高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.2指数函数1学案苏教版必修1201710
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.1.1分数指数幂(2)教案苏教版必修1
3.1.1分数指数幂（2）（预习部分）一、教学目标1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化；2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简；3．会对根式、分数指数幂进行互化；4．培养学生用联系观点看问题．二、教学重点1.分数指数幂含义和运算性质的理解；2.有理数指数幂的运算和化简.三、教学难点有理数指数幂的运算和化简四、教学过程（一）创设情境，引入新课情境：上节课研究了根式的意义和性质，那么根式与指数幂有什么关系？整数指数幂有那些运算性质？（二）推进新课1．正数的分数指数幂的意义：（1）正数的正分数指数幂的意义是m n a= ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a-= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质：即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈，()()2sr a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈．3. 有理数指数幂的运算性质对 指数幂同样适用.4. 0的正分数指数幂等于 .（三）预习巩固 书第62页练习2,3,4,5分数指数幂（1） （课堂强化）（四）典型例题【例1】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．(1) 111132222()xy x y xy -⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭(2)2369)(a ·2639)(a【例2】已知13a a-+= ，求下列各式的值：（1）21a -12a -； （2）23a -32a -变式练习：(1)已知11223x x-+=，求33222232x x x x --+-+-的值.(2)已知21xa =，求33x xx x a a a a --++的值.【例3】利用指数的运算法则，解下列方程：(1) 32142568x x +-=⨯ , (2) 2126280x x +--⨯-= .（五）随堂练习1．=；a=；44⋅= .2．化简（1）131121373222[()()()]ab ab b ---⋅⋅⋅= ．（2） 21131133344()()x y z x y z ---⋅⋅⋅⋅⋅= ．（3）)20a >= ．3．已知0,0a b >>，化简：（1）11555a a a -+++= ； （2）11112244()()a b a b -÷-= .4．设0,0,b b a b a a ->>+=b b a a --=5．3216842111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++=9．化简1111124242(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+．（六）课堂小结（七）课后作业。
(教师用书)高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数教案 苏教版必修1
第3章指数函数、对数函数和幂函数3．1指数函数3．1.1 分数指数幂(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解根式、分数指数幂的概念；(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化；(2)掌握分数指数幂的运算性质．2．过程与方法(1)通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质．(2)通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念和指数幂的性质．3．情感、态度与价值观(1)培养学生观察、分析、抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；(2)通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；(3)让学生体验数学的简洁美和统一美．●重点、难点重点：根式、分数指数幂的概念及运算性质．难点：运用分数指数幂运算性质化简求值．(教师用书独具)●教学建议1．关于分数指数幂概念的引入的教学 建议教师由初中学习的a ，3a 入手引入．2．分数指数、无理数指数是指数概念的又一次扩充，也是学生学习的重点所在． 建议教师在教学中要让学生反复理解有理数指数幂的意义，分数指数不同于因式的乘积，而是根式的一种新写法，教学中可以通过根式和分数指数的互化来巩固加深对这一概念的理解．关于负分数指数幂和有理数指数幂的意义可以在正分数指数幂的基础上引导学生自己得出．对于无理数指数幂的理解是个难点，可以充分借助科学计算器等计算工具初步理解无限趋近这一重要数学思想．3．正分数指数幂、负分数指数幂以及根式定义(1)必须抓好定义中的底数a >0，并解释清楚a 为什么必须大于0，并不是所有的a <0都无意义，不要使学生进入一个误区，误认为a <0时以上定义均无意义．(2)根式的概念是教学的难点，在教材的基础上，可以再举几个实例加深理解，n 次方根的性质实质是平方根、立方根性质的推广，教学时可以以平方根、立方根为基础加以说明．(3)使学生明确三个概念之间的联系，分数指数幂与根式只是形式不同，它们之间是可以互化的，a －m n ＝1a mn＝1n a m(a >0，m ，n 均为正整数)．(4)关于有理数指数幂的运算性质的教学建议教师先复习幂的推广过程，同时要强调限制条件的变化，建议让学生用自己的语言叙述指数运算的三条性质．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正1．4的平方根是什么？8的立方根是什么？ 【提示】 ±2,22．我们知道x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，试想x 3＝a ，x 4＝a ，x 5＝a …，x 如何定义？ 【提示】 x 分别叫做a 的立方根，四次方根、五次方根…3．因(±2)4＝16，则±2都是16的四次方根吗？16的平方根是多少？正数偶次方根都是两个吗？【提示】 是，±4，是． 4．一个数的奇次方根有几个？ 【提示】 一个． 1．n 次实数方根一般地，如果一个实数x 满足x n＝a (n >1，n ↔N *)，那么称x 为a 的n 次实数方根．需要注意的是，0的n 次实数方根等于0.2．根式的定义式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．1．计算a 4和5a 10(a >0)． 【提示】a 4＝ a 2 2＝a 2＝a 42；5a 10＝5a 2 5＝a 2＝a 105.2．根据a －n＝1a n ，计算m －43.【提示】 m －43＝1m 43.一般地，我们规定(1)a m n＝na m(a >0，m ，n 均为正整数)．(2)a －m n ＝1a m n(a >0，m ，n 均为正整数)．(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．1．计算33×3－5和33＋(－5)，它们之间有什么关系？【提示】 33×3－5＝19，33＋(－5)＝19，相等．2．计算(22)12和22×12，它们之间有什么关系？【提示】 (22)12＝412＝2,22×12＝21，相等．有理数指数幂的运算性质 (1)a s a t＝as ＋t，(2)(a s )t ＝a st， (3)(ab )t＝a tb t，其中s ，t ↔Q ，a >0，b >0.(1)5 －3 5；(2)4 －3 2；(3)4 π－4 2；(4) a －b 2.【思路探究】 根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根式的不同，用根式的性质解题． 【自主解答】 (1)5 －3 5＝－3； (2)4 －3 2＝432＝3； (3)4 π－4 2＝4－π；(4) a －b 2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b a >b ，0 a ＝b ，b －a a <b .1．求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个．2．根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对ma n仅当a ≥0时，恒有ma n＝(ma )n，若a <0，则不一定．3．根式的性质，n 为奇数时na n＝a ，n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0 ，－a a <0 .计算下列各式的值(1)3 －8 3＝________；(2) －10 2＝________； (3)4 3－π 4＝________；(4) m －n 2(m >n )＝________. 【解析】 3－8 3＝－8； －10 2＝102＝10；43－π 4＝|3－π|＝π－3； m －n 2＝m －n .【答案】 (1)－8 (2)10 (3)π－3 (4)m －n(1)13x 5x 2 2；(2)(4b －23)－23(b >0)；(3)a 3a 4a (a >0)．【思路探究】 各小题中均含有根式，可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．【自主解答】 (1)原式＝13x x 252＝13xx 45＝13x95＝1 x 95 13＝1x 35＝x －35. (2)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×(－23)＝b 19.(3)法一 原式＝ a 3aa 14＝a a 54 13＝(a 1＋512)12＝a 1724. 法二 原式＝(a3a 4a )12＝a 12(3a 4a )12＝a 12[(a 4a )13]12＝a 12a 16(a 14)16＝a 12＋16＋124 ＝a 1724.1．此类问题应熟练应用a m n＝na m (a >0，m ，n ↔N*，且n >1)求解．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性质运算．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0 ，b >0)：(1)38－4；(2)4 －2 60；(3)a 33a 2；(4)a a ；(5) ab 3ab 5. 【解】 (1) 38－4＝8－43＝(23)－43＝2－4；(2)4 －2 60＝2604＝215；(3)a33a 2＝a 3a 23＝a 113；(4)a a ＝aa 12＝a 32＝a 34；(5) ab 3ab 5＝ ab 3a 12b 52＝ a 32b 112＝a 34b 114.求值计算下列各式：(1)(0.064)－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)3a92a －3÷ 3a －73a 13(a >0)．【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四则运算，注意一般先将小数化为分数．【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[a 13×92a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)a 12×133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1.进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用，一般地进行分数指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．化简求值：(1)a 23b 12(－3a 12b 13)÷(13a 16b 56)(a >0，b >0)；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.【解】 (1)原式＝(－3÷13)a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a .(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.已知a 2＋a －2＝4，求下列各式的值．(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2； (3)a 32－a －32a 12－a －12.【思路探究】 从已知式子和所求式子的特征可以看出，将已知条件式变形平方后可得a ＋a －1，而由a ＋a －1平方后又可得a 2＋a －2，因此可利用整体代换法求解．【自主解答】 (1)∵a 12＋a －12＝a ＋1a ＝4，∴(a ＋1a)2＝a ＋1a＋2＝16.∴原式＝a ＋1a＝14.(2)∵(a ＋1a )2＝a 2＋1a2＋2＝196，∴原式＝a 2＋1a2＝194.(3)∵a 32－a －32＝(a 12)3－(a －12)3，∴a 32－a －32a 12－a －12＝ a 12－a －12 a ＋a －1＋a 12·a －12a 12－a －12＝a ＋a －1＋1＝15.条件等式的求值是代数式中的常见题型．对该类问题一定要分析已知条件，通过将已知条件变形(如平方、因式分解等)寻找已知式和待求式的关系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”的思想方法去求值，可以简化解题过程．已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2的值． 【解】 ∵x 12＋x －12＝3，∴两边平方，得(x 12＋x －12)2＝9，∴x ＋x －1＝7.对x ＋x －1＝7两边平方， 得x 2＋x －2＝47.将x 12＋x －12＝3两边立方，得x 32＋x －32＋3(x 12＋x －12)＝27，即x 32＋x －32＝18.∴原式＝18－347－2＝13.不理解na (n 为偶数，a >0)的意义致误求481的值． 【错解】481＝±3.【错因分析】 认为481表示81的4次方根，81的4次方根应表示为±481，而481是其中之一．【防范措施】 当n 为偶数时．正数a 的n 次方根表示为±n a ，而na 只是其中之一． 【正解】 481＝3.1．分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．利用分数指数幂进行根式的运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算，最后的结果再用根式表示．2．应用公式进行根式的变形时，应注意公式成立的条件，以减少运算的失误．三条运算性质必须记准、记熟、会用、用活．3．条件代数式化简的方法：条件代数式灵活化简很重要，在解化简求值问题时常用的方法有：有“求值后代换”或“整体代换”.1．16的4次方根是________． 【解析】 ∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2. 【答案】 ±22．化简 π－4 2＋3 π－4 3的结果为________． 【解析】 原式＝|π－4|＋(π－4)＝4－π＋π－4＝0. 【答案】 03．已知a >0且a ＋a －1＝2，则a 2＋a －2＝________. 【解析】 a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝4－2＝2. 【答案】 24．化简： a 23b －1 －12a －12b 136ab5(其中各字母均为正数)．【解】 原式＝ a 23b －1 －12a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16b 12＋13－56＝a－1＝1a.一、填空题1．求下列各式的值： (1)5－32＝________； (2) －3 4＝________；(3) 2－3 2＝________.【解析】 (1)5－32＝5－25＝－2； (2) －3 4＝34＝9；(3) 2－3 2＝|2－3|＝3－ 2. 【答案】 (1)－2 (2)9 (3)3－ 2 2．计算23×31.5×612的结果是________． 【解析】 原式＝2×312×(32)13×(3×4)16＝2(1－13＋13)×3(12＋13＋16)＝2×3 ＝6. 【答案】 63．如果x －23＝4，则x 的值是________．【解析】 ∵x －23＝4，∴x ＝(14)32＝18.【答案】 184．(2013·南通高一检测)化简3a92a －3(a >0)＝________. 【解析】 ∵a >0，∴原式＝3a 92a －32＝3a 3＝a .【答案】 a5．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.【解析】 原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12＋1＋4x －12＋12＝4x 12－27－4x 12＋4＝－23.【答案】 －236．计算：4－23＋4＋23＝________.【解析】 原式＝ 3－1 2＋ 3＋1 2＝(3－1)＋(3＋1)＝2 3. 【答案】 2 37．已知10m ＝2,10n＝3，则103m －n 2的值是________．【解析】 由于10m ＝2,10n＝3， 所以103m －n 2＝(103m －n )12＝[(10m )3÷10n ]12＝(23÷3)12＝(83)12＝263. 【答案】2638．化简：a 3b 23ab 2a 14b 12 4a －13b 13(a >0，b >0)＝________.【解析】 原式＝ a 3b 2a 13b 23 12ab 2a －13b 13＝a 53b43a 23b73＝ab －1＝a b .【答案】 ab二、解答题9．(1)化简3xy 2xy －1xy (xy )－1；(2)计算2－12＋ －4 02＋12－1－ 1－5 0－823.【解】 (1)原式＝[xy 2(xy －1)12]13(xy )12－1＝x 13y 23|x |16|y |－16|x |－12|y |－12＝x 13|x |－13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.(2)原式＝12＋12＋2＋1－1－382＝2＋2－4＝22－4.10．(2013·天门高一检测)已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值．【解】a －b a ＋b ＝ a －b 2a ＋b a －b＝a ＋b －2aba －b .∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴a ＋b ＝6，ab ＝4.(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝62－4×4＝20. 又a >b >0，∴a －b ＝2 5. ∴原式＝6－2×225＝55.11．已知函数f (x )＝2x ＋2－x 2，g (x )＝2x －2－x2.(1)求证：[f (x )]2－[g (x )]2＝1；(2)求证：f (2x )＝[f (x )]2＋[g (x )]2，g (2x )＝2f (x )g (x )．【证明】 (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2x ·2－x＝1. (2)由f (x )＋g (x )＝2x ，f (x )－g (x )＝2－x， 平方相加得2{[f (x )]2＋[g (x )]2}＝22x＋2－2x＝2f (2x )，即f (2x )＝[f (x )]2＋[g (x )]2； 平方相减得4f (x )g (x )＝22x－2－2x＝2g (2x )，即g (2x )＝2f (x )g (x ).(教师用书独具)已知pa 3＝qb 3＝rc 3，且1a ＋1b ＋1c ＝1.求证：(pa 2＋qb 2＋rc 2)13＝p 13＋q 13＋r 13.【思路探究】 令pa 3＝qb 3＝rc 3＝k ，用等量代换分别表示出所证等式左、右两边的量，最后化简判断．【自主解答】 令pa 3＝qb 3＝rc 3＝k ，则pa 2＝ka，qb 2＝k b，rc 2＝k c，∴所证等式左边＝(k a ＋k b ＋k c )13＝[k (1a ＋1b ＋1c )]13＝k 13，所证等式右边＝(k a 3)13＋(k b 3)13＋(k c 3)13＝k 13(1a ＋1b ＋1c )＝k 13， ∴(pa 2＋qb 2＋rc 2)13＝p 13＋q 13＋r 13.对于“恒等式”，如本例，我们往往令它等于一个常数k ，然后以k 为“媒介”化简，这样可以使问题很容易解决．已知3a·2b＝3c·2d＝6，求证(a －1)(d －1)＝(b －1)·(c －1)． 【证明】 ∵3a·2b＝3×2，∴3a －1·2b －1＝1，∴(3a －1·2b －1)d －1＝1，即3(a －1)(d －1)·2(b －1)(d －1)＝1.①又3c ·2d＝3×2， ∴3c －1·2d －1＝1， ∴(3c －1·2d －1)b －1＝1，即3(c －1)(b －1)·2(d －1)(b －1)＝1.②由①②可知3(a －1)(d －1)＝3(c －1)(b －1)，∴(a －1)(d －1)＝(c －1)(b －1).3.1.2 指数函数第1课时 指数函数的概念、图象与性质(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质． (2)体会数形结合的思想． 2．过程与方法(1)能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征． (2)展示函数的图象，让学生观察，进而研究指数函数的性质．3．情感、态度与价值观(1)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．(2)培养学生观察问题，分析问题的能力． ●重点、难点重点：指数函数的概念及性质．难点：指数函数性质的归纳、概括及应用．(教师用书独具)●教学建议1．关于指数函数的概念的教学建议教师先复习正整数指数函数的定义，类比此定义，引出此概念，并分析其定义的特点，以加深认识层次．2．关于指数函数的图象与性质的教学建议教师从实例y ＝2x，y ＝(12)x 出发，让学生画出其图象，引导学生对比观察，类比正整数指数函数图象性质，再得出一般指数函数的图象及性质，在教学过程中要注意多运用现代教学工具，直观教学．3．关于函数图象变换的教学建议教师结合具体函数如y ＝2x，y ＝(12)x 的图象让学生观察总结规律，并给予相应的训练，强调注意点，以强化记忆．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!课标解读1.理解指数函数的定义(重点)．已知y ＝2x，y ＝(13)x .1．上面两个关系式是函数式吗？ 【提示】 是．2．这两个函数在形式上有何共同特点？ 【提示】 底数为常数，指数为自变量．一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，它的定义域是R .1．试作出函数y ＝2x(x ↔R )和y ＝(12)x (x ↔R )的图象．【提示】2．两函数图象有无交点？【提示】 有交点，其坐标为(0,1).3.两函数的图象与x 轴有交点吗？ 【提示】 没有交点，图象在x 轴上方．4．两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？【提示】 定义域都是R ；值域是(0，＋∞)；函数y ＝2x是增函数，函数y ＝(12)x 是减函数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝10x ＋1；(3)y ＝－4x；(4)y ＝x x；(5)y ＝x α(α是常数)； (6)y ＝(2a －1)x(a >12，a ≠1)．【思路探究】 依据是否符合y ＝a x(a >0，a ≠1)的形式逐一给出判断． 【自主解答】 (1)y ＝10x符合定义，是指数函数； (2)y ＝10x ＋1中指数是x ＋1而非x ，不是指数函数；(3)y ＝－4x中4x的系数为－1而非1，不是指数函数；(4)y ＝x x中底数和指数均是自变量x ，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y ＝x α中底数是自变量，不是指数函数． (6)∵a >12且a ≠1，∴2a －1>0且2a －1≠1.