全国数学建模D题优秀论文

摘要
“天然肠衣搭配问题”数学建模的目的是设计一种最优方案，使得给定一批原材按照一定的组装要求装出成品捆数最多。

本题中需要考虑到该如何降级使用每段剩余原材料，如何在给定的误差范围内将误差降至最低，以及如何把组装成品的时间限制在30分钟内，并且所用时间尽可能的越短越好，从而得出成品最多捆数。

问题一：把给定的表2原料描述表中的一批原材料，根据表1成品规格表中的规格要求进行分段组装，再结合搭配方案具体要求（3）、（4），考虑到将误差降至最低，将剩余材料降级使用，尽可能的减少原材料的浪费。

因此我们考虑从第三段即长度为14—25.5米的材料开始分段组装，按整数线性规划化得出模型，利用LINGO软件求出第三段中原材料最多能组装出的成品捆数。

然后将第三段中剩余的原材料降级为第二段即长度为7—13.5米的材料与原有的第二段原材料进行组装，按整数线性规划得出模型，利用LINGO软件求出第二段中原材料最多能组装的成品捆数。

接着将第二段中剩余的原材料降级为第一段即长度为3—6.5米的材料与原有的第一段原材料进行组装，按整数线性规划得出模型，利用LINGO软件求出第一段中原材料最多能组装的成品捆数。

最后将所有的剩余原材料在进行组装得出最多捆数。

将以上四个最优解相加，即得出本题中最优解，此方案即为最优方案。

问题二：在成品捆数相同的方案中，要选出最短长度最长的成品最多的方案即是本题中的最优方案。

将最短长度最长的成品作为目标函数，建立整数线性规划模型，利用C++编程软件求出最优解，最终得出最优方案。

关键字：捆数最多搭配方案整数线性规划模型LINGO软件C++编程软件
一、问题的重述
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。

肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。

传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。

表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1 成品规格表
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。

表2为某批次原料描述。

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。

公司对搭配方案有以下具体要求：
(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
(3) 为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。

如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；
(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据
进行求解，给出搭配方案。

二、 符号说明
w
肠衣的总捆数
i w
第i 种规格生产的总捆数i =1,2,3 i s 第i 种规格肠衣的总长度i =1,2,3
i a 1…8种材料中第i 种材料的根数，i =1,2,3．．．．．8 i b 9…22种材料中第8+i 种材料的根数，i =1,10,11．．．．．14 i c
23—42种材料中第22+i 种材料的根数, i =1,2，3．．．．．20 i m
i b 降级使用的原料的根数, i =1,2,3．．．．．14 i n
对应降级使用的原料根数,i =1,2,3．．．．．8 h
所有肠衣的总长度 P
天然肠衣的使用率（p =原料肠衣的总长度
使用了的肠衣的长度
）
三、模型假设
1.假设总根数允许比标准少1根指每一捆种的根数允许比标准少1根
2.假设天然肠衣不会因其他因素损害且每根都可以用，
3.假设我们的方案都是在30分钟内完成
4.假设降级使用是指降一级使用
5.假设长度不一致不影响捆绑结果
四问题分析
针对问题一，由于它要使装出的成品捆数越多越好，我们就考虑到把给定的这批原料最大限度的利用，减少浪费。

针对问题二，由于是针对成品捆数相同的方案，首先我们找出捆数相同的几个方案，再从中选取最短长度最长的成品最多的方案，取为最优方案。

针对问题三，为了提高原料使用率，降低模型误差，它允许有正负0.5的误差，所以总长度就考虑到88.5—89.5米这个范围内，再由于总根数允许比标准少一根，所以我们就考虑成每种方案每捆的总根数允许比标准少一根。

