高考文科数学考前培优练习推理与证明

1.6推理与证明
高考命题规律
1.补充性考题,主要考查合情推理与演绎推理的应用.
2.填空题或选择题,5分,中档难度.
3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.
命题角度1合情推理与演绎推理高考真题体验·对方向
1.(2019全国Ⅱ·5)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高.
乙:丙的成绩比我和甲的都高.
丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为() A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
,则乙、丙预测错误,即甲的成绩比乙高,丙的成绩比乙低,故三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意.若丙预测正确,则甲预测错误,即丙的成绩比乙高,乙的成绩比甲高,即丙的成绩比甲、乙都高,即乙的预测也正确,不合题意,故选A . 2.(2017北京·14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (ⅰ)男学生人数多于女学生人数; (ⅱ)女学生人数多于教师人数; (ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为
.
6 ②
12
x ,女学生人数为y ,教师人数为z ,
则x ,y ,z 都是正整数,且{
x >y ,
y >z ,
2z >x ,x ,y ,z ∈N *,
即2z>x>y>z ,x ,y ,z ∈N *.
①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y 的最大值为6,故女学生人数的最大值为6. ②由题意知2z>x>y>z ,x ,y ,z ∈N *.
当z=1时,2>x>y>1,x ,y 不存在; 当z=2时,4>x>y>2,x ,y 不存在;
当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最少,最小值为5+4+3=12.
3.(2016全国Ⅱ·16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
和3
,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.
综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”. 4.(2016山东·12)观察下列等式:
(sin π3)
-2+(sin 2π3)
-2
=4
3×1×2;
(sin π5)-2+(sin 2π5)
-2
+(sin 3π5)
-2
+(sin 4π5)
-2
=4
3×2×3;
(sin π7)-2+(sin 2π7)
-2
+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7
)
-2
=43
×3×4;
(sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2
=4
3×4×5; ……
照此规律:(sin π
2n+1)-2
+(sin 2π
2n+1)-2
+(sin 3π
2n+1)-2
+…+(sin 2nπ2n+1)-2
= .
(n+1)
,等式右边共三个数相乘,第一个数都是4
3;
而所给等式就是第n 个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n ; 第三个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.
所以第n个式子等号右边为4
3
n(n+1).
典题演练提能·刷高分
1.(2019四川成都高三模拟)某校有A,B,C,D四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.
甲说:“A,B同时获奖.”
乙说:“B,D不可能同时获奖.”
丙说:“C获奖.”
丁说:“A,C至少一件获奖.”
如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的,则获奖的作品是()
A.作品A与作品B
B.作品B与作品C
C.作品C与作品D
D.作品A与作品D
,丁预测的是正确的,甲,丙预测的是错误的;丙预测错误,∴C不获奖;丁预测正确,A,C至少一件获奖,∴A获奖;甲预测错误,即A,B不同时获奖,∴B不获奖;∴D获奖.即获奖的作品是作品A 与作品D.故选D.
2.(2019重庆巴蜀中学高三模拟)某演绎推理的“三段”分解如下:
①函数f(x)=lg x是对数函数;②对数函数y=log a x(a>1)是增函数;③函数f(x)=lg x是增函数,则按照演绎推理的三段论模式,排序正确的是()
A.①→②→③
B.③→②→①
C.②→①→③
D.②→③→①
函数f(x)=lg x是对数函数;②对数函数y=log a x(a>1)是增函数;③函数f(x)=lg x是增函数,大前提是②,小前提是①,结论是③.故排列的次序应为:②→①→③,故选C.
3.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标O,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则标签2 0172的格点的坐标为()
A.(2 017,2 016)
B.(2 016,2 015)
C.(1 009,1 008)
D.(1 008,1 007)
,由O(记为第0圈)开始,第n圈的正方形右上角标签为(2n+1)2-1,坐标为(n,n),所以标签为2 0172的数字是标签为2 0172-1的右边一格,标签为2 0172-1的坐标为(1 008,1 008),所以标签为2 0172的为(1 009,1 008),故选C.
4.有下列各式:1+1
2+1
3
>1,1+1
2
+1
3
+…+1
7
>3
2
,1+1
2
+1
3
+…+1
15
>2,…,则按此规律可猜想此类不等式的一
般形式为.
+1 2+1
3
+…+1
2n+1-1
>n+1
2
(n∈N*)
观察各式左边为1n
的和的形式,项数分别为3,7,15,…,∴可猜想第n 个式子中左边应有2n+1-1项,不等式右边分别写成22,32,42,…,∴猜想第n 个式子中右边应为n+1
2
,按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:1+1
2+1
3+…+1
2n+1
-1
>n+1
2(n ∈N *).
5.甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委的大,甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小.据此推断班长是 .
根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙年龄小”可得丙是体委;(2)根据“丙的年龄比学委的大,体委比乙年龄小”可得:乙的年龄>丙的年龄>学习委员的年龄,由此可得,乙不是学习委员,那么乙是班长.
6.(2019陕西榆林高三一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A (-2,3)且法向量为n =(4,-1)的直线(点法式)方程为4×(x+2)+(-1)×(y-3)=0,化简得4x-y+11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点B (2,3,4)且法向量为m =(-1,-2,1)的平面(点法式)方程为 .
2y-z-4=0
,利用空间向量的数量积可得(-1)(x-2)+(-2)(y-3)+1×(z-4)=0,
化简得x+2y-z-4=0. 故答案为:x+2y-z-4=0.
命题角度2直接证明与间接证明
高考真题体验·对方向
(2014山东·4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设
是( )
A.方程x 3+ax+b=0没有实根
B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根
,所以要做的假设是方程x 3+ax+b=0没有实根.
典题演练提能·刷高分
1.设m ,n ,t 都是正数,则m+4
n ,n+4
t ,t+4
m 三个数( ) A.都大于4
B.都小于4
C.至少有一个大于4
D.至少有一个不小于4
,令m=n=t=2,则三个数为4,4,4,排除A,B,C 选项,故选D .
2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a ,b ,c 中恰有一个是偶数”的正确假设为( ) A.自然数a ,b ,c 中至少有两个偶数
B.自然数a ,b ,c 中至少有两个偶数或都是奇数
C.自然数a ,b ,c 都是奇数
D.自然数a ,b ,c 都是偶数
自然数a ,b ,c 中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a ,b ,c 均为奇数或自然数a ,b ,c 中至少有两个偶数”.故选B .
3.①已知p 3+q 3=2,求证p+q ≤2,用反证法证明时,可假设p+q>2;②设a 为实数,f (x )=x 2+ax+a ,求证|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于1
2,用反证法证明时可假设|f (1)|≥1
2,且|f (2)|≥1
2,以下说法正确的是( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确,②的假设错误
D.①的假设错误,②的假设正确
用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q ≤2的假命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于1
2的否定为|f (1)|与|f (2)|中都小于1
2,故②的假设错误,故选C .。