∴y ＝(2a －1)x(a >12，a ≠1)符合指数函数的定义，是指数函数．判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y ＝a x(a >0，a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：指数函数⇒底数a 是一个常数，不含自变量x ，a >0，a ≠1a x的系数为1指数位置是x 且它的系数为1函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，求a 的值． 【解】 ∵函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a >0，a ≠1，∴a ＝2.(1)(56)－0.24与(56)－14；(2)(1π)－π与1；(3)(0.8)－2与(54)－12.【思路探究】 因为是两个指数幂比较大小，故解答本题可利用指数函数的图象与性质或通过寻求第三个数，将两数进行比较．【自主解答】 (1)考察函数y ＝(56)x .∵0<56<1，∴函数y ＝(56)x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－0.24>－14，∴(56)－0.24<(56)－14. (2)考察函数y ＝(1π)x ，∵0<1π<1，∴函数y ＝(1π)x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－π<0，∴(1π)－π>(1π)0＝1.(3)先考察函数y ＝0.8x. ∵0<0.8<1，∴函数y ＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又－2<0，∴0.8－2>0.80＝1. 再考察函数y ＝(54)x.∵54>1，∴函数y ＝(54)x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又－12<0，∴(54)－12<(54)0＝1.综上可知0.8－2>(54)－12.比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．比较下列各组数的大小 (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,1.250.2；(3)1.70.3,0.93.1.【解】 (1)由于底数1.7>1，所以指数函数y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)1.250.2＝0.8－0.2，由于0<0.8<1，所以指数函数y ＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.8－0.1<1.250.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90<1，所以1.70.3>0.93.1.【思路探究】 分a >1和0<a <1两种情况，并结合指数函数的单调性求解． 【自主解答】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1≤ax －5，知2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. (2)当a >1时，由a2x ＋1≤ax －5，知2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6. 综上所述，x 的取值范围是： 当0<a <1时，{x |x ≥－6}； 当a >1时，{x |x ≤－6}．解指数不等式问题，需注意三点：(1)形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解；(3)形如a x >b x的形式，利用图象求解．把题设条件“a2x ＋1≤ax －5”换成“a2x ＋1≤1”，其余条件不变，求相应问题．【解】 (1)当0<a <1时，由a 2x ＋1≤1＝a 0，得2x ＋1≥0，解得x ≥－12.(2)当a >1时，由a2x ＋1≤1＝a 0，得2x ＋1≤0，解得x ≤－12.综上所述，当0<a <1时，x 的取值范围是{x |x ≥－12}；当a >1时，x 的取值范围是{x |x ≤－12}.对指数函数的概念理解不深刻致误判断下列函数是否为指数函数．①y ＝2x＋2；②y ＝x 12；③y ＝(13)－x .【错解】 ①②是指数函数，③不是指数函数．【错因分析】 忽略了指数函数的解析式是单项式，误认为①是指数函数；忽略了自变量在指数位置，误认为②是指数函数；没有将y ＝(13)－x 变形为y ＝3x，误认为③不是指数函数．【防范措施】 对指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的解析式，要把握如下特点：①自变量在指数位置，②底数是大于0且不等于1的常数，③解析式是单项式且系数为1.【正解】 ①②不是指数函数，③是指数函数．1．准确理解指数函数的定义在指数函数的定义表达式y ＝a x(a >0，且a ≠1)中，a x前的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上，否则不是指数函数．2．幂的大小比较幂的大小比较常用的方法有：作差(商)法，函数单调性法，中间值法以及数形结合法． 3．解型如a f (x )>ag (x )(a >0且a ≠1)的不等式，主要依据指数函数的单调性，当a >1时，可转化为f (x )>g (x )，当0<a <1时，可转化为f (x )<g (x ).1．下列函数中是指数函数的序号是________． (1)y ＝x 4；(2)y ＝2－x；(3)y ＝－2x；(4)y ＝(－2)x ；(5)y ＝πx.【解析】 (1)(3)不满足指数函数的基本形式，即y ＝a x，故不是指数函数； (4)中a ＝－2<0，不是指数函数；函数y ＝2－x＝(12)x ，则(2)中函数是指数函数，(5)显然也是指数函数，故(2)(5)是指数函数．【答案】 (2)(5)2．函数f (x )＝5x＋1的值域为________．【解析】 ∵5x>0，∴5x＋1>1，即函数的值域为(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞)3．(2013·宿迁高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵0<5－12<1， ∴f (x )＝a x在R 上单调递减，又f (m )>f (n )，∴m <n . 【答案】 m <n4．比较下列各组数的大小． (1)(23)－1.8与(23)－2.6；(2)(56)－23与1；(3)1.80.4与0.75.1.【解】 (1)考察函数y ＝(23)x，它在R 上是单调减函数．∵－1.8>－2.6， ∴(23)－1.8<(23)－2.6. (2)考察函数y ＝(56)x，它在R 上是单调减函数．∵－23<0，∴(56)－23>(56)0＝1，∴(56)－23>1.(3)由指数函数性质知 1.80.4>1.8＝1,0.75.1<0.7＝1，故1.80.4>0.75.1.一、填空题1．函数y ＝(a －2)x是指数函数，则a 的取值范围是________． 【解析】 由题意，得a －2>0且a －2≠1， ∴a >2且a ≠3. 【答案】 a >2且a ≠32．若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，则f (1)＝________. 【解析】 设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 由a 2＝9得a ＝3， ∴f (x )＝3x，则f (1)＝3. 【答案】 33．函数y ＝2x－8的定义域为________， 【解析】 由2x－8≥0得x ≥3. 【答案】 [3，＋∞) 4．不等式0.52x>0.5x －1的解集为________．【解析】 由0.52x >0.5x －1，得2x <x －1，解得x <－1.∴原不等式的解集为{x |x <－1}．【答案】 {x |x <－1}5．函数y ＝16－4x的值域是________． 【解析】 ∵4x>0， ∴0≤16－4x<16， ∴y ＝16－4x↔[0,4)． 【答案】 [0,4)6．下列图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(ba)x的图象只可能为________．【解析】 由指数函数y ＝(b a)x的图象知0<b a<1，∴a ，b 同号，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，而0>－b 2a >－12，∴②③④都不正确． 【答案】 ①7．当x >0时，(a 2－1)x<1恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵x >0时，(a 2－1)x<1恒成立． ∴0<a 2－1<1，解得1<a <2或－2<a <－1. 【答案】 1<a <2或－2<a <－18．(2013·临沂高一检测)函数y ＝(13)x －3x在区间[－1，1]上的最大值为________．【解析】 因y ＝(13)x 与y ＝－3x 在[－1, 1]上为减函数，故函数y ＝(13)x －3x在[－1,1]上单调递减，∴y max ＝(13)－1－3－1＝83.【答案】 83二、解答题9．设f (x )＝3x，g (x )＝(13)x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【解】 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝(13)－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝(13)－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝(13)－m ＝3m .从计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a ＞0，a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域； (3)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小． 【解】 (1)函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0＜(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．(3)∵f (x )＝(12)x －1是减函数，且b 2＋2≥2，∴f (b 2＋2)≤f (2)．11．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．【解】 (1)若a >1，则f (x )是增函数，由题意可得f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a 2，解得a ＝32.(2)若0<a <1，则f (x )是减函数，故f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.综上所述，a ＝12或a ＝32.(教师用书独具)求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝21x －1； (2)y ＝52x －1；(3)y ＝(12)2x －x 2；(4)y ＝9x＋2×3x－1.【思路探究】 本题主要考查指数型函数的定义域与值域，求值域时，关键由定义域、单调性和指数函数的值域求解．【自主解答】 (1)要使函数有意义，则x －1≠0，即x ≠1，∴函数的定义域为{x |x ≠1，且x ↔R }．∵x ≠1，1x －1≠0，∴21x －1≠1. ∴函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由2x －1≥0，得函数的定义域为{x |x ≥12}．∵2x －1≥0，∴2x －1≥0，∴y ＝52x －1≥1.∴函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴y ＝(12)2x －x 2≥12.∴函数的值域为{y |y ≥12}．(4)函数的定义域为R .令t ＝3x ，则t >0，y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为－1. 当t >0时，函数y ＝(t ＋1)2－2为单调增函数， ∴当t >0时，y ＝(t ＋1)2－2>1－2＝－1. ∴函数的值域为{y |y >－1}．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A ，再由函数的定义域A 求内函数的值域B ，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如第(4)小题是由函数y ＝t 2＋2t －1和函数t ＝3x复合而成，先求得原函数的定义域为R ，再由x ↔R ，得t >0(即得到内函数的值域B )，然后由t >0，得到原函数的值域为{y |y >－1}．(1)函数y ＝21x －3的定义域是________，值域是________． (2)函数y ＝(23)－|x |的值域是________，【解析】 (1)由x －3≠0，得x ≠3， ∴定义域为{x |x ≠3}． 又1x －3≠0，∴21x －3≠1， ∴y ＝21x －3的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)定义域为x ↔R ， ∵|x |≥0，∴－|x |≤0， ∴y ＝(23)－|x |的值域为{y |y ≥1}．【答案】 (1){x |x ≠3} {y |y >0且y ≠1} (2){y |y ≥1}第2课时 指数函数的图象与性质的应用(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握函数图象的平移变换与对称变换．(2)熟练掌握指数形式的函数定义域、值域的求法以及单调性、奇偶性判断． (3)会解指数函数型的应用题．2．过程与方法(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．(2)培养学生观察问题，分析问题能力．3．情感、态度与价值观(1)认识从特殊到一般的研究方法．(2)了解数学在生产实际中的应用．●重点、难点重点：指数形式的函数图象、性质的应用．难点：判断单调性．(教师用书独具)●教学建议1．关于函数图象变换的教学建议教师结合教材例3总结基本函数图象的变换规律，即y＝f(x)的图象通过平移得到y＝f(x＋a)与y＝f(x)＋a的图象，通过对称可得到y＝f(－x)，y＝－f(x)与y＝－f(－x)的图象，并比较它们变换的不同之处．2．关于指数函数单调性应用的教学建议教师在教学时，对学生特别强调底数a的范围对于单调性的影响，以便利用单调性进行数的大小比较以解不等式，对于含有参数的不等式要注意分类讨论．3．关于指数函数型模型的应用题的教学建议教师在加强学生对函数概念的理解和指数函数性质的运用时，同时要强调面对具体的问题，对其中蕴含的一些数学模型进行思考和作出判断，建立合理的数学模型，通过数学的方式解决实际应用题．●教学流程通过例1及其变式训练，使学生掌握与指数函数有关的几种党风函数的变换方法⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握运用指数函数解决实际应用问题的方法⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握综合运用指数函数的性质解决有关问题的方法⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正利用函数f (x )＝(2)x的图象，作出下列各函数的图象．(1)f (x －1)；(2)f (x ＋1)；(3)－f (x )； (4)f (－x )；(5)f (x )－1.【思路探究】 解答本题的关键在于分清楚变换过程，先画出y ＝(12)x的图象，再画出所要作的图象．【自主解答】 图象如图所示：函数图象变换的规律：(1)对于左右平移变换，可以简单记作：左加右减，它只变其中的x ，如y ＝3x 2――→左移2个单位y ＝3(x ＋2)2；(2)对于上下平移变换，可简单记作：上加下减，它是作用于解析式整体上的，如y ＝3x 2――→上移2个单位y ＝3x 2＋2；(3)对于对称变换的特点：关于x 轴对称：“y ”变为“－y ”；关于y 轴对称：“x ”变为“－x ”．可简单记作关于哪个轴对称，哪个轴对应的变量不变，即对称变换只分别作用于x 和y ，与它们的系数无关．已知函数y ＝(12)|x |，作出函数图象，求定义域、值域，并探讨y ＝(12)x (x ≥0)与y ＝(12)|x |的图象的关系．【解】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥0，2x ，x <0的图象如图所示，定义域为R ，值域为(0,1]．图象间的关系：将y ＝(12)x(x ≥0)的图象翻折到y 轴左侧(右侧的图象不动)，得到y ＝(12)|x |的图象.(1)试写出x 年后该城市人口总数y 万人与x 之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．【思路探究】本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为P，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋P)x表示．【自主解答】(1)1年后城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3，…故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．答：(1)x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式为y＝100(1＋1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤：(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满，问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？(参考数据：1.15≈1.61)【解】不妨设新树苗的木材量为Q，若连续生长10年，则木材量为N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；若生长5年重栽新树苗，则木材量为M＝2Q(1＋18%)5，则M N ＝2Q 1＋18% 5Q 1＋18% 5 1＋10% 5＝21.15≈21.61>1.所以M>N，即生长5年重栽新树苗可获得较多的成材木材量.若函数y ＝2x－1为奇函数．(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性．【思路探究】 先由f (－x )＝－f (x )求出a 的值，再分别解决其他问题． 【自主解答】 先将函数y ＝a ·2x －1－a2x－1化简为y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0， 即a －12－x－1＋a －12x －1＝0. ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0.∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x－1≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1>－1.又∵2x－1≠0，∴0>2x－1>－1或2x－1>0. ∴－12－12x －1>12或－12－12x －1<－12，即函数的值域为{y |y >12或y <－12}．(4)当x >0时，设0<x 1<x 2， 则y 1－y 2＝12x 2－1－12x 1－1＝2x 1－2x 22x 2－1 2x 1－1. ∵0<x 1<x 2， ∴1<2x 1<2x 2.∴2x 1－2x 2<0,2x 1－1>0,2x 2－1>0. ∴y 1－y 2<0.因此y ＝－12－12x －1在(0，＋∞)上递增．由于y ＝f (x )是奇函数，从而y ＝－12－12x －1在(－∞，0)上也是递增的．1．在解答第(3)问时注意应用指数函数y ＝2x的值域．在解答第(4)问时注意作差变形是解题的关键．2．与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.将本题中函数改为f (x )＝a －22x＋1(x ↔R )试解答下面问题： (1)证明：对于任意a ，f (x )在R 上为增函数； (2)试确定a 的值，使f (x )为奇函数． 【解】 (1)设x 1、x 2↔R ，x 1<x 2， ∴f (x 2)－f (x 1)＝a －22x 2＋1－(a －22x 1＋1) ＝2 2x 2－2x 12x 2＋1 2x 1＋1.由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0.又由2x>0，得2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)． ∵此结论与a 取值无关，∴对于任意实数a ，f (x )在R 上为增函数． (2)若f (x )为奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x ＋1＝－a ＋22x＋1， 变形，得2a ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝2＋2·2x2x ＋1＝2，解得a ＝1.∴当a ＝1时，f (x )为奇函数.忽略指数函数的值域致误已知方程9x －2·3x＋3k －1＝0有两个实数解，试求实数k 的取值范围． 【错解】 令t ＝3x ，则原方程可化为t 2－2t ＋3k －1＝0， 要使方程有两个实数解，则Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0， 解得k ≤23.【错因分析】 换元后t ＝3x >0.Δ≥0只能保证方程t 2－2t ＋3k －1＝0有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．【防范措施】 用换元法解题时，一定要利用原变量的范围确定中间变量的范围，这样才可达到等价变换的效果．【正解】 令t ＝3x，则t >0.原方程有两个实数解，即方程t 2－2t ＋3k －1＝0有两个正实数解， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝ －2 2－4 3k －1 ≥0，t 1＋t 2＝2>0，t 1t 2＝3k －1>0，解得13<k ≤23.1．图象变换法作图的一般步骤是：选取函数；写变换过程；画图象． 2．利用函数的单调性规律判断y ＝f (a x)型或y ＝a f (x )型函数的单调性，是一种重要的题目类型，解决该问题的主要方法是“换元法”．3．本节知识在日常生活、生产中应用广泛，可涉及增长率、销售、税收等各个方面，在解决各类问题时，要细心分析，联系已学的知识及方法，将实际问题解决.1．函数y ＝2x ＋1的图象是图中的________．(填序号)【解析】 y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x的图象向左平移一个单位得到的，故②正确．【答案】 ②2．某工厂一月份产值为a 万元，这一年内的月平均增长率为x ，则该工厂十二月份的产值为________万元．【解析】 由题意，二月份的产值为a (1＋x )， 三月份的产值为a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2， ⋮十二月份的产值为a (1＋x )11. 【答案】 a (1＋x )113．函数f (x )＝1－23x ＋1在R 上是________函数(填“奇”或“偶”)．【解析】 因为f (x )＝1－23x ＋1＝3x－13x ＋1，所以f (－x )＝3－x－13－x ＋1＝13x －113x ＋1＝1－3x1＋3x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝1－23x＋1在R 上是奇函数． 【答案】 奇4．求函数y ＝4－x －2－x＋1，x ↔[－3,2]的最大值和最小值． 【解】 令2－x＝t ，由x ↔[－3,2]知，t ↔[14，8]，∴y ＝4－x－2－x＋1＝(2－x )2－2－x＋1＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34，∴当t ＝12时，y min ＝34，当t ＝8时，y max ＝57. 综上函数的最大值为57，最小值为34.一、填空题1．函数y ＝4x－1的图象是由函数y ＝4x的图象向________平移________个单位长度得到的．【解析】 将函数y ＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝4x－1的图象． 【答案】 下 12．定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[1,2]，则函数y ＝f (x ＋2)的值域为________． 【解析】 ∵函数y ＝f (x ＋2)的图象可由y ＝f (x )的图象向左平移两个单位得到，故f (x )与f (x ＋2)的值域相同．【答案】 [1,2]3．某种细菌在培养的过程中，每20 min 分裂一次(一个分裂为两个)，经过3 h ，这样的细菌由一个分裂为________个．【解析】 由题意可知，经过3 h ，细菌共分裂了9次，这时这样的细菌由一个分裂为29＝512个．【答案】 5124．(2013·南通高一检测)已知f (x )＝e x －e －x2，则下列正确说法的序号是________．①奇函数，在R 上为增函数 ②偶函数，在R 上为增函数 ③奇函数，在R 上为减函数 ④偶函数，在R 上为减函数【解析】 f (x )＝e x －e －x2＝12e x －12(1e )x，由f (－x )＝e －x－e x 2＝－e x －e－x2＝－f (x )，。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.1对数名师导航学案苏教版必修1