针对问题四，考虑到材料会出现剩余，我们要最大限度的利用原材料，所以考虑一级的降级使用。

针对问题五，考虑到天然肠衣有一定的保质期，且要提高生产效率，所以我们的所有方案都在30分钟内完成，方案中尽量考虑所用时间越少越好。

综上五个问题所述，我们打算将所给定的这批原料按照表1成品规格表中的要求进行分段，从第三段开始倒推回到第一段。

每段剩余材料降一级使用且考虑到所有误差，最终得出最优方案。

五.模型的建立与求解
5.1 方案一
只考虑搭配方案中具体要求的第一个：对于给定的一批原材料，装出的成品捆数越多越好。

在此不考虑其它四个条件的影响，我们就将表2原料描述表中的所有原料按照表1成品规格表中划分标准分为三段，分别为3—6.5米、7—13.5米、14—25.5米。

再运用整数规划模型分别求出这三段每一段中可以装出的成品捆数的最大值分别为W1、W2、W3，这批原料装出的成品捆数的最大值W=W1+W2+W3 5.1.1 规格一
天然肠衣长度范围为3—6.5米中，建立整数规划模型求解成品最多捆数W1，模型如下：
max=W1;
s1=3*a1+3.5*a2+4*a3+4.5*a4+5*a5+5.5*a6+6*a7+6.5*a8;20*W1=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8;s1=89*W1;a1<=43;a2<=59;a3<=39;a4<=41;a5<=27;a6<=28;a7<=34;a8<=21;@gin(a1);@gin(a2);@gin(a3);@gin(a4);@gin(a5);@gin(a6);@gin(a7);@gin(a8);@gin(W1);
⎧⎪⎪
⎪⎪
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⎨⎪⎪
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⎪⎪
⎪⎪⎩
利用LINGO 软件运算得出在规格为3—6.5米中成品捆数最多W1=14（捆）（见附录1）
5.1.2规格二
天然肠衣长度范围为7—13.5米中，建立整数规划模型求解成品最多捆数W2，模型如下：
max=W2;
s2=7*b1+7.5*b2+8*b3+8.5*b4+9*b5+9.5*b6+10*b7+10.5*b8+11*b9+11.5*b10+12*b11+12.5*b12+13*b13+13.5*b14;s2=89*W2;8*W2=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+b9+b10+b11+b12+b13+b14;
b1<=24; b2<=24; b3<=20; b4<=25; b5<=21; b6<=23; b7<=21;b8<=18; b9<=31; b10<=23; b11<=22; b12<=59; b13<=18; b14<=25;@gin(b1);@gin(b2);@gin(b3);@gin(b4);@gin(b5);@gin(b6);@gin(b7);@gin(b8);@gin(b9);@gin(b10);@gin(b11);@gin(b12);@gin(b13);@gin(b14);@gin(W2);
⎧⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩
利用LINGO 软件运算得出在规格为7—13.5米中成品捆数最多W2=36（捆）（见附录2）
5.1.3规格三
天然肠衣长度范围为14—25.5米，建立整数规划模型求解成品最多捆数为 W3,模型如下：
max=W3;
s3=14*c1+14.5*c2+15*c3+15.5*c4+16*c5+16.5*c6+17*c7+17.5*c8+18*c9+18.5*c10+19*c11+19.5*c12+20*c13+20.5*c14+21*c15+21.5*c16+22*c17+22.5*c18+23.5*c19+25.5*c20;s3=89*W3;5*W3=c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10+c11+c12+c13+c14+c15+c16+c17+c18+c19+c20;c1<=35; c2<=29; c3<=30; c4<=42; c5<=28; c6<=42; c7<=45; c8<=49; c9<=50; c10<=64; c11<=52; c12<=63; c13<=49;c14<=35; c15<=27; c16<=16; c17<=12; c18<=2; c19<=6; c20<=1;@gin(c1);@gin(c2);@gin(c3);@gin(c4);@gin(c5);@gin(c6);@gin(c7);@gin(c8);@gin(c9);@gin(c10);@gin(c11);@gin(c12);@gin(c13);@gin(c14);@gin(c15);@gin(c16);@gin(c17);@gin(c18);@gin(c19);@gin(c20);@gin(W3);
⎧⎪⎪
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⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩ 利用LINGO 软件运算得出在规格为14—25.5米中成品捆数最多W3=130（捆）（见附3）
综上所述：方案一中将这批规定的原料按照表1成品规格表进行组装，可装成成 品最多捆数W=W1+W2+W3=14+36+130=180（捆）
5.2方案二
总体考虑：将这批原材料进行总体分配组装，并考虑要求（1）、（3）、（4） 建立整数规划模型求解成品最多捆数W ，模型如下：
max=w1+w2+w3;
89*(w1+w2+w3)=3*a1+3.5*a2+4*a3+4.5*a4+5*a5+5.5*a6+6*a7+6.5*a8+7*b1+7.5*b2+8*b3+8.5*b4+9*b5+9.5*b6+10*b7+10.5*b8+11*b9+11.5*b10+12*b11+12.5*b12+13*b13+13.5*b14+14*c1+14.5*c2+15*c3+15.5*c4+16*c5+16.5*c6+17*c7+17.5*c8+18*c9+18.5*c10+19*c11+19.5*c12+20*c13+20.5*c14+21*c15+21.5*c16+22*c17+22.5*c18+23.5*c19++25.5*c20;20*w1=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8;8*w2=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+b9+b10+b11+b12+b13+b14;
5*w3=c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10+c11+c12+c13+c14+c15+c16+c17+c18+c19+c20;a1<=43; a2<=59; a3<=39; a4<=41; a5<=27; a6<=28; a7<=34; a8<=21;b1<=24; b2<=24; b3<=20; b4<=25; b5<=21; b6<=23; b7<=21; b8<=18;b9<=31; b10<=23; b11<=22; b12<=59; b13<=18; b14<=25;
c1<=35; c2<=29; c3<=30; c4<=42; c5<=28; c6<=42; c7<=45; c8<=49;c9<=50; c10<=64; c11<=52; c12<=63; c13<=49; c14<=35; c15<=27;c16<=16; c17<=12; c18<=2; c19<=6; c20<=1;
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⎩
利用LINGO 软件运算得出将这批规定的原料按照表1成品规格表进行组装，可装成成品最多捆数W=190（捆）（见附录4）
5.3方案三
考虑搭配方案中具体要求的（1）、（3）、（4），不考虑其它因素的影响。

