第三章静态场的解法-61页文档

按照梯形算法，每一个小梯形区间宽度为
，
第n个梯形采样点为
则 然后编写程序计算数值解。
2.有限差分法
在一个闭合边界L所界定的平面域，其定解问 题可表述为
首先是把求解的场域离散化，即在求解的场域划分成 网格，网格的划分有许多种方法，最简单的是正方形 网格划分，如图3.6.2所示。然后对偏微分方程进行 离散化，对正方形网格可采用五点差分格式。在二维 场域中取一点P，则沿x轴方向并通过P点的直线上任 意一点的数值ux用泰勒公式展开为
下面讨论拉普拉斯方程对二维位场的求解问 题。
所谓二维位场即是 (x ,y )f(x )g (y )k ,z 2 0
于是有
例3.3.1 两块彼此平行的半无限长接地金 属板，板间距离为b，两平行板的一端另一 块电位为 的极长的金属条，它们之间缝 隙极小，但彼此绝缘，如图3.2所示。求两 板间的电位分布。
所以k必须为整数，令k=n，于是式（3.4.7）变为
(3.4.8) 用n代替k，并把式（3.4.5）改写为如下形式
(3.4.9)
它是一个欧拉方程，其解为
(3.4.10)
式中的系数由边界条件确定
（3.4.11）
球坐标系中的拉普拉斯方程为 2.在球坐标系的分离
变量法 在球坐标系中具有轴对称的二维场的解
1 和 2 。求球内、外的电位分布和电场强度分布。
解： 由于球体具有球对称分布，取球坐标系，电位 为半径r的函数，与坐标θ和φ无关，即φ=φ（r）， 则
在球内：
在球外：
在球体表面根据边界条件可知在r=R处有
对式（3.11）进行积分得
3.3在直角坐标系中的分离变量法
如果边界面的形状适合用直角坐标系表示， 那么可以在直角坐标系中求解。在直角坐标系中， 位函数的拉普拉斯方程为
3.2直接积分法
下面举几个例子来介绍这种方法的应用。 例3.2.1 空间电荷区如图3.2.1所示，在
-l～0区域内为负电荷，在0～l区域内为正 电荷，且电荷分布函数为ρ=Kqx（x范围为l≤x≤l，K为比例常数）。取x=0为电位参考 点，在x=±l处电场为零。求在-l＜x＜l范围 内的电位分布和电场分布。
(3.4.2)
设
（3.4.3）
式中R(r)仅为r的函数，
把式（3.4.3）代入到式（3.4.2）中得
式（3.4.4）第一项是关于r 数，要使上式对于所有的r 一个常数，于是有
(3.4.4)
（3.4.5） (3.4.6)
对式（3.4.6）求解，其解为 (3.4.7)
对于所研究的实际问题，位场是单值的，则有
像为-q，位置在（-h1,h2,0）。 在OB面的镜像 为-q，位置在（-h1,h2,0） 。按照平面镜像法则 还应该成第三个镜像位置在（-h,-h2，0），第三 个镜像为q。这样点电荷q与三个镜像电荷共同作 用才能满足原来的边界条件——在导体平面AOB 上的电位为零。所以本问题可以用三个镜像电荷 代替相交成直角的接地导体平面AOB。
位函数φ是x、y、z的函数，可以表示成三个 单变量未知函数的乘积
(x ,y ,z ) f(x )g (y )h (z )
（ 3.49） 式中f(x)仅为x的函数； g(y) 为y的函数，h(z)为
z的函数，得 上式除以 f(x)g(y)h(z)得
上式第一项仅是x为变量的函数，与y和z无关； 而第二
得到P点的电位为
例3.10 一根无限长直导线与地面平行，设导线半 径为a，高出地面的高度为h(h>>a)，求单位长度导线 对地的电容。
图3.11无限长直 导线的镜像法
解: 本题可以采用镜像法求解，无限长的直导线 的线电荷密度为ρl，则地面这个边界可以用镜像 的线电荷密度为-ρl的直导线代替，如图3.5.4所示。
项仅随y而变化，第三项仅随z而变化。所以式（3.50）
成立的唯一条件是这三项中每一项都是常数。令第一、
二、三项分别为常数
kx2
,
k
2 y
,ຫໍສະໝຸດ Baidu
kz2
，即
三个常数满足的关系式为
kx2ky2kz2 0
（3.54）
这样就把偏微分方程（3.48）变成了三个常微 分方程，这种方法就是分离变量法。三个常微 分方程（3.51）～（3.53）可以改写为
常遇到的边值问题有三种： （1）全部边界上的位函数是已知的，称为第一类 边值问题，又称为狄利克雷（Dirichlet）问题。 （2）全部边界上的法线方向的位函数的导数是已 知的，称为第二类边值问题，又称为纽曼 （Neumann）问题。
（3）混合边值问题，又称为第三类边值问题， 它是第一类和第二类边值问题的混合型。
由上面两个方程联立解得
这样球外任意一点P的电位为 以O为中心建立球坐标系，设OP与OP1夹角为θ
所以 由在r=a时的边界条件可知
（3） 球面上总感应电量为 计算结果表明，球面上总感应电量等于镜像电荷的电量。
3.6静态场的数值解法
1. 数值积分法
2.