3.2.1 对数名师导航知识梳理一、对数与对数运算 1.对数的定义一般地，如果a x=N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________.对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则指数的运算法则： 对数的运算法则：（1）a m ·a n =a m+n;→ （1）______________;（2）n m aa =a m ·a -n =a m-n;→ （2）______________;（3）(a m )n=a mn;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法)1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q,则a p =M,a q=N,∴MN=a p ·a q =a p+q.∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N.2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数；log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p aa =a p-q,∴log aNM=p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数；log a (N n)=n ·log a N. 根据对数恒等式:Na a log =N,∴N n=(aalog N)n=Nn a alog •.∴log a (N n)=n ·log a N.4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log anN n1=·log a N.∵n N =n N 1,∴由法则3得log a n N =log a nN 1=n1·log a N. 三、对数的性质1.__________和__________没有对数.因为a ＞0，所以不论b 是什么数，都有a b ＞0，即不论b 是什么数，N=a b永远是正数，这说明在相应的对数式 b=log a N 中真数N 永远是正数，换句话说负数和零没有对数. 2.1的对数是__________.因为a 0=1(a ＞0，且a ≠1)，所以根据对数的定义可得log a 1=0. 3.底数的对数等于__________.因为a 1=a ，根据对数的定义知log a a=1. 四、一组重要的对数公式——换底公式 1.log a b=abc c log log ,即有log c a ·log a b=log c b;2.log b a=ba log 1，即有log a b ·log b a=1；3.nmb a log =mnlog a b. 疑难突破如何将给出的对数式换成指定底数的对数？《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.对数换底公式：log b N=bNa a log log (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，N ＞0)，推论：log a b=a b log 1，mn b a nm =log log a b.更特别地有log a a n=n.问题探究问题1 对数式与指数式有何关系？在对数符号log a N 中，为什么规定a ＞0，a ≠1，N ＞0呢？探究思路：对数的概念是这么说的：一般地，如果a(a ＞0且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N=b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.从定义不难发现无论是指数式a b=N ，还是对数式log a N=b 都反映的是a 、b 、N 三数之间的关系. 在对数符号log a N 中，若a ＜0，则N 为某些值时，log a N 不存在，如log (-2)8不存在. 若a=0，则N 不为0时，log a N 不存在；N 为0时，log a N 可以为任何正数，不唯一.若a=1，则N 不为1时，log a N 不存在；N 为1时，log a N 可以为任何实数，不唯一.因此规定a ＞0且a ≠1.因为log a N=b ⇔a b=N ，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N ＞0. 问题2 对于对数，除了对数的定义，还有对数的性质，你能说说这些相关的内容吗？ 探究思路：对数部分，我们首先应当掌握对数的意义，即对数式与指数式之间的对应关系.另外对于对数我们应该掌握一些常用的性质：如(1)log a 1=0(1的对数是0)； (2)log a a=1(底数的对数是1)； (3)aalog N=N(对数恒等式)；(4)log a N=aNb b log log (b ＞0且b ≠1)(换底公式)；(5)log a M+log a N=log a MN ； (6)log a M-log a N=log a NM ； (7)nlog a N=log a N n； (8)mn log a N=log a m N n. 以上各式均有条件a ＞0且a ≠1.问题3 初学对数运算性质，容易犯下面的错误：log a (M ±N)=log a M ±log a N ，log a (M ×N)=log a M ×log a N ，log aN M =NM a a log log ，log a N n =(log a N)n.应该如何解决呢？探究思路：首先应把握对数运算的本质特征，运算性质是把真数的乘、除、乘方降级为对数的加、减、乘运算，是降级运算；其次，对数记号log a N 整体上才有意义，不能误把对数符号当作表示数的字母进行运算. 典题精讲例1 (1)将下列指数式写成对数式： ①210=1 024；②10-3=10001； ③0.33=0.027；④e 0=1.(2)将下列对数式写成指数式： ①log 0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log 310=2.095 9；④ln23.14=x.思路解析 应用指数式与对数式的等价关系求解. 答案:(1)①log 21 024=10；②lg 10001=-3；③log 0.30.027=3；④ln1=0. (2)①0.4-2=6.25；②100.301 0=2；③32.095 9=10；④e x=23.14.例2 计算：log 2487+log 212-21log 242.思路解析 这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21(log 27-log 248)+log 23+2log 22-21(log 27+log 22+log 23) =21log 27-21log 23-21log 216+21log 23+2-21log 27-21=-21. 解法二：原式=log 2(347×12×671⨯)=-21. 例3 求下列各式的值： (1)3log 3128-；(2)7lg20×(21)lg0.7； (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)； (4)lg(5353-++).思路解析 (1)由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式aalog N=N 化简计算.(2)通过取对数，先算出对数值，再求值.(3)运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. (4)运用对数运算法则巧去根号. 解答:(1)2722222)2(827log 27log 13log 31)3log 31(33log 3122222=====----. (2)设x=7lg20×(21)lg0.7，则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg(21)=(lg2+1)×lg7+(lg7-1)×(-lg2)=lg7+lg2=lg14， ∴x=14，即7lg20×(21)lg0.7=14. (3)log 2(1+32+)+log 2(1+32-)=log 2［(1+2)2-(3)2］=log 222=log 2232=23. (4)lg(5353-++)=21lg(5353-++)2=21lg(3+5+3-5+259-)=21lg10=21. 例4 已知11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么a 1-b1等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析 本题有两种解题方法.解法一：用指数解.由题意11.2=a 11000，0.011 2=b11000， ∴两式相除得ba 111000-=0112.02.11=1 000.∴a 1-b1=1. 解法二：用对数解.由题意，得a ×lg11.2=3，b ×lg0.011 2=3， ∴a 1-b 1=31(lg11.2-lg0.011 2)=1. 答案:A例5 方程lg(4x +2)=lg2x+lg3的解是_____________.思路解析 把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有求知数的方程，解之即可.解:把两边化成同底的对数式为lg(4x +2)=lg(2x×3)，比较真数，得方程4x +2=2x×3，利用换元法，解得2x =1或2x=2. 所以x=0或x=1. 答案:x 1=0，x 2=1 知识导学 1.对数的概念在实际应用中，一定要注意指数式与对数式的等价性，即log a N=b a b=N. 2.换底公式一般地，我们称log a N=aNb b log log 为对数的换底公式.换底公式是对数中一个非常重要的公式，这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一，是对数的运算性质.对数运算性质应用的前提是式子中对数的底相同.若底不同则需要利用换底公式化为底相同的.我们在应用换底公式时，一方面要证明它和它的几个推论；另一方面要结合构成式子的各对数的特点选择一个恰当的数作为对数的底，不要盲目地换底，以简化我们的解题过程. 3.常用对数与自然对数的概念有了对数的概念后，要求log 0.840.5的值，我们需要引入两个常用的对数：常用对数和自然对数.常用对数是指以10为底的对数；自然对数是指以e(e=2.718 28…，是一个无理数)为底的对数.有了常用对数和自然对数再利用对数的运算性质，我们就可以求log 0.840.5的值了. 4.对数恒等式 对数恒等式：Na alog =N.它的证明也很简单，只要紧扣对数式的定义即可证明. ∵a b=N ， ∴b=log a N. ∴a b=Na alog =N ，即Na a log =N.如5log 33=5、6log 44=6等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.疑难导析对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子. 问题导思指数式与对数式之间可以相互转化，它们之间可以理解为就像加法与减法一样的关系.后面我们会学习反函数，指数式与对数式之间的转化可以通过反函数进行. 这些常用的性质在指数运算中非常有用，需要记牢.有的性质可以用口诀来帮助记忆，比如，性质(5)(6)(7)可以这样来记： 积的对数变为加， 商的对数变为减，幂的乘方取对数， 要把指数提到前. 典题导考绿色通道 指数式与对数式之间的换算，就是利用log a N=b ⇔a b=N. 典题变式已知log a 2=m ，log a 3=n ，则a 2m-n=____________. 解答：∵log a 2=m ，log a 3=n ， ∴a m =2，a n=3.∴a 2m-n=3432)(222===nm n m a a a a . 绿色通道 解决求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 典题变式计算2log 525+3log 264-8log 71的值为( )A.14B.8C.22D.27 答案:C绿色通道 有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用.如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式aalog N=N 把任何正数N 化成含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问题. 典题变式1.lg5lg8 000+(lg 32)2+lg0.06-lg6=______________.解答:原式=lg5(3+3lg2)+3lg 22+lg 606.0=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 22-2=3-2=1. 2.计算2lg5+32lg8+lg5·lg20+lg 22的值. 解答:原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg 22 =lg 25+2lg2·lg5+lg 22+2(lg5+lg2)=(lg5+lg2)2+2(lg5+lg2) =lg 210+2lg10 =1+2=3.绿色通道 因为指数与对数存在着互逆的运算关系，因而反映在具体问题中就一定从指数式、对数式两条思路分别运用幂的运算法则和对数运算法则解决问题.这就是对立统一的原则在具体思路上的指导和体现. 典题变式 已知a=lg(1+71)，b=lg(1+491)，试用a 、b 的式子表示lg1.4.答案:lg1.4=71(a-4b+1). 黑色陷阱 如果误以为原方程lg(4x+2)=lg2x+lg3可化为lg4x+lg2=lg2x+lg3，将导致解题错误.这也说明数学思维的严密性，如果百密一疏，则后悔莫及! 典题变式已知函数f(x)=⎩⎨⎧≤>,0,3,0,log 3x x x x 则f ［f(91)］的值是( )A.9B.91C.-9D.-91答案:B。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数 3.1.1 分数指数幂名师导航学案 苏教版必修1
3.1.1 分数指数幂名师导航知识梳理指数与指数幂的运算 1.根式的概念一般地，如果__________，那么x 叫做a 的n 次方根(n th root)，其中n>1，且n ∈N *. 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个__________，负数的n 次方根是一个__________.此时，a 的n 次方根用符号__________表示.式子叫做根式(radical)，这里n 叫做根指数(radical exponent)，a 叫做被开方数(radicand).当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为___________.此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号___________表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 0=0. 结论：当n 是奇数时，n n a =______________;当n 是偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义 规定：n m nm a a =(a>0,m 、n ∈N *,n>1),nmnm nm a aa11==-(a>0,m 、n ∈N *,n>1).0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.有理数指数幂的运算性质(1)a r ·a s =a r+s(a>0,r 、s ∈Q );(2)(a r )s =a rs(a>0,r 、s ∈Q );(3)(ab)r =a r b r(a>0,b>0,r ∈Q ). 4.无理数指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理数指数幂的意义.指出：一般地，无理数指数幂a α(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.疑难突破分数指数幂有哪些常用公式?根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：(1)当n 为任意正整数时，(n a )n=a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.(2)当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.(3)根式的基本性质：n m npmp a a =(a ≥0).注意，(3)中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如:62)8(-≠38-.问题探究问题1 在初中数学中，我们曾经学习过整数指数幂的概念和整数指数幂的运算，你能说出整数指数幂的含义及幂的运算性质吗？探究思路：在初中我们学习过正整数指数幂，正整数指数幂的意义是：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘所得的积.正整数指数幂有五条运算性质：(1)a m ×a n =a m+n；(2)a m ÷a n =a m-n(a ≠0，m ＞n)；(3)(a m )n =a mn；(4)(a ×b)n =a n ×b n；(5)(ba )n =n nb a (b ≠0).问题2 什么叫做实数a 的n 次实数方根？探究思路：一般地，如果一个实数x 满足x n =a(n ＞1，n ∈N *)，那么x 称为a 的n 次实数方根.问题3 分数指数幂是怎么定义的？运算性质有哪些？ 探究思路：一般地，我们规定：n m nm a a=(a ≥0，m 、n ∈N *，n ＞1).这就是正数a 的正分数指数幂的意义.仿照负整数指数幂的意义，我们规定：nm nm aa 1=-(a ＞0，m 、n ∈N *，n ＞1)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.我们将指数幂的概念扩大到有理数指数幂后，有理数幂的运算法则归纳为：(1)a r a r =a r+s；(2)(a r )r =a rs；(3)(ab)r =a r b r，a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数. 问题4 n 次根式有哪些重要的性质?探究思路：我们知道，如果x n=a ，则称x 是a 的n 次实数方根.若a=0，则x=0，即n 0=0，若a ≠0时，当n 为正奇数时，x=n a ，其符号与a 的符号一致；当n 为正偶数时，则a 一定大于零，x=±n a ，即正数的偶次实数方根有两个，它们互为相反数.根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a 的符号.如：44)2(-≠-2和4543)2(⨯⨯-≠53)2(-，应该先将被开方式底数-2化成2，然后再进行化简. 一般地，根式有如下性质：(1)nna =⎩⎨⎧>∈<-=>∈≥.1,,0,||,1,,0,**n N n a a a n N n a a (2)(n a )n=a(n ∈N *);(3)n m npmp a a =(n 、m 、p ∈N *);(4)nmnm a a1=-(m 、n ∈N *,a>0).对于分数指数幂nma 不能理解为有nm 个a 相乘，我们规定n m n ma a =(a ＞0，m 、n ∈N *，n＞1). 典题精讲 例1 计算:(1)32)27125(-;(2)32008.0-;(3)43)240181(-; (4)(2a+1)0;(5)［1)53(65--］-1. 思路解析 在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时〔如（1）（2）（3）〕，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m 0的式子，要注意对底数m 是否为零进行讨论，因为只有在m ≠0时，m 0才有意义；而对于形如(a b )-n 的式子，我们一般是先变形为(ba )n，然后再进行运算. 解答:(1)32)27125(-=2595335)35(22223233===---. (2)32008.0-=323)2.0(-=0.2-2=(51)-2=52=25. (3)43)240181(-=273433773)73(33334344===---. (4)(2a+1)0=⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠.21,,21,1a a 无意义(5)［1)53(65--］-1=(3565-)-1=(-65)-1=-56. 例2 化简322234)210()323(27622----+-的结果是( ) A.35B.-3C.3D.9 思路解析 先将式子中的根式逐个进行化简，后进行运算便成. 原式=323216)311(278---+-=-31132++6=9. 答案:D例3 化简: (1)332)(xy xy ; (2)323222323222-----------++yxy x yxy x (|x|≠|y|).思路解析 对题（1），要化简的式子中有根式及幂式，可将根式化成幂式，后进行幂的运算；对题（2），要化简的式子中全是指数式的运算，注意运用乘法公式，使其分子、分母能够产生公因式，从而可通过约分化简. 答案:(1)332)(xy xy =31321212])([y x xy =6567653127253123232)(][y x y y x y x y x xy ===.(2)32323323323232332332323222323222)()()()(-------------------++=---++yxy x yxy x yxy x yxy x .∵|x|≠|y|, ∴原式=(32-x)2-32-x32-y+(32-y)2-(34-x+32-x32-y+34-y)=-232-x32-y=-xyxy 32. ∴323222323222-----------++yxy x yxy x =-xyxy 32. 例4 已知a=-278,b=7117,求333131343233232793ba a ba ab ab a -÷-++的值. 思路解析 化简求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.首先应化简被求式. 解答:∵a ≠0,∴原式=313131312313131323)27()3(3ab a b a a b b a a -⨯-++.又∵a-27b ≠0,∴原式=49)23()32()278()27()3()(22323232331331=-=-=-==-----ab a a b a .知识导学1.指数概念的扩充 (1)根式在初中代数的学习过程中，我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是：如果x 3=a ，那么x 就叫a 的立方根.如此类推，便得出了n 次实数方根的定义：如果x n=a(n ∈N 且n ＞1)，那么x 就叫a 的n 次方根. (2)分数指数幂当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数. 