教师资格证考试全国统考高中数学模拟试卷二(含答案)

中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力模拟卷（二）（高级中学）
考试时间：120分钟
满分：150分
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．设1234(,,,)=A αααα是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组=Ax 0的一个基础解系，则*=A x 0的基础解系可为（
）．
A ．13
,ααB ．12
,ααC ．123
,,αααD ．234
,,ααα2．方程
y
x
dx dy =的解是（）．
A ．c
x y +=B ．c
y x =+22C ．c x y =-22D ．c y x =+
2
2
13．若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，
1
n
n b
∞
=∑发散，则（）．
A ．
1
n n
n a b
∞
=∑必发散B ．
2
1
n
n a
∞
=∑必收敛C ．
21
n
n b
∞
=∑必收敛D ．
1
()n
n n a
b ∞
=+∑必发散
4．过点)2,1,1(-M 且垂直于平面π：05432=-+-z y x 的直线方程为（）．
A ．
42
z 31y 21x -=-+=-B ．
42
z 31y 21x -=+=-C ．4
2
z 31y 21x +=-+=-D ．
4
2
z 31y 21x -=-+=+5．函数的零点的个数为（
）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．将5名学生分到,,A B C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（
）．
A ．18种
B ．36种
C ．48种
D ．60种7．假设n （n ≥2）阶矩阵A 为非奇异矩阵，则下列等式正确的是（）．
A ．2
()n A A
A -**=⋅
B ．1
()n A A
A
-**=⋅
C ．1
()n A A
A +**=⋅D ．2
()n A A
A
+**=⋅8．从整个数学教学的宏观来看，数学教学有五大类难点，它们包括：利用方程解应用题，代数到几何的过渡，常量数学到变量数学的过渡，有限到无限的过渡以及（
）．
A ．换元法
B ．数字化
C ．必然到或然的过渡
D ．函数的概念
二、简答题（本大题共5题，每小题7分，共35分）
9．判别级数
111
......1335(21)(21)
n n ++++∙∙-∙+的收敛性，如果收敛，求其和．10．设123,,ααα线性无关，证明122331,,αααααα+++也线性无关．
11．设随机变量X的概率分布为P{X＝1}＝P{X＝2}＝0．5，在给定x=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U（0，i）,（i=1,2）．问题：（1）求Y的分布函数F（y）（2）求EY
12．怎么理解学生主体地位和教师主导作用的关系，如何使学生成为学习的主体？
13．学生在学习数学过程中，会因为各种原因出现错误，教师应如何对待学生的数学错误．
三、解答题（本大题1小题10分）
14．《中小学数学课程标准》中提出，教师应成为学生活佛那个的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件，请结合教学实际，教师“组织”“引导”“合作”分别体现在哪些方面．
四、论述题（本大题1小题，15分）
15．人们常说：“一个好的开始就是成功的一半．”数字来源于生活又服务于生活，请你结合一个具体的案例说明创设生活化情景对数学课堂教学有何作用．
五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题
16．某学生在做题目求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点．的解题过程如下：设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为
⎩⎨⎧=+=x
y kx y 21
2
，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得.01)22(22=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，,0=∆∴解得∴=
.21k 所求直线为.12
1
+=x y （1）指出学生的错误之处（2）分析学生的错误原因（3）写出正确解法
六、教学设计题（本大题1小题，30分）
17．下列是普通高中课程标准实验教科书必修《数学》第四册（人教版）关于“简单的三角恒等变换”的部分教学内容，请阅读并据此回答问题．
例2．求证：（1）sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];
（2）sin sin 2sin
cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ
+-+=证明：（1）因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β将以上两式的左右两边分别相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β即sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
(2)有（1）可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2把α，β的值带入（1）即得
sin sin 2sin
cos
2
2
θϕ
θϕ