电磁场分布型问题可以利用数值
积分法计算。例如，可以在各向同性电介
(3.3.23)
第二个场电位为φ2，是两个电位为零的无穷大的 平行板，并且在x=0处φ2满足
那么金属槽内的电位分布的解为φ=φ1+φ2，分别求 出φ1和φ2，φ也就得出来了，根据唯一性定理，即是 要求的唯一解答。φ1已知，见（3.3.23）式，下面求
出φ2。
由例3.3.1的讨论，φ2可表示为 (3.3.24)
式中常数Am、Bm由边界条件决定。 例3.8 无限大介质外加均匀电场，在介质内有一个半 径为a的球形空腔，介质的介电常数为ε，求空腔内、 外的电位分布及电场强度。
解 本题为球坐标系中具有轴对称性的二维场问题 在空腔内的通解为
在介质中的通解为
下面利用边界条件确定各个系数。 所以B1=0 ③ 系数A1、C1、D1可以由r=a时的边界条件求出，当 r=a时由φ1=φ2 所以可以得出
解: 取棒的中点为坐标系原 点，在带电体上取电荷元
（这里加“′”表示源点），则dq 和P点的电场强度的大小为
图3.6.1 例3.6.1用图
根据对称性可知，P点的电场强度只有x分量，而y 分量Ey=0，即
现在对上式进行数值积分，把被积函数f(x)在积分 区间(a,b)取N个小梯形，则第n个小梯形的面积为 f(xn)Δxn，则f(x)在(a,b)上的积分为
解：在-l≤x≤l范围内，电位 满 足泊松方程
2
（ε为材料的介电常数）从图3.2.1可以看出，电
位函数是x的函数，即=（x）
d2 Kq
dx2




x
对上式进行积分
dKqx2 dx 2
C1
K 6qx3C1xC2
例3.2.2 有一个半径为R的球体，均匀分布着体电 荷密度为ρ的电荷。设球内、外介质的介电常数为
图3.12 点电荷对导体球的镜像
解（1） 导体球接地时，导体表面电位处处为零。下 面在球内区域找到一个镜像电荷q2，用q2来代替球 形边界。 在球面上任取一点P′，则P′点的电位为零，即
上式对球面上任意一点都是成立的，那么可以在球面 上取两个特殊点： 一个是OP1与球面的交点，另一个 是OP1的延长线与球面的交点，于是有
例3.6.2 如图3.6.4所示为一长直接地金属槽，其 侧壁与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为10， 试求槽中的电位分布。
解:
题中的边界构成第一类边值问题
按照有限差分法，本题的解题过程如下： 1） 离散化场域。用正方形网格对场域D进行剖分，剖 分越细计算精度越高。根据工程需要，沿x、y方向的等 分数应取p=30以上，本题中为了形象直观，沿x、y方 向的等分数均为p=4，步距h=a/4，如图3.6.5所示。
A1acosθ=（C1a+D1a-2）cosθ
3.5镜像法
镜像法最简单的情况是点电荷对无限大平面 的镜像问题。
在无限大接地导体平面上方的空气中放置一个 电荷q，距平面距离为h，如图3.5.1所示，要求出 这个无限大接地导体平面上方任意一点的电位φ,那 么可以设想在平面下方有一个镜像电荷-q，在所研 究的区域即平面上方的电位为点电荷q产生的电位 和镜像电荷-q产生电位的叠加。
式中Cn由x=0处的边界条件求出，即
可以确定傅里叶系数Cn为
则 金属槽内的电位分布为
(3.3.25) (3.3.26)
3.4 在圆柱坐标系和球坐标系的 分离变量法
1.在圆柱坐标系的分离变量法 在圆柱坐标系中，拉普拉斯方程为
(3.4.1) 下面讨论电位φ不随纵向（z方向）变化的二 维场问题，即φ仅为r 普拉斯方程变为
质中的电场强度E和电位φ
3.