除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.2.指数幂与根式运算的统一性指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如232-b aba 都不是最简形式. 3.经常要用的公式(1)a-b ＝(b a -)(b a +)；(2)a ±2ab +b ＝(a ±b )2；(3)a ±b ＝(33b a ±)(32332b ab a + ).疑难导析用语言叙述这三个公式：(1)非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.(2)n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 问题导思另外规定了a 0＝1(a ≠0)、a -n＝n a1(n 为正整数，a ≠0)，这样一来，原来的5条运算律可以归纳为(1)(3)(4)三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数.当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，这时，a 的n 次实数方根只有一个，记为x=n a .当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号-n a 表示，它们可以合并写成±n a (a ＞0)的形式.特别地，0的n 次实数方根等于0.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样. 应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒.对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化. 典题导考绿色通道 在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 典题变式 计算：(1)2132)002.0()833(--+--10(5-2)-1+(32-)0；(2)21432121)(1.0)4()41(---b a ab .解答：(1)原式=2510)5001()827()1(213232--+----+1 =323])32[(-+(102×521)-10(5+2)+1 =94+105-105-20+1 =-9167. (2)原式=b b b a 2542541044212423232323221==⨯+--. 绿色通道 对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是：先算根号内的，后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a ＞0，则3a ＞0，若a ＜0，则3a ＜0；但对根指数为偶数的根式，只有当a ≥0时，a 才有意义.典题变式设a ≥0，计算(26392369)()(a a ∙的结果是( )A.a 8B.a 4C.a 2D.a 答案:C绿色通道 (1)进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时，一般是先将根式化成分数指数幂，按指数运算法则计算比较简洁；(2)对根式、分数指数幂的混合运算，最后结果一般用最简根式表示；(3)在指数式的运算中，要注意乘法公式的相应形式，注意灵活运用乘法公式进行化简. 典题变式化简a+44)1(a -的结果是( )A.1B.2a-1C.1或2a-1D.0 答案:C黑色陷阱 本题容易直接将a 、b 的值代入，后化简，因运算烦琐，不容易做出正确的结果.所以在解决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题.这样才能养成良好的思维习惯. 典题变式计算下列各式.(1)432981⨯；(2)(253)0+2-2·21)412(--(0.01)0.5.(1)解法一：432981⨯=671274137437431242132239)9(999)9(9====⨯=⨯.解法二:432981⨯=6672428467464333338181818181====⨯=⨯.(2)解:(253)0+2-2·(221)41--(0.01)0.5=1+41×(9421)-(100121)=1+41×32-1516101=.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对
第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数指数函数的概念、图象与性质高一数学教案
第1课时指数函数的概念、图象与性质学习目标核心素养1.理解指数函数的概念．(重点)2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)4.掌握函数图象的平移变换和对称变换. 通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.2．指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 单调性在(－∞，＋∞)上是单调增函数在(－∞，＋∞)上是单调减函数奇偶性非奇非偶函数(1)函数y＝3·2x是指数函数．( )(2)指数函数的图象与x轴永不相交．( )(3)函数y＝2－x在R上为增函数．( )(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有a x＞1.( )[答案](1)×(2)√(3)×(4)×[提示](1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x 轴不相交． (3)y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数． (4)a >1时，若x <0，则a x<1.2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号) (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x(a >1，且a ≠2)．(4)(6) [只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x，b >0且b ≠1，所以是．]3．若函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象过点(2,9)，则f (x )＝________.3x [由于a 2＝9，∴a ＝±3.∵a ＞0，∴a ＝3， ∴f (x )＝3x.]指数函数的概念【例1】 函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x是指数函数，求实数a 的值．思路点拨：利用指数函数的定义求解．[解] ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－7a ＋7＝1，a >0，a ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝6，a >0，a ≠1，∴a ＝6，即a 的值为6.指数函数具有以下特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x ；②指数位置是自变量x ，且x 的系数是1；③a x的系数是1.1．已知y ＝(2a －1)x是指数函数，则a 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >12且a ≠1 [要使y ＝(2a －1)x是指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1，∴a >12且a ≠1.]利用单调性比较大小(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23与1；(3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2.思路点拨：观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 在定义域R 内是减函数．又∵－1.8>－2.6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6. (2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x 在定义域R 内是减函数．又∵－23<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>1. (3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类： 1底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决. 2底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可.3底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如a c与b d，可取a d，前者利用单调性，后者利用图象.2．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3；(2)0.60.4与0.40.6；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412.[解] (1)由于指数函数y ＝1.9x在R 上单调递增，而－π<－3，∴1.9－π<1.9－3.(2)∵y ＝0.6x在R 上递减， ∴0.60.4>0.60.6.又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x 的图象在y ＝0.4x图象的上方， ∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4313>1,223>1,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<1，又在y 轴右侧，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象在y ＝4x 的下方，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<413＝223，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<223.利用单调性解指数不等式【例3】 (1)已知4≥2x ＋1>23，求x 的取值范围； (2)已知0.3x>⎝ ⎛⎭⎪⎫103y，求x ＋y 的符号．思路点拨：化为同底，利用指数函数的单调性求解． [解] (1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x ＋1>223. ∵y ＝2x是单调递增的，∴2≥x ＋1>23，∴－13<x ≤1，∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x ≤1. (2)(0.3)x>⎝ ⎛⎭⎪⎫103y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310－y＝0.3－y. ∵y ＝0.3x是减函数，∴x <－y ，∴x ＋y <0.1．形如a x>a y的不等式，借助y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解．3．(1)若例3题(1)改为4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1>223，则x 的取值范围为_____．(2)解关于x 的不等式a3x －2≤ax ＋2，(a ＞0且a ≠1)．(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－53[∵223<2－(x ＋1)≤22，又y ＝2x是增函数，∴23<－(x ＋1)≤2，解得－3≤x <－53.](2)[解] ①当a >1时，3x －2≤x ＋2，∴x ≤2. ②当0<a <1时，3x －2≥x ＋2，∴x ≥2.综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤2}， 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥2}.图象变换及其应用1．在同一坐标系中作出y ＝2x，y ＝2x ＋1，y ＝2x ＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y ＝2x，y ＝2x －1，y ＝2x －1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．[提示]结论：y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x的图象向左平移1个单位得到；y ＝2x ＋1＋2的图象是由y ＝2x ＋1的图象再向上平移2个单位得到；y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到； y ＝2x －1－2的图象是由y ＝2x －1的图象再向下平移2个单位得到．2．在同一坐标系中，做出y ＝2x－1，y ＝3x－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y ＝a x－1均过该点．在另一坐标系中，做出y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y ＝a x ＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y ＝a x ＋m＋n (m ，n >0)的图象经过的定点是什么？[提示]结论：y ＝2x－1，y ＝3x－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1都过定点(0,0)，且y＝a x－1也总过定点(0,0)．y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1都过定点(－1,0)，且y ＝ax ＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y ＝a x ＋m ＋n 的图象经过定点(－m,1＋n )．3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y ＝4a 2x －4＋3是否过定点．[提示] 还可以整体代换． 将y ＝4a2x －4＋3变形为y －34＝a2x －4.令⎩⎪⎨⎪⎧y －34＝1，2x －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝7，即y ＝4a2x －4＋3过定点(2,7)．【例4】 (1)函数y ＝3－x的图象是________．(填序号) (2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________．思路点拨：题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解． (1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x(0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．4．函数y ＝f (x )＝ax ＋2－12(a >1)的图象必过定点______，其图象必不过第________象限．⎝⎛⎭⎪⎫－2，12四 [y ＝a x(a >1)在R 上单调递增，必过(0,1)点，故求f (x )所过的定点时可以令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y ＋12＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝12，即定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.结合图象(略)可知，f (x )的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限．]1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x 且系数为1.2．指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的性质分底数a >1,0<a <1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f (0)＝1.4．在y 轴右侧，底数a 越大，图象越靠近y 轴.1．下列所给函数中为指数函数的是( )①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝4x 2；⑥y ＝x 2；⑦y ＝(2a －1)x⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，a ≠1. A ．①③ B ．②④⑥ C ．①⑦D ．①④⑦C [形如y ＝a x(a >0且a ≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．]2．指数函数y ＝(2－a )x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．(1,2) [由题意可知，0<2－a <1，即1<a <2.] 3．函数y ＝ax －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．(5,2) [指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．]4．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．[解] 当x ≥0时y ＝2|x |＝2x； 当x ＜0时y ＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . ∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数的概念学案(无答案)苏教版必修1(2
江苏省徐州市高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 对数的概念学案（无答案）苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编1．了解对数的概念的形成．2。
理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化．3．渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力．对数的概念导学案一、自学准备与知识导学 1。
〈<庄子〉〉：一尺之棰，日取其半,万世不竭（1）取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2。
假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8％,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 转化为数学问题：您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为江苏省徐州市高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数的概念学案（无答案）苏教版必修1的全部内容。
本课时重点难点重点：对数的概念； 难点：对数概念的理解每日一言解决问题的是人,不是方法。
——马斯科学 习 过 程小结：已知底数和幂的值，求指数；你能看得出来吗？怎样求呢? 3。
对数的概念定义:一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm). 记作 __________________,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数例如：1642= ⇔ 4log 16= ; 2421= ⇔4log 2= ；4.探究：(1)指数与对数间的关系： （0,1a a >≠时，x a N =⇔_____________） (2）负数与零是否有对数？（3）log 1a = ，log a a = ．（4）对数恒等式:如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log ， 则有 ．（5)常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N 的常用对数log 10 N 简记作lg N例如:log 105简记作_______ log 103.5简记作________.(6)自然对数:在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数,为了简便，N 的自然对数log e N 简记作ln N 。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指
3.1.2 分数指数幂课堂导学三点剖析一、指数的定义及运算性质 【例1】求下列各式的值：(1)33)9(-;(2)44)3(π-;(3)（52-）5;(4)4345zyx -. 思路分析：(1)(2)(3)用公式n n a =|⎩⎨⎧+==,12,2||k n a k n a 计算.(4)要注意x 、y 、z 的符号.解析:(1)33)9(-=-9. (2)44)3(π-=|3-π|=π-3. (3)(52-)5=-2.(4)观察式子可知，35zx -≥0,即x ·z ≤0(z ≠0).4345z y x -=4444zz y x x ∙∙-=|z xy |4xz -=-z x |y|4xz -. 温馨提示(4)易犯4345z y x -=4445zz y x -=z xy 4xz -的错误，而没有注意符号.二、根式与分数指数幂互化【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式.(1)a 3·a ;(2)3a a ∙; (3)3a ;(4)a a a . 解析:(1)a3a =a 3·21a =213+a=27a .(2)3a a =2131)(a a ∙=2134)(a =32a . (3)3a =312121])[(a =3141)(a =121a .(4)a a a =212121])([a a a ∙∙=212123])([a a ∙=2143)(a =2147)(a =87a . 温馨提示(1)注意掌握公式nma=a nm a 和nma1=nm a1=nm a-(a>0,m 、n 均为正整数)的熟练应用.(2)含有多个根号时，一般由里向外逐个变形，化成分数指数幂的形式. 三、利用分数指数幂的性质求值 【例3】若21x +21-x=3,求23222323-+-+--x x x x 的值. 解析:∵21x +21-x=3,两边平方可得x+x -1=7,再平方可得x 2+x -2=47.23x +23-x=(21x +21-x)(x-1+x -1)=3×(7-1)=18,∴23222323-+-+--x x x x =247318--=31. 温馨提示若由已知条件解出x 的值则较麻烦,要注意设法从整体上寻求结果与条件的联系，善于对已知式和所求式进行变形，利用已学过的乘法公式，化繁为简，化难为易. 各个击破 类题演练 1求下列各式的值： （1）481；（2）651a. 解析:（1）原式=443=3.（2）原式=66aa =a a6.变式提升 1比较55，33，2的大小. 解析:∵2=212=613)2(=618，33=313=612)3(=619，而8<9， ∴618<619，即2<33，2=212=1015)2(=10132，55=515=1012)5(，而25<32,∴55<2.因此,55<2<33. 类题演练 2 化简3323-∙aa ·1321215)()(---a a .解析:原式=212323)(-∙a a ·211321215])()[(---∙a a =31)(a ·2121325)(-∙aa =214)(-a =a -2.变式提升 2 求值或化简. （1）3224ab ba -（a>0,b>0）;(2)733-3324-6391+4333. 解:（1）原式=2224b a -·213231)(b a=a -2b 3161b a =34611b a-.（2）原式=7×313-3×313×2-6×323-+4131)33(⨯=313-6×323-+313=2×313-2×3×323-=2×313-2×3313=0.类题演练 3已知2x +2-x=5，求下列各式的值：（1）4x +4-x ；（2）8x +8-x.解析:（1）4x +4-x =（2x +2-x ）2-2×2x ·2-x=25-2=23；（2）8x +8-x =（2x ）3+（2-x ）3=（2x +2-x ）［（2x ）2-2x ·2-x +（2-x ）2］=（2x +2-x ）［4x +4-x-1］=5（23-1）=110. 变式提升 3已知2（4x +4-x ）-7（2x +2-x ）+10=0，求2x +2-x的值. 解析:令y=2x+2-x=2x+x21≥2，则原式可以化为2y 2-7y+6=0，解得y=2或y=23（舍），∴2x +2-x=2.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 指数函数(一)学案苏教版必修1