将要求（3）、（4）作为约束条件，建立整数规划模型来解决要求（1），由于原料出现剩余，可以降级使用，所以先从第三段14—25.5米入手，建立整数规划模型求出这段中可以装出的成品捆数的最大值W3,再将剩余的原材料降级到第二段7—13.5米中使用，同样建立整数规划模型求出这段中可以装出的成品捆数的最大值W2，在经过这两步运算后，再将所有剩余的原材料降级到第一段3—6.5米中使用，同样建立整数规划模型求出装出的成品捆数的最大值W1，最后将最终剩余的原材料经过一定的分配成捆，经验证得到捆数W4=0，这批总的原材料装出的成品捆数的最大值W=W1+W2+W3. 5.3.1 规格一
天然肠衣长度范围为3—6.5米中，建立整数规划模型求解成品最多捆数 W1，模型如下：
max=W1;
s1=3*a1+3.5*a2+4*a3+4.5*a4+5*a5+5.5*a6+6*a7+6.5*a8;88.5*W1<=s1;s1<=89.5*W1;
19*W1<=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8;a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8<=20*W1;a1<=43+n1; a2<=59+n2; a3<=39+n3; a4<=41+n4;
a5<=27+n5; a6<=28+n6; a7<=34+n7; a8<=21+n8;n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7+n8=60;
@gin(a1);@gin(a2);@gin(a3);@gin(a4);@gin(a5);@gin(a6);@gin(a7);@gin(a8);@gin(W1);@gin(n1);@gin(n2);@gin(n3);@gin(n4);@gin(n5);@gin(n6);@gin(n7);@gin(n8);
⎧⎪⎪
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⎨⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩ 利用LINGO 软件运算得出在规格为3—6.5米中成品捆数最多W1=18（捆）（见附录5）
5.3.2规格二
天然肠衣长度范围为7—13.5米中，建立整数规划模型求解成品最多捆数W2，模型如下：
max=W2;
s2=7*b1+7.5*b2+8*b3+8.5*b4+9*b5+9.5*b6+10*b7+10.5*b8+11*b9+11.5*b10+12*b11+12.5*b12+13*b13+13.5*b14;88.5*W2<=s2;s2<=89.5*W2;7*W2<=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+b9+b10+b11+b12+b13+b14;b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+b9+b10+b11+b12+b13+b14<=8*W2;b1<=24+m1; b2<=24+m2; b3<=20+m3; b4<=25+m4; b5<=21+m5;b6<=23+m6; b7<=21+m7; b8<=18+m8; b9<=31+m9; b10<=23+m10;b11<=22+m11; b12<=59+m12; b13<=18+m13; b14<=25+m14;m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7+m8+m9+m10+m11+m12+m13+m14=2;@gin(b1);@gin(b2);@gin(b3);@gin(b4);@gin(b5);@gin(b6);@gin(b7);@gin(b8);@gin(b9);@gin(b10);@gin(b11);@gin(b12);@gin(b13);@gin(b14);@gin(m1);@gin(m2);@gin(m3);@gin(m4);@gin(m5);@gin(m6);@gin(m7);@gin(m8);@gin(m9);@gin(m10);@gin(m11);
@gin(m12);@gin(m13);@gin(m14);@gin(W2);⎧⎪⎪
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利用LINGO 软件运算得出在规格为7—13.5米中成品捆数最多W2=37捆（见附录6）
5.3.3规格三
天然肠衣长度范围为14—25.5米中，建立整数规划模型求解成品最多捆 数W3，模型如下：
max=W3;
s3=14*c1+14.5*c2+15*c3+15.5*c4+16*c5+16.5*c6+17*c7+17.5*c8+18*c9+18.5*c10+19*c11+19.5*c12+20*c13+20.5*c14+21*c15+21.5*c16+22*c17+22.5*c18+23.5*c19+25.5*c20;88.5*W3<=s3;s3<=89.5*W3;
4*W3<=c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10+c11+c12+c13+c14+c15+c16+c17+c18+c19+c20;
c1+c2+c3+c4+c5+c6+c7+c8+c9+c10+c11+c12+c13+c14+c15+c16+c17+c18+c19+c20<=5*W3;
c1<=35; c2<=29; c3<=30; c4<=42; c5<=28; c6<=42; c7<=45;c8<=49; c9<=50; c10<=64; c11<=52; c12<=63; c13<=49; c14<=35;c15<=27; c16<=16; c17<=12; c18<=2; c19<=6; c20<=1;@gin(c1);@gin(c2);@gin(c3);@gin(c4);@gin(c5);@gin(c6);@gin(c7);@gin(c8);@gin(c9);@gin(c10);@gin(c11);@gin(c12);@gin(c13);@gin(c14);@gin(c15);@gin(c16);@gin(c17);@gin(c18);@gin(c19);
@gin(c20);@gin(W3);⎧⎪⎪
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利用LINGO 软件运算得出在规格为14—25.5米中成品捆数最多W3=137捆（见附录7）
综上所述：方案三中将这批规定的原料按照表1成品规格表进行组装，可装成成品最多捆数W=W1+W2+W3=18+37+137=192捆。

