2021年高中数学第一章空间几何体1.1.2简单组合体的结构特征学案新人教A版必修2

1．1.2 简单组合体的结构特征
[目标] 1.了解组合体的概念；2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征．
[重点] 对简单组合体两种基本形式的认识． [难点] 把简单组合体分解为简单几何体．
知识点一 简单组合体的结构特征
[填一填]
1．定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的两种基本形式：
简单组合体⎩
⎪⎨⎪⎧
由简单几何体拼接而成；
由简单几何体截去或挖去一部分而成.
[答一答]
1．组合体的形式有哪些？
提示：(1)多面体与多面体的组合体． (2)旋转体与旋转体的组合体． (3)多面体与旋转体的组合体．
2．如图是一暖瓶，不考虑提手，其主要的结构特征是什么？
提示：把暖瓶看作一个旋转体，它是一个简单组合体，是由两个圆柱和一个圆台拼接而成的．
类型一 简单组合体的结构特征
[例1] (1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的． (2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．
[解](1)图①中的几何体可以看做是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．
(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱．
(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥．
(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．
会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
[变式训练1]请描述如图所示的组合体的结构特征．
解：①是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体；
②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的组合体．
类型二平面图形旋转形成的组合体
[例2]已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
[解](1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．
(2)以BC为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图②所示．
(3)以CD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示．
(4)以AD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图④所示．
对于不规则的平面图形绕轴旋转的问题，要对原平面的图形通过向轴作垂线，作适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的特征进行判断.
[变式训练2]如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(B)
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
类型三与球有关的“切”与“接”问题
[例3]已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球及与各棱都相切的球半径．
[分析]解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系．
[解] (1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图(1)所示，设球的半径为R 1，易得R 1＝a
2
.
(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，设球的半径为R 3，易求得球的半径R 3＝
22
a .
组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算．正方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方体各棱都相切，则球的直径等于正方体面对角线的长．
[变式训练3] 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能是( C )
A ．①③④
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
解析：考虑过球心的正方体截面位置的可能情形．当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面，也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.故选C.
1．如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是( C )
A ．梯形、正方形
B ．圆台、正方形
C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱
解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D，所以选C.
2．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是(D)
A．圆锥
B．圆锥和球组成的简单几何体
C．球
D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体
解析：三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体．
3．图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
解析：当截面不过旋转轴时，截面图形是(5)，故选D.
4．已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为10 cm.
解析：由题意知求球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，可以看作下面是一个正方体，正方体的棱长是6 cm，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5，则四棱锥的高是52－32＝16＝4，∴球心到盒底的距离为6＋4＝10(cm)．
5．下列组合体是由哪几种简单几何体组成的？
解：(1)是由一个圆柱和一个六棱柱组成的；(2)是由一个圆锥、一个圆柱和一个长方体组成的；(3)是由一个球和一个圆台组成的．
——本课须掌握的问题简单组合体的构成有两种基本形式：一种是拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．具体可以分为以下三类：
(1)多面体与多面体的组合
由两个或两个以上的多面体组合而成，如图(1)是一个正方体截去一个三棱锥的组合体．
(2)多面体与旋转体的组合
由多面体和旋转体组合而成，如图(2)是一个六棱柱与一个圆柱的组合体．
(3)旋转体与旋转体的组合
由两个或两个以上的旋转体组合而成，如图(3)是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．。