指数函数（一）
一、教学重、难点
指数函数的图象和性质
二、新课导航 1.问题展示
一般地，函数 叫做 ，它的定义域为
2．作出指数函数x x x y y y )21(,2,10===的图象，观察图象，指出指数函数的性质
指数函数x a y =的图象与性质
思考：（１）在画图过程中，你发现了指数函数的其它性质吗？
（２）函数x y 2=与x
y )21
(=的图象有怎样的关系？你能得到什么结论？ 3. 基础测评
（1）在函数x y 2=，3x y =，x y =，1-x y =， x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，21
x y =中，哪些是指数函数？
（2）判断下列函数的单调性：x y 5=，x y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=32，x y 5.0=，x y 2-= （3）若指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调函数，则a 的取值范围是
三、合作探究
活动1． 比较大小：（１） 2.5 3.21.5 1.5, （２）
1.2 1.50.50.5--, （３）0.3 1.21.50.8,
练习：467P
活动2．（1）已知5.033≥x ，求实数x 的取值范围
（2）已知252.0<x ，求实数x 的取值范围
练习：567P
例3．求下列函数的定义域和值域 （１）11
2-=x y （２）2
2)21(x x y -= （３）1241--=-x x y
四、小结。
高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.2指数函数1学案苏教版必修1201710
3．1．2 指数函数第 1课时 指数函数的定义及性质1．理解指数函数的定义．2．掌握指数函数的定义域、值域和单调性． 3．能根据指数函数的性质比较一些数值的大小．1．指数函数的定义函数 y ＝a x (a ＞0，a ≠1)叫做指数函数，它的定义域为 R ．【做一做 1】下列函数中是指数函数的是__________． ①y ＝4x ②y ＝x 4 ③y ＝－4x ④y ＝(－4)x ⑤y ＝πx ⑥y ＝x x 答案：①⑤2．指数函数的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象定义域：R性 质值域：(0，＋∞) 图象过定点(0,1)在(－∞，＋∞)上在(－∞，＋∞)上 是增函数是减函数[ZB)]【做一做 2－1】比较大小： (1)1.72.5__________1.73；(2)0.8－0.1__________0.8－0.2． 答案：(1)＜ (2)＜【做一做 2－2】已知指数函数 f(x)＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象经过点(3，π)，求 f(0)，f(1) 和 f(－3)的值．解：由条件得 π＝a 3，a ＝3 π，1所以 f(x)＝(3 π)x ．从而 f(0)＝1，f(1)＝3 π，f(－3)＝ ．πx 在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y 15x ．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？；④xy1 2剖析：(1)指数函数 y ＝a x (a ＞0，a ≠1)恒过两个点(0,1)和(1，a)．这四个函数都经过1 (0,1)，又分别经过(1,2)，(1,5)，1,51， ．再由函数的单调性就可以画出四个函数 1,2的大致图象(如下图)．1(2)从上图中总结出一般性结论为：①观察指数函数的图象，既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称，所以是非奇非偶函数．②y ＝a x与 yx1 a的图象关于 y 轴对称，分析指数函数 y ＝a x 的图象时，需找两个关键 点：(1，a )和(0,1)．③指数函数的图象永远在 x 轴的上方．当 a ＞1时，图象越接近于 y 轴，底数 a 越大；当 0＜a ＜1时，图象越接近于 y 轴，底数 a 越小．题型一 利用指数函数的单调性比较大小1 32【例 1】将三个数 1.5－0.2,1.30.7，3按从小到大的顺序排列． 分 析：当两个幂指数的底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的 指数函数，借助函数的单调性来比较大小．解：先比较 1.5－0.2 1 30.22 2即 和 3 3的大小，考察指数函数 x y 2 =3，由于底数 2 3 在 区间(0,1)内，所以指数函数xy=2 3在(－∞，＋∞)上是减函数．由0.2＝ 1 51 3＜0.22，得1＞31 32 ＞3．另一方面，由于 1.3＞1,0.7＞0，得 1.30.7＞1．132所以3＜1.5－0．2＜1.30.7．反思：处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比，比如说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系．题型二定义域和值域问题【例2】求下列函数的定义域与值域．(1)1y=2x；(2)3|x|y 1=；3(3)y＝4x＋2x＋1＋1；(4)y=2x1x1．解：(1)因为指数函数y＝2x的定义域为x∈R，值域为y∈(0，＋∞)；若x≠0，则y≠1．由于11y 中的≠0，所以y≠1．所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3}，值域为{y|y =2x3x－3＞0且y≠1}．2(2)因为|x |y=1 中的|x |≥0，所以 x ∈R ，0＜y ≤1．所以所求函数的定义域为 R ，值域3为{y |0＜y ≤1}．(3)将已知函数整理成 y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2(2x )＋1＝(2x ＋1)2．由此可知定义域为 R ，值域为{y |y ＞1}． (4)已知函数可化为 y =2 x 1 1 1 1 1x 1 ，由 ≥0 得 x ＞1；又由 ＞0，得x －1 x －1y =2 x 1 x 1＞1．所以定义域为{x |x ＞1}，值域为{y |y ＞1}． 反 思：本题求定义域均为求自然定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的 x 的取值范 围(集合)；求值域的问题均为复合函数的值域问题，而求复合函数值域的一般步骤是：先求出 定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函 数的值域．题型三 指数方程与不等式【例 3】设 y 1＝a 3x ＋1，y 2＝a －2x ，其中 a ＞0，a ≠1．确定 x 为何值时，有(1)y 1＝y 2；(2)y 1＞y 2？1解：(1)若 y 1＝y 2，则 3x ＋1＝－2x ，解得 x ＝－ ．5(2)若 y 1＞y 2，则 a 3x ＋1＞a －2x ．1 1当 a ＞1时，原不等式可化为 3x ＋1＞－2x ，x ＞－ ，解集为， ；5511当 0＜a ＜1时，原不等式可化为 3x ＋1＜－2x ，x ＜－ ，解集为，-．55反思：对于指数函数 y ＝a x来说，因当 0＜a ＜1和 a ＞1时，其函数单调性是不同的，所以当底数含有字母时，必要时可对所含字母进行分类讨论．【例 4】解下列关于 x 的方程：x ＋21 (1)81×32x ＝9；(2)22x ＋2＋3×2x －1＝0．x ＋ 21解：(1)∵81×32x ＝，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，9即 2x ＋4＝－2(x ＋2)，解得 x ＝－2．(2)∵22x ＋2＋3×2x －1＝0， ∴4×(2x )2＋3×2x －1＝0．令 t ＝2x ，则方程可化为 4t 2＋3t －1＝0，1解得t＝或t＝－1．41则2x＝或2x＝－1(舍去)，解得x＝－2．4反思：教材中目前仅要求掌握最简单的两种类型的指数方程的求解，一类是直接由同底数指数式相等而得指数相等型，另一类是可化为一元二次方程型的指数式方程．如上述两个例子，解决的关键是通过指数运算，进行等价转化．1若函数y＝(a2－3a＋3)·a x是指数函数，则a的值为__________．解析：由题知Error!所以Error!即a＝2．答案：25－12已知a＝，函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为23__________．5－1解析：因为a＝∈(0,1)，所以函数f(x)＝a x在R上单调递减，从而由f(m)＞f(n)，2得m＜n．答案：m＜n3比较下列各组数的大小．(1)1.52．5,1.53．2；(2)0.5－1．2,0.5－1．5；(3)1.50．3,0.81．2．解：(1)考察指数函数y＝1.5x，因为1.5＞1，所以指数函数y＝1.5x在R上是增函数．又因为2.5＜3.2，所以1.52．5＜1.53．2．(2)考察指数函数y＝0.5x，因为0＜0.5＜1，所以指数函数y＝0．5x在R上是减函数．又因为－1.2＞－1.5，所以0．5－1．2＜0．5－1．5．(3)由指数函数的性质知1.50．3＞1.50＝1，0.81．2＜0.80＝1，所以1.50．3＞0.81．2．解下列的不等式与方程：(1)(a－1)3x－2＞(a－1)x＋2(其中a＞1且a≠2)；(2)a x2－3x＋3＝a2x－1(其中a＞0且a≠1)．解：(1)当a＞2时，原不等式可化为3x－2＞x＋2，x＞2，解集为(2，＋∞)；当1＜a＜2时，原不等式可化为3x－2＜x＋2，x＜2，解集为(－∞，2)．(2)由条件得x2－3x＋3＝2x－1，解得x1＝1，x2＝4．4。
高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1指数函数名师导航学案苏教版必修1201710163118
3.1.1 指数函数名师导航知识梳理1.基础知识图表2.指数函数的定义函数_________(a>0且a ≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a ≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.(1)如果a=0，当x>0时，a x 恒等于0；当x ≤0时，a x无意义； (2)如果a<0，比如y=(-4)x，对x=21,41等都无意义； (3)如果a=1，则y=1x=1是一个常数，对它没有研究的必要.此时，y=a x的反函数不存在，且不具有单调性;(4)对于无理数指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用; (5)像y=2·3x,y=x12，y=3x+4等函数都不是指数函数，要注意区分.3.指数函数的图象和性质熟练地掌握指数函数的图象，是记忆和理解指数函数性质的关键.4.关于函数的图象和性质，需注意的几个问题(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x 轴是函数图象的渐近线.当0<a<1时，x →+∞,y →0； 当a>1时，x →-∞,y →0,当a>1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快; 当0<a<1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快. (2)熟悉指数函数y=10x,y=2x,y=(21)x ,y=(101)x在同一直角坐标系中的图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.(3)证明指数函数y=a x(a>1)是增函数.证明：当a>1时，任取x 1、x 2∈R ,x 1<x 2.则1121122)()(x x x x x x x a a a a∙==-+-.∵ x 2>x 1,a>1,∴12x x a - >1.又∵1x a >0,∴ 12x x a -1x a >1x a .∴ 2x a >1x a .从而指数函数y=a x(a>1)在R 上是增函数.(4)注意几个熟悉的指数函数图象的平移变换和对称变换，而得到相关函数的图象. 疑难突破为什么在指数函数的定义中限定底数的范围为a ＞0且a ≠1？(1)若a=0，则当x>0时，a x =0；当x ≤0时，a x无意义.(2)若a<0，则对于x 的某些数值，可使a x无意义.如(-2)x，这时对于x=41，x=21，…，在实数范围内函数值不存在.(3)若a=1，则对于任何x ∈R ，a x=1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a ≠1.在规定以后，对于任何x ∈R ，a x都有意义，且a x>0. 问题探究问题1 我们是怎么研究指数函数的性质的？探究思路：我们是通过研究指数函数的图象特征来研究指数函数的性质的.函数的图象特征与函数性质存在着一定的对应关系.问题2 在同一个坐标系中画出下列各函数的图象： ①y=2x；②y=5x；③y=(51)x ；④y=(21)x. 观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？ 探究思路：指数函数y=a x(a ＞0且a ≠1)恒过两个点(0，1)和(1，a).这四个函数都经过(0，1)，又分别经过(1，2)、(1，5)、(1，51)、(1，21).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图).根据图象可知函数①与④、②与③分别关于y 轴对称.问题3 对于指数函数y=a x(a ＞0且a ≠1)，有人总结出其底数a 越接近1，其图象就越接近直线y=1，你认为该结论成立吗？探究思路：要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x 、y=3x 和y=5x的图象(如下图所示)，根据图象能看出该结论是正确的.典题精讲例1 将三个数1.5-0.2，1.30.7，31)32(按从小到大的顺序排列.思路解析 先比较1.5-0.2即(32)0.2和31)32(的大小，考察指数函数y=(32)x ，由于底数32在区间(0，1)内，所以指数函数y=(32)x 在(-∞，+∞)上是减函数.故由0.2=51＜31得1＞(32)0.2＞31)32(.另一方面，由于1.3＞1，y=1.3x 在(-∞，+∞)上是增函数，由0.7＞0，得1.30.7＞1.所以31)32(＜1.5-0.2＜1.30.7.答案: 31)32(＜1.5-0.2＜1.30.7.例2 求下列函数的定义域与值域： (1)y=312-x ；(2)y=(31)|x|； (3)y=4x+2x+1+1； (4)y=112--x x .思路解析 (1)因为指数函数y=2x的定义域为x ∈R 时，值域为y ∈(0，+∞)； 若x ≠0，则y ≠1； 由于y=312-x 中的31-x ≠0，所以y ≠20=1； 所以所求函数的定义域是{x|x ∈R 且x ≠3}，值域为{y|y ＞0且y ≠1}. (2)因为y=(31)|x|中的|x|≥0， 所以x ∈R ，0＜y ≤1.所以所求函数的定义域为R ， 值域为{y|0＜y ≤1}.(3)将已知函数整理成y=4x +2x+1+1=(2x )2+2(2x )+1=(2x +1)2. 由此可知定义域为R ，值域为{y|y ＞1}. (4)已知函数可化为y=112-x ，由11-x ≥0得x ＞1；又由11-x ＞0，得y=112-x ＞1.所以定义域为{x|x ＞1}，值域为{y|y ＞1}.答案:(1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠3}，值域为{y|y ＞0且y ≠1}. (2)定义域为R ，值域为{y|0＜y ≤1}. (3)定义域为R ，值域为{y|y ＞1}.(4)定义域为{x|x ＞1}，值域为{y|y ＞1}.例3 若函数y=1212---∙x x aa 为奇函数，(1)确定a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性.思路解析 先将函数1212---∙x x aa 化简为y=a-121-x .解答:(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0，即a-121121--+--x x a =0， ∴2a+xx2121--=0. ∴a=-21. (2)∵y=-21-121-x ，∴2x-1≠0. ∴函数y=-21-121-x 的定义域为{x|x ≠0}. (3)方法一：(逐步求解法) ∵x ≠0， ∴2x-1＞-1. ∵2x-1≠0，∴0＞2x -1＞-1或2x-1＞0.∴-21-121-x >21,-21-121-x <-21， 即函数的值域为{y|y ＞21或y ＜-21}.方法二：(利用有界性)由y=-21-121-x ≠-21，可得2x =2121+-y y .∵2x ＞0，∴2121+-y y ＞0.可得y ＞21或y ＜-21， 即函数的值域为{y|y ＞21或y ＜-21}.(4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1-y 2=)12)(12(22121121122112---=---x x x x x x . ∵0＜x 1＜x 2， ∴1＜12x ＜22x.∴12x-22x＜0，12x -1＞0，22x-1＞0. ∴y 1-y 2＜0.因此y=-21-121-x 在(0，+∞)上递增. 同样可以得出y=-21-121-x 在(-∞，0)上递增.例4 如果函数y=a 2x+2a x-1(a ＞0且a ≠1)在［-1，1］上有最大值14，试求a 的值. 思路解析 将原函数看成是二次函数和指数函数合成的复合函数，利用相应函数的性质及复合函数的单调性解题.可采用换元法.解答:设t=a x ，则原函数可化为y=(t+1)2-2，对称轴为t=-1. (1)若a ＞1，∵x ∈［-1，1］， ∴-1＜a1≤t ≤a. ∵t=a x在［-1，1］上递增， ∴y=(t+1)2-2当t ∈［a1，a ］时也递增. ∴原函数在［-1，1］上递增.故当x=1时，y max =a 2+2a-1.由a 2+2a-1=14，解得a=3或a=-5(舍去，因a ＞1).(2)若1＞a ＞0，可得当x=-1时，y max =a -2+2a -1-1=14，解得a=31或a=-51(舍去). 综上，a=31或3.例5 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)= f(a)·f(b). (1)证明f(0)=1；(2)证明对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； (3)证明函数y=f(x)是R 上的增函数.思路解析 本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.证明:(1)取a=b=0，则f(0)=f 2(0).∵f(0)≠0， ∴f(0)=1.(2)当x ≥0时，f(x)≥1>0成立，当x<0时，-x>0，f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1， ∴f(x)=)(1x f ->0. ∴x ∈R 时，恒有f(x)>0.(3)证法一：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0. ∴f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)·f(x 1). ∵x 2-x 1>0， ∴f(x 2-x 1)>1. 又f(x 1)>0，∴f(x 2-x 1)·f(x 1)>f(x 1). ∴f(x)是R 上的增函数.证法二：也可以设x 2=x 1+t(t>0)，f(x 2)=f(x 1+t)=f(x 1)·f(t)>f(x 1).或者设x 1<x 2，则)0()()()()()()()(12111212f x x f x f x f x f x f x f x f -=-∙-∙=>1. 又f(x 1)>0，f(x 2)>0，∴f(x 2)>f(x 1). 知识导学1.指数函数的底数指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意底的范围,视不同情况给予不同的对待. 2.指数函数的图象和性质(1)作指数函数图象的方法：一般用描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出指数函数的图象.3.应用指数函数性质比较大小比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.4.指数函数的应用指数函数的应用主要体现在利用指数函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免混淆.5.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.6.在学习有关指数函数的性质时，可以借助《几何画板》等信息技术来绘制指数函数的图象，并对其中的一些参数设置变化，动态地来理解指数函数的性质和特点.疑难导析在指数函数的定义中限定底数的范围为a>0且a≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性.因此指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞).问题导思函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域；函数图象关于y轴或原点的对称性，对应着函数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性.由此我们还能得出如下结论：(1)一般地，指数函数y=a x(a＞0且a≠1)与y=a-x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.(2)在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”).(3)(有界性)若a＞1，当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.若0＜a＜1，当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1.另外底数a对图象特征的影响也可这样来叙述：当a＞1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响.典题导考绿色通道处理大小比较的问题的一般方法是：先和特殊值比，比方说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系.典题变式当x＞0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )A.1<|a|<2B.|a|<1C.|a|>1D.|a|>2答案:D绿色通道求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.关于复合函数的概念介绍如下：定义：函数y=f(u)(u∈A)，u=g(x)(x∈B，u∈A)，则y={f［g(x)］}叫做由函数y=f(u)(u∈A)、u=g(x)(x∈B，u∈A)合成的复合函数，u叫中间变量，y=f(u)(u∈A)也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x)(x∈B，u∈A)叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u=g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.典题变式函数y=2|x|的值域是( )A.(0，1]B.［1，+∞)C.(0，1)D.(0，+∞)解法一：y=2|x|=⎩⎨⎧<≥-,0,2,0,2x x xx 作出图象,观察得函数的值域为［1，+∞). 解法二：令u=|x|≥0，则y=2u≥20=1. 