三种方案最终总捆数对照表
六、模型结果分析与推广
本道题目主要是为了设计一个原料搭配方案，使得给定的一批原材料可以最大限度的利用组装为成品捆数最多。

根据题中对方案的具体要求以及表1成品规格表，表2原料描述表，我们给定了三个不同的搭配方案，现将这三种方案的结果做一个分析。

方案一：我们根据表1成品规格表的分段要求将表2中给定的一批原材料进行分段，这样减少了规格的种数，然而我们在分组装成品捆数时，只在每一段给定对应的材料中进行组装，使每一段规格中的成品捆数最多，最终达到组装成品捆数最多，却忽略了每一段中都会有原材料的剩余，这样只考虑要求中的（1），使得最终结果误差较大，而且原料浪费过多，并不是我们所需要的最优方案。

方案二：我们考虑了要求中的（1）、（3）、（4），这样做可以减少方案中的误差以及材料的浪费，然而本方案中利用的是将46种规格的材料作为整体考虑进行组装，得出最终成品捆数最多。

但是本方案中是整体考虑，并没有最大限度的利用剩余材料，所以也不能达到方案最优。

方案三：综合了方案一、方案二中的优点，克服了两个方案中的不足，将给定的原料按照表1规格进行分段组装，先从第三段开始组装，再将剩余的材料降一级使用，最大限度的利用原材料，同理，第二段分配组装后将剩余材料降一级到第一段中使用，这样最大限度的利用了原材料，并且考虑了要求（1）、（3）、（4），最大可能的减少了模型的误差，这样所得到的结果才是最优解，得到的成品捆数最多。

综上所述，我们选择方案三为最佳方案。

推广：本题中三种模型我们都采用的是将剩余材料降一级使用，此模型也可以推广为将剩余材料降两级使用。

附录1
附录2
附录4
附录5。