4.
式中τ′为源区。如τ′为体分布，则需对V′体积分；如 τ′为面分布，则需对S′面积分； 如τ′为线分布，则需 对l′线积分。
再如对于一闭合回路l′，电流为I，在场点的 磁感应强度B和矢量磁位A也可以通过数值积分法 计算
诸如此类的电磁场问题很多，通过矢量计算都可 以得到数值积分问题。数值积分的算法很多，如梯形 求积算法、辛普生求积算法等。下面通过一个例子介 绍梯形求积算法。 例3.6.1 求均匀带电直导线的中垂线上一点P的电场 强度，设带电直导线的长度为l，带电量为q。
所以在平面上方空间任意一点P的电位为
平面上方空间任意一点P的电场强度为
无限大接地导体平面的面电荷分布为
例3.9 相交成直角的接地导体平面AOB附近有一个点 电荷q，如图3.10所示，中间介质为空气，求空间任意 一点P的电位。
图3.10直角形导 体平面的镜像
解: 点电荷q位置为（h1,h2,0），在OA面的镜
原导线在P点的电场强度为
同理镜像电荷的电位为
所以由镜像法可知，地面上方任意一点P的电位为 则直导线的电位为 所以单位长度导线对地的电容为
例3.11 有一个接地导体球半径为a，与球心O 相距d1的位置P1点有一个点电荷q1如图3.5.5所示， 试求：
(1) 导体球外的电位函数；
(2) 球面上感应的面电荷密度； (3) 球面上总感应电量。
式中h=（x-xP）很小时，4阶以上的高次项 可以忽略。P点与其相邻的四个网格点构成了五 个网络点，如图3.6.3所示。
图3.6.2二维场域的正方形网格剖分 图3.15正方形网格的五点差分格式
则1点的值为 3点的值为
上两式相加得 同理
取P点为（xi,yi），则uP=ui,j； u1=ui+1,j； u2=ui,j+1； u3=ui-1,j； u4=ui,j-1。 则有ui,j=1/4（ui+1,j+ui,j+1+ui-1,j+ui,j-1-h2F）
图3.5.1 镜像法求解点电荷与无限大接地 导体平面形成的位场
建立一个坐标系，如图3.5.2所示，可以很方 便地求出平面上方任意一点的电位分布及无限大 接地平面上的电荷分布。
图3.5.2 在直角坐标系中求解点电荷与无限大接 地导体平面问题
从图3.5.2可以看出 R=［x2+y2+（z-h）2］1/2 R′=［x2+y2+（z+h）2］1/2
第三章 静态场的解法
本章内容 3.1 静态场边值问题及唯一性定理 3.2直接积分法 3.3在直角坐标系中的分离变量法 3.4在圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法 3.5镜像法 3.6静态场的数值解法
3.1 静态场边值问题及唯一性定理
静态场的问题大体上可分为两类： （1）分布型问题 （2）边值型问题
静态场的边值问题有多种求解方法，大体 可分为以下几种：
（1）直接求解法： 直接积分法、分离变量 法、格林函数法等。
（2）间接求解法： 复变函数法、镜像法等。
（3）数值计算法： 有限差分法、有限元法、 矩量法等。
唯一性定理：
不管用什么方法，可以如上任何 一种方法，也可以依靠判断猜出解答， 只要在给定区域内满足所要求解的微 分方程，并满足给定的全部边界条件， 那么这个解答就是静态场的唯一解答。
解:
给定的边界条件为
例3.3.2 两块完全相同的T形导体构成导 体槽，两块T形导体间有一狭缝，如图 3.3.2(a)所示。上板所加的电压为U0，下板 接地。求金属槽内的电位分布。
图3.3.2 例3.3.2图
解： 本题所给的场可以分解为两个场的叠加，分解 后的两个场如图3.3.2(b)(c)所示。槽内的电位分别 为x、y的函数，是一个二维场问题。 分解后第一个场是两个距离为d的无穷大的平行板， 上板电压为U0，下板接地，其解为