答案:B绿色通道 本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.当x ＞0时，∵2x为增函数， ∴2x-1为增函数，121-x 为递减函数，-121-x为增函数. ∴y=-21-121-x 在(0，+∞)上递增.一般地，函数y=f(u)和函数u=g(x)，设函数y=f ［g(x)］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y=f(u)(称外层函数)与u=g(x)(称内层函数)单调性相同，则复合函数y=f ［g(x)］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y=f ［g(x)］在该区间上递减(可以简记为“同增异减”).另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y=f(x)递增(减)，则y=-f(x)递减(增)；②若函数y=f(x)在某个区间上恒为正(负)且递增(减)，则y=)(1x f 递减(增)；③若函数y=f(x)递增(减)，则y=f(x)+k 递增(减). 典题变式 已知f(x)=131-x+a 为奇函数. (1)求a 的值；(2)求函数的单调区间.解答:(1)∵f(-x)=131--x +a=xx313-+a=-1+a-131-x =-1+2a-f(x)，由f(-x)=-f(x)，得-1+2a=0，∴a=21. (2)对于任意x 1≠0，x 2≠0，且x 1<x 2，f(x 1)-f(x 2)=)13)(13(33131131211221---=---x x x x x x , 当x 1<x 2<0时，23x>13x，13x<1, 23x<1, ∴f(x 1)-f(x 2)>0；当0<x 1<x 2时，23x>13x，13x>1，23x>1, ∴f(x 1)-f(x 2)>0.∴函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞).黑色陷阱 本题容易出现以下错误：(1)误认为函数y=a 2x +2a x-1在x ∈［-1，1］上就是单调增函数，据此得x=1时函数有最大值14，列方程解出a.(2)令t=a x ，x ∈［-1，1］，不讨论0＜a ＜1还是a ＞1，就认为t 的取值范围是［a -1，a ］，由此作为外层函数的定义域引出错误. 典题变式要使函数y=1+2x +4x·a 在(-∞，1)上y>0恒成立，求a 的取值范围.解答:由1+2x +4x·a>0在x ∈(-∞，1]上恒成立，即a>-xx421 =-(41)x -(21)x 在(-∞，1]上恒成立.又g(x)=-(41)x -(21)x 在(-∞，1]上的值域为(-∞，-43]，∴a>-43. 绿色通道 本题主要考查抽象的思维推理能力.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“f(x 2)=f ［(x 2-x 1)+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略. 典题变式设函数f(x)是定义在R 上的增函数，且f(x)≠0，对于任意x 1、x 2∈R ，都有f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2). (1)求证：f(x 1-x 2)=)()(21x f x f ； (2)若f(1)=2，解不等式f(3x)>4f(x).解答:(1)∵f(x 1)=f(x 1-x 2+x 2)=f(x 1-x 2)·f(x 2)， 又f(x)≠0， ∴f(x 1-x 2)=)()(21x f x f . (2)∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)， 4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x). 那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x). 又∵函数f(x)是定义在R 上的增函数， 由f(3x)>f(2+x)，得3x>2+x ，即x>1. 故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数互动课堂学案 苏教版必修1
3.1 指数函数互动课堂疏导引导2.2.1 分数指数幂1.如果一个实数x 满足x n =a (n >1,n ∈N *)，那么称x 为a 的n 次实数方根.当n 为奇数时，x =n a ;当n 为偶数时，x =±n a (a >0).2.根式的性质 (1)( n a )n=a ;(2)n 为奇数时,n n a na n=a ;(3)n 为偶数时, n n a =|a |. 3.分数指数幂的意义 (1) nm a =n m a ; (2) n ma-=nm a1(a >0,m ,n ∈N *且n >1).4.有理数指数幂的运算性质(1)a s ·a t=a s +t;(2)(a s )t =a s t;(3)(a ·b )t =a t ·a -t(s ,t ∈Q ,a >0,b >0).疑难疏引 1.当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.2.指数幂与根式运算的统一性指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如b a32、2-ba都不是最简形式. 3.经常要用的公式(1)a -b ＝(a -b )(a +b )；(2)a ±2ab ＋b ＝(a ±b )2；(3)a ±b ＝(3a ±3b )(32332b ab a +μ). ●案例1求下列各式的值.(1)()338-;(2)()210-;(3)510π;(4)12-3÷(2+3).【探究】对于根指数为奇数类型的处理相对简单一些，而对于根指数为偶数的情况则很容易出错，应避免出现讨论不周的情况.(1) ()338-=-8;(2)()210- =|-10|=10;(3) 510π=()552π=π2;(4) 12-3÷(2+3)=34⨯-323+=23-(23-3)=3.【溯源】当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，这时，a 的n 次实数方根只有一个，记为x =na .当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 次实数方根用符号na 表示，负的n 次实数方根用符号-na 表示，它们可以合并写成±n a (a ＞0)的形式.特别地，0的n 次实数方根等于0.●案例2 已知a =-12527，b =20062005，试求ba ab ab a 3134323322793-++÷33313ba a-的值. 【探究】就此类问题一般而言,要先将所求代数式化简，再代入具体数值进行求解.显然a ≠0，所以有：原式=()b a a b b a a 273331231313132-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++×3131313a b a -=()b a a b a 27332331331-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a =32a -=3212527-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=925. 【溯源】在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.2.2.2 指数函数函数y =a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 疑难疏引 指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意区分底数分别在a >1和0<a <1时的指数函数的区别.指数函数的应用主要体现在利用指数函数的性质比较不同函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数性质的影响，并熟记函数的图象特征和性质，以免造成混淆.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.●案例1 比较下列三个数1.5-0.5，1.20.7,(-0.3)0的大小，并按照从小到大的顺序排列.【探究】 1.5-0.5=2132⎪⎭⎫ ⎝⎛考查指数函数y =x32⎪⎭⎫ ⎝⎛可知在0<x <1时，0<y <1，故0<1.5-0.5<1.同理,1.20.7>1,(-0.3)0=1,所以1.5-0.5<(-0.3)0<1.20.7.【溯源】比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.3.指数函数的图象和性质疑难疏引注意用单调性的定义研究有关指数函数的单调性问题.学会利用函数图象解决简单的数学问题.(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线.当0<a<1时，x→+∞,y→0；当a>1时，x→-∞,y→0,当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.(2)熟悉指数函数y＝10x,y＝2x,y＝x21⎪⎭⎫⎝⎛,y＝x101⎪⎭⎫⎝⎛在同一直角坐标系中的图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.认识指数函数中底数逐渐变化时函数图象的渐变过程；注意函数y=b ax=(b a)x，因此在判断“指数型”复合函数的单调性时，不要简单的看底数，例如函数y=2-x是减函数不是增函数.函数y=a x+h+k的图象可由函数y=a x的图象平移得到，因此它们的性质有很多类似.●案例2 指数函数①f(x)=m x;②g(x)=n x满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是( )【探究】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.由0<m<n<1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是C或D,进而再判断①②与n和m的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选用特殊点法,令x=1,①②对应的函数值分别为m和n,由m<n可知应选C.【溯源】这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图、用图的意识.●案例3 试比较f(x)=a x2-4x+1与g(x)=14xx2a1+-⎪⎭⎫⎝⎛与u(x)=x2-4x+1的单调性之间的关系(其中a>1).【探究】由条件可知f(x)与g(x)分别是指数函数y=a x,y=x a 1⎪⎭⎫⎝⎛与二次函数u(x)=x2-4x+1复合而成，因此必须先考虑各自的情况(即单调性)再给出结论.∵u(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3，所以函数u(x)的单调减区间为（-∞,2］，单调增区间为［2,+∞），又∵a>1,∴y=a x为单调增函数，而y=xa1⎪⎭⎫⎝⎛为单调减函数，现设-∞<x1<x2≤2，则知u(x1)>u(x2).∴a u(x1)>a u(x2)，而()x1ua1⎪⎭⎫⎝⎛<()x2ua1⎪⎭⎫⎝⎛.即f(x1)>f(x2),g(x1)<g(x2)，所以函数f(x)=a x2-4x+1在区间（-∞,2］上为减函数，而函数g(x)=14xx2a1+-⎪⎭⎫⎝⎛在区间（-∞,2］上为增函数.同理可得：函数f(x)=a x2-4x+1在区间［2,+∞）上为增函数，而函数g(x)=14xx2a1+-⎪⎭⎫⎝⎛在区间［2,+∞）上为减函数.【溯源】研究复合函数f［g(x)］的单调性问题时，应研究函数f(x)和g(x)的单调性，然后可以根据“同增异减”的原则直接得到复合函数的单调性.疑难疏引掌握并运用指数函数的性质及图象来解决一些具有实际背景的数学问题.要求：(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义.(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题.(3)能处理有关几何问题、增长率问题和物理方面的实际问题.另外底数a对图象特征的影响也可这样来叙述：当a＞1时，底数越大，函数图象就越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，函数图象就越靠近y轴.一定要注意底数a对函数值变化的影响.如函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域；函数图象关于y轴或原点的对称性，对应着函数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性.●案例4对于指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)，有人总结出其底数a越接近1，其图象就越接近直线y=1，你认为该结论成立吗？【探究】要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象(如右图所示)，根据图象能看出该结论是正确的.【溯源】由此我们还能得出如下结论：(1)一般地，指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)与y＝a-x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称.(2)在y轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y 轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”).(3)(有界性)若a ＞1，当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1.若0＜a ＜1，当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞ 1.●案例5 已知f (x )=21+2x -x 2，试求函数f (x )的定义域与值域.【探究】本题可以看作函数f (t)=2t 和函数t=u(x )=1+2x -x 2的复合函数，可以先求函数u(x )的值域作f (t)的定义域，然后由数形结合探求y =f (x )的值域.易知函数y =f (x )的定义域为R ，又1+2x -x 2=-(x -1)2+2≤2,故函数y =f (x )的值域为（0,22］,即（0,4］.【溯源】求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.关于复合函数的概念介绍如下：函数y =f (u)(u ∈A )，u=g(x )(x ∈B ，u ∈A )，则y =［f (g(x ))］叫做由函数y =f (u)(u ∈A )、u=g(x )(x ∈B ，u ∈A )合成的复合函数，u 叫中间变量，y =f (u)(u ∈A )也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x )(x ∈B ，u ∈A )叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u=g(x )(x ∈B )求出的值域一定是A . 活学巧用1.已知2x +2-x =3，求4x +4-x的值.【思路解析】注意到2x 与2-x互为倒数的情况，可利用完全平方公式来探求.【解】 ∵2x +2-x=3,又4x +4-x =(2x )2+(2-x )2=(2x )2+2+(2-x )2-2 =(2x +2-x )2-2, ∴4x +4-x=7.【借题发挥】 将已知条件改为a x +a -x =m ，求a 2x +a -2x的值的问题，求解思路、过程基本一致. 2.()2122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的值为( )A.2B.-2C.22 D.-22【提示】 可以运用指数运算法则直接求解，做题过程应该注意符号的变化.【答案】】 C 3.计算： (1)32008.0-;(2)115365--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-.【解】 (1)25;(2)-65. 4.求下式中的x 值.211111131131131321-=---+++++--------xx xx xxx .【提示】 通过观察题目发现可以使用立方和(差)公式a 3±b 3=(a ±b )(a 2μab +b 2)进行整理、化简，进而求解.例如：x -1-1=(x31-)3-13=［(31x-)-1］·［(31x -)2+31x-+1］.【答案】】 x =52-7.5.若a >1,b >0且a b +a -b =22，求a b -a -b的值. 【提示】 可先分析a b与a-b的大小得出：a b -a -b >0，再通过求(a b -a -b )2的值进而求出a b -a-b的值. 【答案】】 2. 6.求值：332+·6625--()231-.【解】 原式=332+·()6232+-|1-3| =332+·323-+1-3=()()32223-+1-3=2-3.7.化简：314141b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+÷(a a b ⋅⋅1+b b a ⋅⋅1)31. 【解】 原式=314141b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+÷(b a ⋅431+ab ⋅431)31=314141b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷3131314141b a b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=31a ·31b . 8.化简：()21+x +331+x +348.【解】 原式=|x +1|+|x +1|+()3342=2|x +1|+16=⎩⎨⎧〈-+--≥+.1,42,1,182x x x x9.设23-2x≤(0.5)3x -4，试求x 的取值范围.【思路解析】本题是关于指数函数的一个不等式，可以先转化成同一个底数，再利用指数函数的单调性求解.【解】由23-2x ≤(0.5)3x -4可知23-2x ≤24-3x.又函数y =2x,x ∈R 是增函数, ∴3-2x ≤4-x ,即x ≥-1. 【规律总结】 求解此类问题最好将底数统一为大于1的，再由单调增函数的性质求解.可以减少出错.10.试作出函数y =2x -1+1的图象. 【解】11.试比较3221⎪⎭⎫⎝⎛,312-,312的大小，并按从小到大的顺序排列.【解】3221⎪⎭⎫⎝⎛<312-<312.12.求函数y =x14--1的定义域和值域.【解】 定义域：(-∞,0)∪(0,+∞)值域：(-1,0)∪(0,+∞).13.求下列函数的定义域和值域：(1)y =3x 12-;(2)y =x31⎪⎭⎫⎝⎛;(3)y =4x +2x +1+1;(4)y =1112--x .【思路解析】本题求“指数型”函数定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x 的取值范围；而求值域是求复合函数的值域问题，其一般步骤为：先求出定义域，然后用代入法求出内层函数的值域，由内层函数的值域作为外层函数定义域求出外层函数的值域就是整个复合函数的值域.【解】 (1)因为指数函数y =2x的定义域为x ∈R ，值域为y ∈(0,+∞)；若x ≠0，则y ≠1；由于函数y =3x 12-中31-x ≠0，所以y ≠20=1.所以所求函数的定义域为(-∞,3)∪(3,+∞),所求函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).(2)因为函数y =x31⎪⎭⎫⎝⎛中的|x |≥0，所以所求函数的定义域为R ；所求函数的值域为（0,1］.(3)将已知函数y =4x +2x +1+1整理得y =(2x +1)2，由此可知所求函数的定义域为R ；所求函数的值域为(1,+∞).(4)已知函数可化为y =112-x ，由11-x ≥0得所求函数的定义域为(1,+∞)；又因为11-x >0,可知所求函数的值域为(1,+∞). 【解题回顾】 求解值域时容易忽略指数函数值是恒正的，应引起高度重视.14.已知函数f (x )=xx xx --+-2222.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2)试证明函数f (x )在定义域上为单调减函数. 【解】 (1)奇函数；(2)证明略.15.曲线C 1,C 2,C 3,C 4分别是指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x 和y =d x的图象,则a ,b ,c,d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c<dB.a <b <1<d<cC.b <a <1<c<dD.b <a <1<d<c 【思路解析】 首先可以根据指数函数单调性,确定c>1,d>1,0<a <1,0<b <1,在y 轴右侧令x =1,对应的函数值由小到大依次为b ,a ,d,c,故应选D. 【答案】】 D16.(1)函数y =-2-x的图象一定过_______象限.(2)函数f (x )=a x -1+3的图象一定过定点P,则P 点的坐标是______________.(3)函数y =3-x与________的图象关于y 轴对称. 【思路解析】此题涉及有关图象变换,搞清图象平移和对称变换是解决此题的关键.(1)y =-2-x=x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-,它可以看作是指数函数y =x21⎪⎭⎫ ⎝⎛图象作关于x 轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限. (2)f (x )=a x -1+3的图象可以看作把f (x )=a x的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且f (x )=a x 一定过点(0,1),则f (x )=a x -1+3应过点(1,4).(3)图象与y =3-x 关于y 轴对称的函数为y =3x.【解】 (1)第三和第四 (2)(1,4) (3)y =3x【解题回顾】 此题要求大家明确f (x )=a x +m +n 与f (x )=a x两个函数图象之间的关系及体现在图象上任意一点的坐标之间的变化规律.17.某渔场养鱼，第一年,鱼的重量增长200% ，以后每年的重量增长率是前一年增长率的一半.(1)当饲养4年后，鱼的重量是原来的多少倍? (2)如果由于某种原因，每年损失预计重量的10% ，那么经过多少年后鱼的总重量开始减少? 【思路解析】在实际问题中有关增长率的问题是较常见的.要解决这类增长率问题通常都会用到与指数函数相关的函数式y =N ·(1+p)x，其中N 是原来的基数，p 为增长率，x 为时间. 【解】 (1)设鱼原来的重量为a ，n 年后鱼的重量为a n ，则a 1=(1+2)a =3a ,a 2=3a (1+1)=6a ,a 3=6a (1+21)=9a ,a 4=9a (1+41)=445a , 故四年后的重量是原来重量的1141倍.(2)由a n ≥a n (1+121 n )×90% ，得2n -1≥9，∴n ≥5.故经过五年后鱼的重量开始减少.【借题发挥】 对于增长率问题，可以先从一年一年的增长计算开始，在具体计算中再找出相应的规律列式计算.关于增长率的问题经常构建的数学模型为y =N (1+p)x，其中N 为基数，p 为增长率，x 为时间.所以经常会用到指数函数有关知识加以解决.18.某不法商人将彩电先按原价提高40% ，然后在广告中写上“大酬宾八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是_________元. 【答案】】 2 25019.某种商品1997年提价25% ，1999年要恢复成原价，则应降价( ) A.30% B.25% C.20% D.15% 【答案】】 C。
高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指