θϕ+-+=问题：（1）写出该部分教学内容的教学目标、重点和难点（2）写出该部分教学内容的教学应渗透的数学思想（3）对该内容设计教学过程简案（4）对例2（2）给出另一种证明
中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力模拟卷（二）（高级中学）
考试时间：120分钟
满分：150分
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．【答案】D ．解析：因为=Ax 0的基础解系含一个线性无关的解向量，所以()3,r =A 于是*()1r =A ，故*=A x 0的基础解系含有3个线性无关的解向量，排除A 、B ．又*||==A A A E 0，且()3,r =A 所以A 的列向量组中含有*=A x 0的基础解系，所以13+=αα0，故选D ．
2．【答案】C ．解析：方程为'yy x =，两边同时积分得22
2211,22
y x c y C =+-=即x ，正确选项为C ．
3．【答案】D ．解析：根据级数收敛的定义可知，D 选项为正确选项．
4．
【答案】A ．解析：因为所求直线与已知平面垂直，所以所求直线与已知平面的法向量平行．因此，取已知平面的法向量为所求直线的方向向量，即v =}
4,3,2{-．于是，所求直线的方程为
4
2
3121-=-+=-z y x ．5．【答案】D ．解析：画出函数的图象，观察图象与x 轴交点个数有3个，故选D ．
6．
【答案】D ．解析：第一步：先安排甲学生，他可以去B 或C 宿舍，共有2种安排方法；第二步：若甲在B 宿舍，B 宿舍可以不安排其他学生，那么其余4人平均安排在A 、C 宿舍有2
2
42C C ；B 宿舍也可再安排一个学生有1
4C 种，其余3人安排在A 、C 宿舍，其中一个1人、一个2人，有1
2
21
3231C C C C +种，所以共有1
1
2
2143231()C C C C C +．综上两步有：2211221
42432312[()]2[64(33)]60C C C C C C C ++=⨯+⨯+=种，
故选择D ．
7．【答案】A ．解析：2
1
1111,,()()n A A A A A A A A A A A A A
*--*-**---==⋅=⋅⋅=⋅．
8．
【答案】C ．解析：从整个数学教学的宏观来看，数学教学有五大类难点，它们包括：利方程解应用题，代数到几何的过渡，常量数学到变量数学的过渡，有限到无限的过渡以及必然到或然的过渡．
二、简答题（本大题共5题，每小题7分，共35分）
9．
【答案】解析：由于211
(21)(21)n n n ≤-∙+，而级数211n n
∞
=∑是收敛的，利用比较判别法即知111......1335(21)(21)
n n ++++∙∙-∙+是收敛的．10．
【答案】解析：设由线性关系112223331()()()0k k k αααααα+++++=，则131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=．
再由题设知123,,ααα线性无关，所以131223
00k k k k k k +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩，
解得1230k k k ===，所以122331,,αααααα+++线性无关．
11．【答案】（1）0,
0301
4
()11124212y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨
⎪+≤<⎪⎪≥⎩
；（2）78．解析：
()()(,1)(,2)
(/1)(1)(/2)(2)
F y P Y y P Y y X P Y y X P Y y X P X P Y y X P X =≤=≤=+≤==≤==+≤==1
[(/1)(/2)]2P Y y X P Y y X =≤=+≤=，当0y <时，()0F y =；当01y ≤<，1113()2224F y y y y =
+⨯=，当12y ≤<，11111
()22242
F y y y =+⨯=+；当2y ≥，()1F y =．所以0,03014
()11124212y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩
．
（2）'
3
,0141()(),124
0,y f y F y y ⎧<<⎪⎪
⎪==<<⎨⎪⎪⎪⎩
其他则，可知1201317()448E Y ydy ydy =+=⎰⎰．12．
【参考答案】好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一．一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展．
启发式教学是处理好学生主体地位和教师主导作用关系的有效途径．教师富有启发性的讲授，创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体．
13．
【参考答案】作为老师，我们应该正视学生在学习过程中出现的错误，立足于学生，和学生一起去探索、学习数学知识，真正发挥学生学习主体作用，要善于变“错”为宝，合理利用这些“错误”资源．首先要能够及时展现学生潜在的错误，并及时引导学生自查自纠，引导学生联系生活实际发现自己的问题，并且知道学生建立自己的错题集，争取以后少犯错．
三、解答题（本大题1小题10分）
14．【参考答案】教师的“组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动．
教师的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性．
教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果．
四、论述题（本大题1小题，15分）
