2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 62 平面向量的运算 教案 (1)
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6.1 向量的加法运算
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；
2.教学难点：向量加法的运算律。 多媒体 A.理解向量加法的意义；
B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；
C.
理解向量的运算律；
D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。
一、复习回顾，温故知新
1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 【答案】向量：既有方向又有大小的量。 平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量。
2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？
【答案】向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 零向量：长度为零的向量叫零向量；
单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。 二、探索新知
思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？
【答案】 从运算的角度看，可以认为是与的和，即位移、可以看作
向量的加法。
1.已知向量和，如图在平面内任取一点O ，作，则向量叫做和的和，记作．即OB AB OA b a =+=+。
求两个向量和的运算叫做向量的加法.
根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
【口诀】首尾相连首尾连。
思考2：某物体受到F1，F2作用，则该物体所受合力怎么求？
【答案】从运算的角度看，可以认为是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。
2.向量加法的平行四边形法则
如图，以同一点O为起点的两个已知向量和为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
【口诀】起点相同，对角线为和。
思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。
注：向量的加法运算结果还是向量
对于零向量与任一向量．我们规定。
例1.如图，已知向量和，求作向量。
解：探究1：如果向量和共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能
做出向量吗？
【答案】（1）当和同向时，
AC
BC
AB
b
a=
+
=
+
（2）当和反向时，
AC
BC
AB
b
a=
+
=
+
探究2：结合例1，探索之间的关系。
【答案】由例1和探究1可得，当和反向或不共线时，；当和同向时，。所以，。
结论：一般地，有。
探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
【答案】在平行四边形ABCD中，
,b
a
BC
AB
AC+
=
+
=
a
b
DC
AD
AC+
=
+
=，所以。
在图（2）中，
c
b
a
CD
AC
CD
BC
AB
AD+
+
=
+
=
+
+
=)
(
，
形法则，提高学生的
解决问题、分析问题
的能力。
通过例题讲解，让学
生理解怎样用向量
的三角形法则与平
行四边形法则求向
量的和，提高学生解
决问题的能力。
通过探究，求共线向
量的和，进一步理解
向量的求和法则，提
高学生的解决问题、
分析问题的能力。
)(c b a BD AB CD BC AB AD ++=+=++=，所以， ）（c b a c b a ++=++)(。
结论：向量加法的交换律和结合律
，）（c b a c b a ++=++)(
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。
解：（1）如图所示，表示船速，表示水速，以AD 、AB 为邻边作平行四边形，则表示船实际航行的速度。 （2）在
中
，
3
2||,2||==BC AB ，
所
以
，
4)32(2||||||2
2
2
2
=+=+=BC AB AC ，
因为，
32
3
2|
AB ||BC |tan ==
=
∠CAB ，所以。
所以，船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。