3.1 指数函数课堂导学三点剖析一、指数函数的图象和性质【例1】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y=2x ；②y=5x ；③y=(51)x ；④y=(21)x . (1)观察四个函数的图象,看它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?(2)由y=5x 的图象，怎样画出y=5x+3的图象？怎样画出y=5x +3的图象？解析:指数函数y=a x (a ＞0且a ≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过(0,1),又分别经过(1,2)(1,5)(1,51)(1,21).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如右图).(1)根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y 轴对称.规律：①一般地，指数函数y=a x (a>0且a ≠1)与y=a -x (a>0且a ≠1)的图象关于y 轴对称.②y=a x (a>0且a ≠1)中，当底a>1时，在y 轴右侧，底越大图象越靠近于y 轴；在y 轴左侧，底越大图象越靠近于x 轴.当底0<a<1时，在y 轴左侧，底越小图象越靠近于y 轴；在y 轴右侧，底越小图象越靠近于x 轴.(2)把y=5x 的图象向左平移3个单位可得y=5x+3的图象，把y=5x 的图象向上平移3个单位可得y=5x +3的图象.温馨提示(1)记住例1中(1)的结论，在同一坐标系中画指数函数的简图或比较幂的大小时，可直接应用.(2)函数图象的平移规律：y=f(x)y=f(x+a); y=f(x)y=f(x)+h.二、底数a>1和0<a<1的不同性质及应用【例2】 比较下列各题中两个数的大小.（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1.解析:（1）考查指数函数y=1.7x ，由于底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x 在（-∞，+∞）上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.(2)考查函数y=0.8x ,由于0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x 在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.温馨提示比较两个同底的指数的大小，若底数为字母，应分类讨论(底数大于1，大于0小于1两种).底数不同的两个指数比较大小，常借助于中间量（如0、1）.三、幂函数与指数函数的区别【例3】 请判断下列哪些函数是指数函数. y=(31)x,y=-3x ,y=π-x ,y=x 3,y=2×3x ,y=4x+1,y=22x ,y=(a-2)x (a>3),y=x x (x>0,x ≠1),y=(1-2)x ,y=22x . 解析:∵y=π-x=(π1)x ,y=22x =(22)x =4x , ∴指数函数有y=(31)x ,y=π-x ,y=22x ,y=(a-2)x (a>3). 不是指数函数的有y=-3x ,y=x 3,y=2×3x ,y=4x+1,y=x x (x>0,x ≠1),y=(1-2)x ,y=22x . 温馨提示认为y=(1-2)x 为指数函数，是没注意底数1-2<0.认为y=π-x 、y=22x不是指数函数，则是没把解析式变成y=a x的形式.这都是易犯的错误.各个击破类题演练 1函数y=a |x|（a>1）的图象是（ ）解析：y=a |x|（a>1），当x≥0时，y=a x 在第一象限为增函数，当x<0时，因y=a |x|是偶函数，所以图象关于y 轴对称，画出另一半，选B.答案：B变式提升 1画出函数y=2|x+1|的图象，并根据图象指出它的单调区间.解析:由函数解析式可得： y=2|x+1|=⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<++).1(,2),1()21(11x x x x其图象分成两部分,一部分是y 1=(21)(x+1)(x<-1)的图象,而它的图象是将y=（21）x 的图象沿x 轴的负方向平移一个单位而得到.另一部分是y 2=2x+1(x≥-1)的图象,而它的图象可以看作将y=2x 的图象沿x 轴的负方向平移一个单位而得到,（如右图）由图知,单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是［-1,+∞］.类题演练 2比较下列各组数的大小.(1)522,533;(2)a 1.5,a 1.8(a>0且a≠1);(3)0.8-3,21)34(-. 解析:(1)由y=5x 在R 上为增函数可知522<533.(2)当a>1时，a 1.5<a 1.8;当0<a<1时，a 1.5>a 1.8. (3)∵0.8-3>1,0<21)34(-<1, ∴0.8-0.3>21)34(-. 变式提升 2求满足2m m >(m m )2的正数m 的取值范围.解析:原不等式变形为: 2m m>m 2m , (1)m>1时,m 2>2m ⇒m>2,或m<0.∴m>2.(2)0<m<1时,m 2<2m ⇒0<m<2.∴0<m<1.综上所述,所求m 的值的范围为m>2,或0<m<1.类题演练 3指出下列函数哪些是指数函数:①y=4x ;②y=x 4;③y=-4x ;④y=(-4)x ;⑤y=πx ;⑥y=24x ;⑦y=x x ;⑧y=(2a-1)x(a>21,且a ≠1). 解析:①⑤⑧为指数函数;②是幂函数;③是-1与指数函数4x 的乘积;④中底数-4<0,不是指数函数;⑥中指数不是自变量x,而是x 的函数;⑦中底数x 不是常数,它们都不符合指数函数的定义.变式提升 3下列函数中的指数函数为________________.①y=x 2，②y=8x ，③y=（2a+1）x （a>-21,a ≠0), ④y=2)4(x -,⑤y=2.749x ,⑥y=1225-+x x ,⑦y=(x 2)x ,⑧y=-10x . 解析:①为幂函数,④中底数小于0,⑥⑦⑧均为复合函数,故答案为②③⑤. 答案：②③⑤。
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数指数函数的图象与性质的应用高一数学教案
第2课时 指数函数的图象与性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1.能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.指数函数形如y ＝ka x(k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x(x ∈N )．某人于今年元旦到银行存款a 万元，银行利率为月息p ，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________．a (1＋p )8 [一个月后a (1＋p )，二个月后a (1＋p )(1＋p )＝a (1＋p )2，…9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a (1＋p )8.]求函数的定义域、值域(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3.思路点拨：使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即21x －4≠1， 故y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}． (2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]． 由0<2x≤1，得－1≤－2x<0， ∴0≤1－2x<1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)．(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．1．对于y ＝af (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u的单调性或利用图象求得函数的值域． 2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解．1．(1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________．(2)求函数y ＝4－x －21－x＋1在x ∈[－3,2]上的最大值和最小值．(－3,0][(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，得－3<x ≤0.所以函数的定义域是(－3,0]．] (2)[解] y ＝4－x－21－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12，∵x ∈[－3,2]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，得y ＝(t －1)2，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，∴y ∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0.指数函数的应用题为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．思路点拨：本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x表示．[解] (1)1年后城市人口总数为：y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人． 解决实际应用题的步骤 1领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言； 2根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；3对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；4检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答.2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，求出y 关于x 的函数解析式．[解] 设该乡镇现在人口数量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M 千克．经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)千克，人口数量为M (1＋1.2%)．则人均占有粮食为360M 1＋4%M 1＋1.2%千克，经过2年后，人均占有粮食为360M 1＋4%2M 1＋1.2%2千克，…经过x 年后，人均占有粮食为y ＝360M 1＋4%x M 1＋1.2%x千克，即所求函数解析式为y ＝360⎝⎛⎭⎪⎫1.041.012x(x ∈N *)．指数函数性质的综合应用[探究问题]通过指数函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？[提示] 指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质a >10<a <1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化 当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围；(3)求f (x )在[－1,2]上的值域．思路点拨：(1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f0＝0，f－1＝－f1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b2＋a＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x22x＋1＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 22x 2＋12x 1＋1<0，∴f (x )在定义域R 上为减函数， 由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， 可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2，∴3t 2－2t －k >0恒成立， ∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13，∴k的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值值域等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.3．设a >0，函数f (x )＝4xa ＋a4x 是定义域为R 的偶函数．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． [解] (1)由f (x )＝f (－x ) 得4xa ＋a 4x ＝4－xa ＋a 4－x ，即4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＋14x ⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝0，根据题意，可得1a－a ＝0，又a >0，所以a ＝1.(2)由(1)可知f (x )＝4x＋14x ，设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝4x 1＋14x 1－4x2－14x 2＝(4x 1－4x 2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－14x 1＋x 2.因为0<x 1<x 2，所以4x 1<4x 2，所以4x 1－4x2<0. 又x 1＋x 2>0， 所以4x 1＋x 2>1，所以1－14x 1＋x 2＝4x 1＋x2－14x 1＋x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．于是知f (x )在(0，＋∞)上是增函数.复合函数的单调性1．y ＝2x的单调性如何？y ＝x ＋1呢？y ＝2x ＋1呢？[提示] y ＝2x在R 上单调递增，y ＝x ＋1在R 上单调递增，y ＝2x ＋1在R 上单调递增．2．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性分别如何？[提示]y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 单调递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1单调递减．3．y ＝－x 与y ＝2－x的单调性如何？[提示] y ＝－x 单调递减，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减． 4．由以上3个探究，我们可以对由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))的单调性做出什么猜想．[提示] y ＝f (g (x ))可以由y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成，复合而成的函数单调性与y ＝f (u )，u ＝g (x )各自单调的关系为“同增异减”．即f 与g 单调性相同，复合后单调递增，f 与g 单调性不同，复合后单调递减．5．用单调性的定义证明：当y ＝f (u )，u ＝g (x )均单调递减时y ＝f (g (x ))单调递增．[提示] 任取x 1，x 2∈D 且x 1<x 2.∵g (x )单调递减，∴g (x 1)>g (x 2)，即u 1>u 2， 又f (x )单调递减，∴f (u 1)<f (u 2)， 即f (g (x 1))<f (g (x 2))， ∴y ＝f (g (x ))单调递增． 【例4】判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．思路点拨：先确定u ＝x 2－2x 的值域、单调性，再确定f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u的单调性和值域． [解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．(变条件)本例中“x ∈R ”变为“x ∈[－1,2]”．判断f (x )的单调性，并求其值域．[解] 由本例解析知，又x ∈[－1,2]，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x (x ∈[－1,2])在[－1,1]上是增函数，在(1,2]上是减函数．∵u ＝x 2－2x (x ∈[－1,2])的最小值、最大值分别为u min ＝－1，u max ＝3，∴f (x )的最大值、最小值分别为f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3.2．(变设问)在本例条件下，解不等式f (x )<f (1)． [解]∵f (x )<f (1)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1，∴x 2－2x >－1，∴(x －1)2>0，∴x ≠1， ∴不等式的解集为{x |x ≠1}． 1．关于指数型函数y ＝af (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y＝a u，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．1．比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数型函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．指数型函数单调性的应用(1)形如y ＝af (x )的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝af (x )在[m ，n ]上是减函数． (2)形如a x >a y 的不等式，当a >1时，a x >a y⇔x >y ；当0<a <1时，a x >a y ⇔x <y .1．函数f (x )＝1－3x ＋1x ＋5的定义域为( ) A ．(－5,0)B ．[－5,0)C ．(－5,0]D ．[－5,0] C [令⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3x ≥0，x ＋5>0，∴－5<x ≤0.]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2 [x ∈[－1,2]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，3， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2.] 3．函数y ＝32－2x 2的单调递减区间是________．[0，＋∞) [令y ＝3u ，u ＝2－2x 2，因为y ＝3u在R 上单调递增，u ＝2－2x 2在[0，＋∞)上单调递减，所以y ＝32－2x 2的单调递减区间是[0，＋∞)．]4．设0≤x ≤2，y ＝4x －12－3×2x ＋5，试求该函数的最值．[解] 令t ＝2x ，0≤x ≤2，∴1≤t ≤4.则y ＝22x －1－3×2x＋5＝12t 2－3t ＋5. 又y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,4]， ∴y ＝12(t －3)2＋12在[1,3]上是减函数，在t ∈[3,4]上是增函数，∴当t ＝3时，y min ＝12； 当t ＝1时，y max ＝52. 故函数的最大值为52，最小值为12.。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数(2)课堂导学案苏教版必修1
3.1 指数函数课堂导学三点剖析一、指数函数图象和性质的应用【例1】 解下列不等式.(1)(0.2)2x-1>251; (2)9x -4·3x+1+27>0; (3)a <(a1)1-2x (a>0且a ≠1). 解析:(1)原不等式可化为51-2x >5-2,由y=5x 为增函数可知1-2x>-2,解得x<23.故所求x 的范围为x<23. (2)原不等式可化为(3x )2-12·3x +27>0.设3x =t,则t 2-12t+27>0,解得t>9或t<3.当t>9时，即3x >9,∴x>2.当t<3时，3x <3,∴x<1.故满足条件的实数x 的范围为x>2或x<1.(3)原不等式可化为a2x-1>21a . 当a>1时，y=a x 在R 上为增函数，∴2x-1>21. 解得x>43. 当0<a<1时，y=a x 在R 上为减函数，∴2x-1<21.解得x<43. 综上可知，当a>1时，x>43; 当0<a<1时，x<43. 温馨提示指数不等式主要有两种类型：(1)可化为a f(x)>a g(x)，当a>1时，转化为f(x)>g(x);当0<a<1时，转化为f(x)<g(x).(2)可化为A ·a 2x +B ·a x +C>0(或<0).令t=a x ,转化为关于t 的一元二次不等式At 2+Bt+C>0(或<0)，先求t 的范围，再求x 的范围，注意t>0.二、指数函数图象和性质的应用【例2】 已知a>0且a ≠1,讨论f(x)=a -x2+3x+2的单调性.解析:设u=-x 2+3x+2=-(x-23)2+417,则当x ≥23时,u 是减函数，当x ≤23时.u 是增函数，又当a>1时，y=a u 是增函数，当0<a<1时，y=a u 是减函数,所以当a>1时,原函数f(x)=232++-x x a在［23,+∞］上是减函数,在(-∞,23)上是增函数. 当0<a<1时,原函数f(x)=232++-x x a 在［23,+∞］上是增函数,在(-∞,23］上是减函数. 温馨提示求复合函数的单调区间：（1）先求函数定义域，再看这个函数由哪两个函数复合而成；（2）遵循的原则是“同增异减”，即y=f(u)与u=g(x)单调性相同时，则y=f ［g(x)］为增函数；当y=f(u)与u=g(x)单调性相异时，y=f ［g(x)］为减函数.三、指数函数的实际应用【例3】 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式.若要使存留的污垢不超过原来的1621，则至少要漂洗几次？ 思路分析:若洗前衣服的污垢为1,洗第一次后存留的污垢为(1-43)=41,洗第二次后存留的污垢为41×(1-43)=(41)2，…,第x 次后存留的污垢为(41)x-1·(1-43)=(41)x . 解析:设衣服洗前的污垢为1，由题意知漂洗x 次后衣服存留污垢y=(41)x (x ∈N). 由题意知(41)x ≤1621,即(21)2x ≤(21)16. ∴2x ≥16.∴x ≥8. ∴要使存留的污垢不超过原来的1621,至少要漂洗8次. 温馨提示平均增长(降低)率公式a(1±x)n 中的a 为起初的量,n 是增长(降低)的次数,取加号表示增长,减号表示降低.各个击破类题演练 1设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤--.0,,0,1221x x x x 若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是（ ）A.(-1,1)B.(-1,＋∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:∵f(x 0)>1,当x 0≤0时,2-x 0-1>1,2-x 0>2,-x 0>1,∴x 0<-1;当x 0>0时,210x >1,∴x 0>1.综上,∴x 0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:D变式提升 1设y 1=a 3x+1,y 2=a -2x ,其中a>0,a≠1.确定x 为何值时,有y 1>y 2.解析:∵y 1>y 2,∴a 3x+1>a -2x .当a>1时,3x+1>-2x,得x>-51. 当0<a<1时,3x+1<-2x,得x<-51. 综上所述,当a>1时,x∈(-51,+∞). 当0<a<1时,x ∈(-∞,-51). 类题演练 2求函数y=36x -12×6x -5的单调区间.解析:令6x =t,则t=6x 在R 上增函数,y=t 2-12t-5=(t-6)2-41.当t≥6,6x ≥6即x≥1时,y 是关于t 的增函数;当t≤6,6x ≤6即x≤1时,y 是关于t 的减函数.∴函数y=36x -12·6x -5的单调递增区间为［1,+∞),单调递减区间为(-∞,1］.变式提升 2已知y=22)21(+--x x +1,求其单调区间，并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数. 解析:由-x 2-x+2≥0，得-2≤x≤1.设u(x)=-x 2-x+2=-(x+21)2+49,在［-2，-21］上，u(x)为增函数，)(x u 也是增函数；在［-21,1］上，u(x)为减函数，)(x u 也是减函数.又知y=(21)x 为减函数， ∴y=22)21(+--x x 的单调增区间为［-21,1］，单调减区间为［-2，-21］. 类题演练 3某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt (k 为常数,t 表时间,y表示细菌的个数),则k=_____________,经过5小时后一个病毒能繁殖为____________个.解析:将(21,2)代入y=e kt ,得2=k e 21,∴k=2ln2,从而函数解析式为y=e (2ln2)t =(e ln2)2t ,令t=5,得y=210=1 024个,故填k=2ln2,1 024个.答案：2ln2 1 024变式提升 3家用电器(如冰箱等)使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q 呈指数函数型变化,满足关系式Q=Q 0e -0.002 5t ,其中Q 0是臭氧的初始量.(1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少?(2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?解析:(1)Q=Q 0e-0.002 5t =Q 0(e 1)0.002 5t ,0<e 1<1,随t 的增大,(e 1)0.002 5t 减小,又Q 0>0,∴Q=Q 0(e 1)0.002 5t 减小.故Q 是关于t 的减函数.∴随时间t 增加臭氧的含量逐渐减少.(2)令12Q Q =21,即e -0.002 5t (t 2-t 1)=21.由计算器得e -0.693 2=21. ∴-0.002 5(t 2-t 1)=-0.693 2,解得t 2-t 1=277. 答案:(1)臭氧含量逐年减少.(2)277年后减到一半.。
