河南省许昌市长葛第一高级中学2021年高一数学理期末试题含解析

河南省许昌市长葛第一高级中学2021年高一数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
参考答案：
C
2. 的正弦值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
3. 若定义在R上的偶函数满足，且时,，则函数
的零点个数是( )
A. 6个
B. 8个
C. 2个
D. 4个
参考答案：
D
【分析】
先根据奇偶性和周期性作出f(x)在R上的图象，再在同一个坐标系中作出的图象，根据两图像交点个数即可得出h(x)的零点个数。

【详解】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），
∴满足f（x+2）＝f（x），
故函数的周期为2．
当x∈[0，1]时，f（x）＝x，
故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝-x．
函数h(x)＝f（x）﹣的零点的个数等于函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象的交点个数．
在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象，如图所示：
显然函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象有4个交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想．
4. 下列直线中，与直线平行的是（）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
C
【分析】
根据两条直线存在斜率时，它们的斜率相等且在纵轴上的截距不相等，两直线平行，逐一对四个选项进行判断.
【详解】直线的斜率为，在纵轴上的截距为.
选项A:直线的斜率为，显然不与直线平行；
选项B:直线的斜率为，显然不与直线平行；
选项C:直线的斜率为，在纵轴上的截距为，故与与直线平行；
选项D:直线的斜率为，显然不与直线平行，故本题选
C.
【点睛】本题考查了当两条存在斜率时，两直线平行的条件，根据一般式求出直线的斜率和在纵轴上的截距是解题的关键.
5. 某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．按照分层抽样方法抽取样本，则从O型血、A型血、B型血、AB型血的人中分别抽（）人
A．2,5,5,8 B．2,4,5,8 C．8,5,5,2 D．4,5,5,2
参考答案：
C
6. 过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）
A．x+y=5 B．x﹣y=5
C．x+y=5或x﹣4y=0 D．x﹣y=5或x+4y=0
参考答案：
C
【考点】直线的截距式方程．
【分析】当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（4，1）代入方程求得a值．
【解答】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是 y= x．
当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（4，1）代入方程得 a=5，
直线的方程是 x+y=5．
综上，所求直线的方程为 y= x 或 x+y=5．
故选 C．
【点评】本题考查用点斜式、截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．
7. 函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．
参考答案：
D 【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．
【专题】分类讨论；转化思想；分类法；导数的综合应用．
【分析】若函数是R上的减函数，则，解得实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数是R上的减函数，
∴，
解得：a∈，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．
8. 函数的定义域为，值域为，则点表示的图形可以是
( ▲ )
参考答案：
B
略
9. 已知为等差数列，若，则（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
10. 已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，设数列{a n}的前n项和为S n，则S2017=（）
A．﹣586 B．﹣588 C．﹣590 D．﹣504
参考答案：
A
【考点】8E：数列的求和．
【分析】a1=2，?，，，…可得数列{a n}是周期为4的周期数列，即可求解．
【解答】解：∵a1=2，，∴，，，
…可得数列{a n}是周期为4的周期数列．
S2017=，
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程sinx–cosx–m=0在x∈[0, π]时有解，则实数m 的取值范围是
参考答案：
略12. 在空间直角坐标系中，点
A（﹣1，2，0）和点B（3，﹣2，2）的距离为．
参考答案：
6
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．
【分析】利用两点间距离公式求解．
【解答】解：点A（﹣1，2，0）和点B（3，﹣2，2）的距离为：
d==6．
故答案为：6．
【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
13. 函数的图象过定点
参考答案：
（-2，0）
14. 设全集,集合，,那么
等于．
参考答案：
15. 求函数的定义域．
参考答案：
[2，3）∪（3，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】该函数的定义域是需要根式和含0次幂项都有意义的x的取值构成的集合．
【解答】解：要使原函数有意义，则需解得：x≥2，且x≠3，
所以原函数的定义域为[2，3）∪（3，+∞）．
故答案为[2，3）∪（3，+∞）．
16. 已知实数满足则的取值范围是____________.
参考答案：
[-5，7]；
17. 若表示不超过的最大整数（如等等）则
＝______．
参考答案：
2010
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分10分）在中，，为线段BC的垂直平分线，与BC交与点D，E为上异于D的任意一点，
（1）求的值。

（2）判断的值是否为一个常数，并说明理由。

参考答案：
解法1：（1）因为又可知
由已知可得，，
=…………5分
（2）的值为一个常数
L为L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
故=……10分
解法2：（1）以D点为原点，BC所在直线为X轴，L所在直线为Y轴建立直角坐标系，可求A （），此时，
……5分（2）设E点坐标为（0，y）(y0),此时
此时为常数。

……10分
19. （本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点.
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)四棱柱ABCD–A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小.
参考答案：
解：（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，
∴，而面，面，
∴平面.………………6分
（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面积为，
∴四棱柱的外接球的半径，
设，则，解得，
在直四棱柱中，∵平面，平面，∴，在中，，
∴，
∴异面直线与所成的角为.………………12分
20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，，Q是AD的中点，，
，，
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求直线PC与平面PAD所成角的正切值
参考答案：
（1）见证明；（2）
【分析】
（1）先证明四边形为平行四边形，根据已知条件证明，进而证明面，最后得出面面垂直。

（2）根据面面垂直，证明面，得出为直线与平面所成角，最后求解。

【详解】（1）
连接，，，是的中点
四边形是平行四边形
又
，
，
面，面
面，面
面面
（2）由（1）知平面平面
又平面平面
，平面
平面
则为直线与平面所成的角
在中，
【点睛】本题考查线线垂直证明线面垂直再得面面垂直，在使用面面垂直的性质定理时，首先找交线，再找线线垂直，最后得出线面垂直。

，计算线面角，先利用线面垂直证明线面角，再计算。

21. 已知函数=(2≤≤4)
（1）令,求y关于t的函数关系式,t的范围.
（2）求该函数的值域.
参考答案：
解：（1）y =（（
=-
令，则
（2）当时，，或2时，
函数的值域是
22. 已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f （xy ）=f （x ）+f （y ），f （2）=1． （1）求证：f （8）=3．
（2）求不等式f （x ）﹣f （x ﹣2）＞3的解集．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用． 【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知利用赋值法及已知f （2）=1可求证明f （8）
（2）原不等式可化为f （x ）＞f （8x ﹣16），结合f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数可求 【解答】证明：（1）由题意可得f （8）=f （4×2）=f （4）+f （2）=f （2×2）+f （2）=3f （2）=3 解：（2）原不等式可化为f （x ）＞f （x ﹣2）+3=f （x ﹣2）+f （8）=f （8x ﹣16） ∵f（x ）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴ 解得：
【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值及利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是熟练应用函数的性质。