15．【参考答案】学习的创造性来源于学生对问题的解决，在数学课堂教学中，适时地．合理地创设生活化的问题情境，设置适当的悬念，引导学生在教师创设的生活情境中不断地根据自己的生活经验进行探索．可以激发学生的学习兴趣，更有利于新知识的讲授以及理解．比如我们在七年级数学的“绝对值”这节的学习中．
我们可以通过具体的例子：星期天黄老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行20千米，到松下沙滩，下午她又向西行30千米，回到家中（学校．松下沙滩．家在同一直线上），如果规定向东为正，①用有理数表示黄老师两次所行的路程；②如果汽车每公里耗油0．15升，计算这天汽车共耗油多少升？
体现了数学知识与生活实际的紧密联系，让学生在这些熟悉的日常生活情境中获得数学体验，不仅加深对绝对值的理解，更感受到学习绝对值概念的必要性和激发学习的兴趣．避免了通过练习归纳出求
有理数的绝对值的规律，直接给出绝对值的概念，灌输知识，且太抽象，让学生不易接受，从而达到更好的学习效果．
五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题16．【参考答案】（1）此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为1+=kx y 时，没有考虑0=k 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的．
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况．原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透．
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0≠k 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密．
（2）高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略．改生没有考虑到直线存在的特殊情况以及相交只有一个交点时的特殊情况，均导致了题目解析错误，说明该生审题不认真，对于直线的表示形式没有理解透彻，也没有掌握一定的做题方法，如数形结合．
（3）①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22=相切．
②当所求直线斜率为零时，直线为y =1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22=只有一个交点．
③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ，则⎩⎨⎧=+=x y kx y 21
2，
∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=∆解得k =12，∴所求直线为.
121
+=x y 综上，满足条件的直线为：.
12
1
,0,1+===x y x y 六、教学设计题（本大题1小题，30分）17．【参考答案】（1）教学目标：
1、知识与技能：掌握三角恒等变换公式，能用三角恒等变换公式及二倍角公式正确解决简单
的三角恒等变换问题．
2、过程与方法：通过解决简单三角恒等变换问题，提升基础知识到实际运用的能力．
3、情感态度价值观：从问题的前后设置，感受数学知识运用的联系，体会逆向使用公式的思
想，提高推理能力，激发数学学习的兴趣．
教学重难点：
1、教学重点：运用三角恒等变换公式解决简单的三角恒等变换问题．
2、教学难点：运用三角恒等变换公式以及倍角公式正确解决简单的三角恒等变换问题．
（2）转化思想、类比思想
（3）教学过程：
一、复习引入：复习三角函数和差公式以及倍角公式
二、探索新知：问题：思考α与2α的关系．尝试用cos α表示222sin ,cos ,tan 222
α
α
α总结出：222sin ,cos ,tan 222
α
α
α
三、课堂练习：求证：（1）sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];
（2）sin sin 2sin cos 22
θϕ
θϕ
θϕ+-+=证明：（1）因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
将以上两式的左右两边分别相加得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β
即sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
（2）有（1）可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β
设α+β=θ，α-β=φ
那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α，β的值带入（1）即得
sin sin 2sin cos 22
θϕ
θϕ
θϕ+-+=四、小结作业：1、本节课所学到那些公式，与之前的公式有何关系？
2、作业：思考：代数式变换与三角变换有何不同？（4）2sin cos 2sin cos cos sin cos cos sin sin 2222222222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭22222sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin 222222222222θθϕϕϕθθθϕϕϕθ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭2sin cos 2sin cos sin sin 2222θθϕϕθϕ=+=+。