高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.2对数函数3.2.2对数函数名师导航学案苏教版必修1
3.2.2 对数函数名师导航知识梳理函数__________(a>0且a≠1)叫做对数函数；它是指数函数y=a x(a>0且a≠1)反函数.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)定义域为__________，值域为__________.由于对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数，所以y=log a x图象与y=a x图象关于直线对称.因此，我们只要画出与y=a x 图象关于y=x对称曲线，就可以得到y=log a x图象，然后根据图象特征得出对数函数性质.疑难突破怎样把对数函数与指数函数联系起来研究答：对数函数反函数是指数函数，所以要利用指数函数性质来研究对数函数.应该让学生注意到：(1)这两种函数都要求底数a ＞0，且a ≠1；对数函数定义域为(0，+∞)，结合图象看，对数函数在y 轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数定义域.(2)通过将对数函数与指数函数图象进展比照，可以发现：当a ＞1或0＜a ＜1时，对数函数与指数函数单调性是一致〔即在区间(0，+∞)上同时为增函数，或者同时为减函数〕.对数函数图象都经过点(1，0)，这与性质log a 1=0 a 0=1是分不开.(3)既然对数函数y=log a x 与指数函数y=a x 互为反函数，那么它们图象关于直线y=x 对称.于是通过对a 分情况讨论(约定不同取值范围)，再结合函数y=log 2x,y=21log x 图象来提醒对数函数性质，应该是一件水到渠成事.(4)指数函数与对数函数可以比照方下： 名称指数函数 对数函数 一般形式y=a x (a>0,a ≠1) y=log a x(a>0,a ≠1) 定义域(-∞,+∞) (0,+∞) 值域(0,+∞) (-∞,+∞) 函数值变化情况 当a>1时, a x = 当0<a<1时, a x当a>1时, log a x 当0<a<1时, log a x问题探究 问题 为什么在定义对数函数y=log a x 时要规定a ＞0且a ≠1？探究思路：因为对数函数与指数函数互为反函数，因此要根据互为反函数两个函数图象关于直线y=x 对称关系，它们定义域与值域正好交换，它们对应法那么是互逆这些特征.我们已理解指数函数y=a x 中a ＞0且a ≠1，所以对数函数y=log a x 中也必须a ＞0且a ≠1.典题精讲例1 以下图是对数函数y=log a x 当底数a 值分别取3，34，53，101时所对应图象，那么相应于C 1，C 2，C 3，C 4a 值依次是( )A.3,34,53,101 B.3,34,101,53 C.34,3,53,101 D.34,3,101,53 思路解析 因为底数a 大于1时，对数函数图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴.答案:A例2 比拟大小：(1)log 与log ；(2)log 35与log 65；(3)(lgm)与(lgm)(m ＞1)；(4)log 85与lg4.思路解析 (1)log 与log 可看作是函数y=logx 当x=7与x=9时对应两函数值，由y=logx 在(0，+∞)上单调递减，得log ＞log.(2)考察函数y=log a x 底数a ＞1底数变化规律，函数y=log 3x(x ＞1)图象在函数y=log 6x(x ＞1)上方，故log 35＞log 65.(3)把lgm 看作指数函数底数，要比拟两数大小，关键是比拟底数lgm 与1关系.假设lgm ＞1即m ＞10，那么(lgm)x 在R 上单调递增，故(lgm)＜(lgm).假设0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，那么(lgm)x 在R 上单调递减，故(lgm)＞(lgm).假设lgm=1即m=10，那么(lgm)=(lgm).(4)因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4.解答:(1)log ＞log ；(2)log 35＞log 65；(3)m ＞10时，(lgm)＜(lgm)，m=10时，lgm=1，(lgm)=(lgm)，1＜m ＜10时，(lgm)＞(lgm)；(4)log 85＞lg4.例3 函数y=lg(12+x -x)，求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 思路解析 注意到12+x +x=，即有lg 〔12+x -x 〕=-lg 〔12+x +x 〕，从而f 〔-x 〕=lg 〔12+x +x 〕=-lg 〔12+x -x 〕=-f 〔x 〕，可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称区间上单调性一样，所以我们只需研究〔0，+∞〕上单调性.解:由题意12+x -x ＞0，解得x ∈R ，即定义域为R .又f 〔-x 〕=lg ［1)(2+-x -〔-x 〕］=lg 〔12+x +x 〕=lg=lg 〔12+x -x 〕-1=-lg 〔12+x -x 〕=-f 〔x 〕,∴y=lg〔12+x 1、x 2∈〔0，+∞〕且x 1＜x 2， 那么121+x ＜122+x ⇒121+x +x 1＜122+x +x 2⇒>， 即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0， ∴lg〔121+x -x 1〕＞lg 〔122+x -x 2〕，即f 〔x 1〕＞f 〔x 2〕成立.∴f〔x 〕在〔0，+∞〕上为减函数.又f 〔x 〕是定义在R 上奇函数，故f 〔x 〕在〔-∞，0〕上也为减函数.例4 作出以下函数图象：(1)y=|log 4x|-1；(2)y=31log |x+1|.思路解析 (1)y=|log 4x|-1图象可以看成由y=log 4x 图象经过变换而得到：将函数y=log 4x 图象在x 轴下方局部以x 轴为对称轴翻折上去，得到y=|log 4x|图象，再将y=|log 4x|图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log 4x|-1图象.思路解析 (2)y=31log |x+1|图象可以看成由y=31log x 图象经过变换而得到：将函数y=31log x 图象作出右边局部关于y 轴对称图象，即得到函数y=31log |x|图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求函数y=31log |x+1|图象.答案:函数(1)图象作法如图①—③所示.函数(2)图象作法如图④—⑥所示.例5 设a ≠0，对于函数f(x)=log 3(ax 2-x+a)，(1)假设x ∈R ，求实数a 取值范围；(2)假设f(x)∈R，求实数a取值范围.思路解析f(x)定义域是R，等价于ax2-x+a＞0对一切实数都成立，而f(x)值域为R，等价于其真数ax2-x+a能取遍大于0所有实数值，(1)与(2)虽只有一字之差，但结果却大不一样.解答:(1)f(x)定义域为R，那么ax2-x+a＞0对一切实数x恒成立，其1.等价条件是解得a＞2(2)f(x)值域为R，那么真数ax2-x+a能取遍大于0所有实数，其等价1.条件是解得0＜a≤2知识导学作对数函数图象一般有两种方法：一是描点法，即通过列表、描点、连线方法作出对数函数图象；二是通过观察它与指数函数图象之间关系，并利用它们之间关系作图.比拟大小是对数函数性质应用常见题型.当底数一样时，可利用对数函数性质比拟；当底数与指数不同时，要借助于中间量进展比拟.比拟两个对数式大小，底一样时，可利用对数性质进展比拟.不同类函数值大小常借助中间量0、1等进展比拟.图象平移在教材中是通过例题引出，并由这个特殊例子得出了一般结论：一般地，当a＞0时，将y=log2x图象向左平移a个单位长度便得到了函数y=log2(x+a)图象；当a＞0时，将函数y=log2x图象向右平移a个单位长度便可得到函数y=log2(x-a)图象.对数函数y=log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y=a x(a＞0且a≠1)互为反函数，这两个函数图象关于直线y=x对称.疑难导析由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数.我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a≠1).因为指数函数y=a x定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).对数函数与指数函数互为反函数，因此它们图象对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数图象，并推知它性质.利用函数单调性可进展对数大小比拟.比拟对数大小常用方法有：(1)假设底数为同一常数，那么可由对数函数单调性直接进展判断.(2)假设底数为同一字母，那么按对数函数单调性对底数进展分类讨论.(3)假设底数不同、真数一样，那么可用换底公式化为同底再进展比拟.(4)假设底数、真数都不一样，那么常借助1、0、-1等中间量进展比拟.问题导思充分体会互为反函数两个函数之间关系.典题导考绿色通道由对数函数图象间相对位置关系判断底数a相互关系，应根据对数函数图象与底数间变化规律来处理.在指数函数y=a x中，底数a越接近1，相应图象就越接近直线y=1，对数函数与指数函数是一对反函数，其图象是关于直线y=x对称，直线y=1关于直线y=x 对称直线是x=1，所以我们有结论：对数函数y=log a x，底数a越接近1，其图象就越接近直线x=1.典题变式函数f(x)=|log2x|图象是( )答案:A绿色通道两数(式)大小比拟主要是找出适当函数,把要比拟两数作为此函数函数值,然后利用函数单调性等来比拟两数大小,一般采用方法有:(1)直接法:由函数单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:假设两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;(4)转化法:把要比拟两数适当转化成两个新数大小比拟;(5)媒介法:选取适当“媒介〞数，分别与要比拟两数比拟大小，从而间接地求得两数大小.典题变式假设log a2＜log b2＜0，那么a、b满足关系是( )A.1＜a＜bB.1＜b＜aC.0＜a＜b＜1D.0＜b＜a＜1答案:D绿色通道研究函数性质一定得先考虑定义域，在研究函数单调性时，注意奇偶性对函数单调性影响，即偶函数在关于原点对称区间上具有相反单调性；奇函数在关于原点对称区间上具有一样单调性.典题变式函数f(x)=log a(a＞1且b＞0).(1)求f(x)定义域；(2)判断函数奇偶性.解:(1)由解得x＜-b或x＞b.∴函数f(x)定义域为(-∞，-b)∪(b，+∞).(2)由于f(-x)=log a()=log a()=log a()-1=-log a()=-f(x)，∴f(x)为奇函数.绿色通道画函数图象是研究函数变化规律重要手段.画函数图象通常有两种方法：列表法与变换法.变换法有如下几种：平移变换：y=f(x+a)，将y=f(x)图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到；y=f(x)+a，将y=f(x)图象向上(a＞0)或向下(a ＜0)平移|a|个单位而得到.翻折变换：y=|f(x)|，将y=f(x)图象在x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方，其他局部不变；y=f(|x|)，它是一个偶函数，x≥0时图象与y=f(x)图象完全一样；当x≤0时，其图象与x≥0时图象关于y轴对称.对称变换：y=-f(x)，它图象与函数y=f(x)图象关于x轴对称；y=f(-x)，它图象与y=f(x)图象关于y轴对称；y=-f(-x)，它图象与y=f(x)图象关于原点成中心对称.伸缩变换：y=f(ax)(a＞0)，将y=f(x)图象上各点横坐标压缩(a＞1)或伸长(0＜a ＜1)到原来a 倍，纵坐标不变；y=af(x)(a ＞0)，将y=f(x)图象上各点横坐标不变，纵坐标压缩 (0＜a ＜1)或伸长(a ＞1)到原来a 倍.典题变式函数y=lg|x|( )A.是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递增B.是偶函数，在区间(-∞，0)上单调递减C.是奇函数，在区间(0，+∞)上单调递增D.是奇函数，在区间(0，+∞)上单调递减答案:B绿色通道 解对数不等式，在转化为代数不等式时，不仅要结合对数函数单调性脱去对数符号，还要注意使每个对数式都有意义. 典题变式设函数f(x)=x 2-x+b ，且f(log 2a)=b ，log 2［f(a)］=2(a ≠1)，求f(log 2x)最小值及对应x 值.解答: 由得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a 即)2()1(.4,0)1(log log 222⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-b a a a a 由①得log 2a=1，∴a=2.代入②得b=2.∴f〔x 〕=x 2-x+2.∴f〔log 2x 〕=log 22x-log 2x+2=〔log 2x-21〕2+47.∴当log 2x=21时，f 〔log 2x 〕取得最小值47，此时x=2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．1．2 指数函数
第1课时指数函数的定义及性质
1．理解指数函数的定义．
2．掌握指数函数的定义域、值域和单调性．
3．能根据指数函数的性质比较一些数值的大小．
1．指数函数的定义
函数y＝a x(a＞0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域为R．
【做一做1】下列函数中是指数函数的是__________．
①y＝4x②y＝x4③y＝－4x④y＝(－4)x⑤y＝πx⑥y＝x x 答案：①⑤
值域：
图象过定点(0,1)
在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[ZB
)]
】比较大小：
(1)1.72.5__________1.73；
(2)0.8－0.1__________0.8－0.2．
答案：(1)＜(2)＜
【做一做2－2】已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)和f(－3)的值．
解：由条件得π＝a3，a＝
3
π，
所以f(x)＝(
3
π)x．从而f(0)＝1，f(1)＝
3
π，f(－3)＝
1
π
．
在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y＝2x；②y＝5x；③
1
5
x
y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；④
1
2
x
y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？
剖析：(1)指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)恒过两个点(0,1)和(1，a)．这四个函数都经过(0,1)，又分别经过(1,2)，(1,5)，
1
1,
5
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
1
1,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图)．
(2)从上图中总结出一般性结论为：
①观察指数函数的图象，既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以是非奇非偶函数．
②y ＝a x
与1x
y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对称，分析指数函数y ＝a x
的图象时，需找两个关键
点：(1，a )和(0,1)．
③指数函数的图象永远在x 轴的上方．当a ＞1时，图象越接近于y 轴，底数a 越大；当0＜a ＜1时，图象越接近于y 轴，底数a 越小．
题型一 利用指数函数的单调性比较大小 【例1】将三个数1.5
－0.2
,1.30.7
，13
23⎛⎫
⎪⎝⎭
按从小到大的顺序排列． 分析：当两个幂指数的底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．
解：先比较1.5－0.2
0.2
23⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦即和1
3
23⎛⎫ ⎪⎝⎭
的大小，考察指数函数2=3x
y ⎛⎫
⎪⎝⎭，由于底数23在
区间(0,1)内，
所以指数函数2=3x
y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在(－∞，＋∞)上是减函数．由0.2＝15＜13，得1＞0.2
23⎛⎫
⎪⎝⎭
＞
13
23⎛⎫
⎪⎝⎭
． 另一方面，由于1.3＞1,0.7＞0，得1.30.7
＞1． 所以13
23⎛⎫
⎪⎝⎭
＜1.5－0．2＜1.30.7
． 反思：处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比，比如说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x 取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系．
题型二 定义域和值域问题
【例2】求下列函数的定义域与值域．
(1)13
=2
x y -； (2)||
1=3x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
；
(3)y ＝4x
＋2x ＋1
＋1；
(4)y
解：(1)因为指数函数y ＝2x
的定义域为x ∈R ，值域为y ∈(0，＋∞)；若x ≠0，则y ≠1．由
于13
=2
x y -中的
1
x －3
≠0，所以y ≠1．所以所求函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠3}，值域为{y |y ＞0且y ≠1}． (2)因为||
1=3x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
中的|x |≥0，所以x ∈R ，0＜y ≤1．所以所求函数的定义域为R ，值域
为{y |0＜y ≤1}．
(3)将已知函数整理成y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2(2x )＋1＝(2x ＋1)2
．由此可知定义域为R ，值域为{y |y ＞1}．
(4)
已知函数可化为y ，由1x －1≥0得x ＞1；又由1x －1
＞0
，得y 1．
所以定义域为{x |x ＞1}，值域为{y |y ＞1}． 反思：本题求定义域均为求自然定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x 的取值范围(集合)；求值域的问题均为复合函数的值域问题，而求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域．
题型三 指数方程与不等式
【例3】设y 1＝a 3x ＋1，y 2＝a －2x
，其中a ＞0，a ≠1．确定x 为何值时，有(1)y 1＝y 2；(2)y 1
＞y 2？
解：(1)若y 1＝y 2，则3x ＋1＝－2x ，解得x ＝－1
5
．
(2)若y 1＞y 2，则a 3x ＋1＞a －2x
．
当a ＞1时，原不等式可化为3x ＋1＞－2x ，x ＞－15，解集为15⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，；
当0＜a ＜1时，原不等式可化为3x ＋1＜－2x ，x ＜－15，解集为15⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，-．
反思：对于指数函数y ＝a x
来说，因当0＜a ＜1和a ＞1时，其函数单调性是不同的，所
以当底数含有字母时，必要时可对所含字母进行分类讨论．
【例4】解下列关于x 的方程：
(1)81×32x
＝2
19x ⎛⎫
⎪
⎝⎭
＋；(2)2
2x ＋2
＋3×2x
－1＝0．
解：(1)∵81×32x
＝2
19x ⎛⎫
⎪
⎝⎭
＋，∴32x ＋4
＝3－2(x ＋2)
，
即2x ＋4＝－2(x ＋2)，解得x ＝－2．
(2)∵22x ＋2＋3×2x
－1＝0，
∴4×(2x )2＋3×2x
－1＝0．
令t ＝2x ，则方程可化为4t 2
＋3t －1＝0，
解得t ＝1
4或t ＝－1．
则2x ＝14
或2x
＝－1(舍去)，解得x ＝－2．
反思：教材中目前仅要求掌握最简单的两种类型的指数方程的求解，
一类是直接由同底数指数式相等而得指数相等型，另一类是可化为一元二次方程型的指数式方程．如上述两个例子，解决的关键是通过指数运算，进行等价转化．
1若函数y ＝(a 2
－3a ＋3)·a x
是指数函数，则a 的值为__________．
解析：由题知⎩⎨
⎧
a 2
－3a ＋3＝1，
a >0且a ≠1，
所以⎩⎨
⎧
a ＝1或a ＝2，a >0且a ≠1，
即a ＝2．
答案：2 2已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为__________．
解析：因为a ＝
5－12
∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x
在R 上单调递减，从而由f (m )＞f (n )，得m ＜n ．
答案：m ＜n
3比较下列各组数的大小．
(1)1.52．5,1.53．2
；
(2)0.5－1．2,0.5－1．5
；
(3)1.50．3,0.81．2
．
解：(1)考察指数函数y ＝1.5x
，
因为1.5＞1，所以指数函数y ＝1.5x
在R 上是增函数．
又因为2.5＜3.2，所以1.52．5＜1.53．2
．
(2)考察指数函数y ＝0.5x
， 因为0＜0.5＜1，
所以指数函数y ＝0．5x
在R 上是减函数．
又因为－1.2＞－1.5，所以0．5－1．2＜0．5－1．5
．
(3)由指数函数的性质知1.50．3＞1.50＝1，0.81．2＜0.80＝1，所以1.50．3＞0.81．2
． 解下列的不等式与方程：
(1)(a －1)3x －2＞(a －1)x ＋2
(其中a ＞1且a ≠2)；
(2)a x 2－3x ＋3＝a 2x －1
(其中a ＞0且a ≠1)．
解：(1)当a ＞2时，原不等式可化为3x －2＞x ＋2，x ＞2，解集为(2，＋∞)； 当1＜a ＜2时，原不等式可化为3x －2＜x ＋2，x ＜2，解集为(－∞，2)．
(2)由条件得x 2
－3x ＋3＝2x －1，解得x 1＝1，x 2＝4．。