =
-， ∴点N 的坐标为0
(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为0
0(
2(1)
x y -，1)-，
∴0(2
x OM DM →
→
⋅=，222
0000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-
+=+-+--， 又
点0(P x ，0)y 在椭圆C 上，
∴2
20014
x y +=，220044x y =-，
∴2000004(1)
11(1)04(1)
y OM DM y y y y →
→
-⋅=-
+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．
【答案点睛】
本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．
19、（1）线1C 的普通方程为2
214
x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=；（2）22
115||||4OA OB +=. 【答案解析】
试题分析：（1）（1）利用cos 2
θ+sin 2
θ=1，即可曲线C 1的参数方程化为普通方程，进而利用x cos y sin ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
即可化为极坐
标方程，同理可得曲线C 2的直角坐标方程；
（2）由12M M 过()2
211x y +-=的圆心，得OP OQ ⊥得OA OB ⊥，设()1A ρθ，
，22B ，πρθ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，2222
121111||||OA OB ρρ+=+代入2222cos sin 14
ρθρθ+=中即可得解. 试题解析：
（1）曲线1C 的普通方程为22
14
x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=
曲线2C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=
（2）在直角坐标系下，()101M ，
，()220M ，，12:220M M x y +-= 恰好过()2
211x y +-=的圆心，
∴90POQ ∠=︒由OP OQ ⊥得OA OB ⊥ A ，B 是椭圆2
214
x y +=上的两点，
在极坐标下，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别代入22
2211cos sin 14
ρθρθ+=中， 有
222211cos sin 14
ρθ
ρθ+=和
2
222
22cos 2sin 1
4
2πρθπρθ⎛
⎫
+
⎪⎛⎫⎝⎭
++= ⎪⎝
⎭ ∴22
211
cos sin 4θθρ=
+，22221sin cos 4
θθρ=+ 则
2
2
12
1
1
54ρρ+
=
，即
22115
||||4
OA OB += 20、（1）证明见详解；（2）5
5
【答案解析】
（1）取AC 中点O ，根据,AC PO AC BO ⊥⊥，利用线面垂直的判定定理，可得AC ⊥平面OPB ，最后可得结果. （2）利用建系，假设AC 长度， 可得AC ，以及平面PAB 的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【题目详解】
（1）取AC 中点O ，连接,OP OB ，如图
由PA PC =，AB BC = 所以,AC PO AC BO ⊥⊥ 由PO
BO O =,,PO BO ⊂平面OPB
所以AC ⊥平面OPB ，又PB ⊂平面OPB 所以AC PB ⊥ （2）假设3AC =，
由120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，3AC PB =. 所以33
3,,22
PB OB OP ==
=
则222PB OB OP =+，所以OP OB ⊥
又OP AC ⊥，,AC OB O ⋂=,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC ，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥ 又OB OC ⊥，故建立空间直角坐标系O xyz -，如图
33330,,0,0,,0,,0,0,0,0,2222A C B P ⎛
⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()33330,3,0,,,0,0,222AC AB AP ⎛⎛⎫
=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭
设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =
则3
30
02
20330
2
x y n AB n AP y z ⎧+=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨
⎨⋅=⎩⎪+=⎪⎩ 令3z =
(1,1,3n =-
则直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值为
5
5
n AC n AC
⋅=
【答案点睛】
本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
21、（1）0.8185（2）详见解析 【答案解析】
()1
由题意，根据平均数公式求得66.2μ=，再根据14σ=≈，参照数据求解.
()2由题意得()()1
2
P Z P Z μμ<=≥=
，获赠话费X 的可能取值为20,40,50,70,100，求得相应的概率，列出分布列求期望. 【题目详解】
()1由题意得
352451255206525752485139514
66.2100
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
66.2μ∴=
19814σ=≈
()()66.21466.21452.280.20.6826P Z P Z ∴-<≤+=<≤= ()()()1
66.221452.238.294.252.280.20.13592P Z P Z P Z -⨯<≤=
<≤-<≤=⎡⎤⎣
⎦ 综上，()()()38.280.238.252.252.280.20.13590.68260.8185P Z P Z P Z <≤=<≤+<≤=+=
()2由题意得()()1
2
P Z P Z μμ<=≥=
，获赠话费X 的可能取值为20,40,50,70,100 ()133
20248P X ==⨯=，()133********
P X ==⨯⨯=
()11150248P X ==⨯=，()1311133
7024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=
()1111
10024432
P X ==⨯⨯=
X 的分布列为：
39131165
20405070100832816324
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
【答案点睛】
本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22、（1）降低1
5
（2）
1
6
【答案解析】
（1）计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；
（2）闯红灯的市民有80人，其中A类市民和B类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4人依次排序，计算所求的概率值.
【题目详解】
解：（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率为401 2005
=；
不进行处罚，行人闯红灯的概率为802 2005
=；
所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低211 555 -=；
（2）由题可知，闯红灯的市民有80人，A类市民和B类市民各有40人
故分别从A类市民和B类市民各抽出两人，4人依次排序
记A类市民中抽取的两人对应的编号为1,2，B类市民中抽取的两人编号为3,4
则4人依次排序分别为(1,2,3,4),(1,2,4,3)，(1,3,2,4),(1,3,4,2)，(1,4,3,2),(1,4,2,3)，(2,1,3,4),(2,1,4,3)，(2,3,1,4),(2,3,4,1)，(2,4,1,3),(2,4,3,1)，(3,1,2,4),(3,1,4,2)，(3,2,1,4),(3,2,4,1)，(3,4,1,2),(3,4,2,1)，(4,1,2,3),(4,1,3,2)，(4,2,1,3),(4,2,3,1)，(4,3,1,2),(4,3,2,1)，共有24种
前两位均为B类市民排序为(3,4,1,2),(3,4,2,1)，(4,3,1,2),(4,3,2,1)，有4种，所以前两位均为B类市民的概率是
41
246
P==.
【答案点睛】
本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.。