湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期开学考试(暑假作业检测)数学试题(含解析)

4
4 5
；
因为
0,
4
，所以
4
4
,
2
，
又
sin
5 4
sin
4
sin
4
12 13
，所以
sin
4
12 ， 13
所以
cos
4
1
sin2
4
5 13
，
又
4
4
所以
sin
sin
4
4
sin
4
cos
4
cos
4
sin
A. 1，1
B. 1， 1
C. 1，1
D. 1， 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数 乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.
【详解】由 (1 ai)(2 i) b 3i ，得 2 i 2ai ai2 b 3i ，得 2 a (1 2a)i b 3i ，
的 2ab, a1,
9. 已知 m, n 是两条不重合的直线，, 是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A. 若 m / / ， m / / ， n// ， n// ，则 //
B. 若 m n ， m / / ， n ，则
C. 若 m n ， m ， n ，则
D. 若 m//n ， m ， n ，则 //
上单调递减，所以
f (x)
f (0) 0 ，
可知 sin
x
x
对任意的
x
0,
π 2Leabharlann 恒成立，可得 sin2 21
2 ，即 b 21
a
；
对于
a
，c
，由
2
11 10
1
2
，
c
a
ln
11
2
11 10
1
.
11 1 21
10 11 1
10
10
令 h(x)
ln
x
2(x 1) x 1
，
x
1，则 h(x)
则有| MN | [1 (4)]2 (2 6)2 5 r r，即圆 M 与圆 N 外离，B 不正确.
对于 C，点 (1,1) 在圆 M 外，则过点 (1,1) 可以作两条直线与圆 M 相切，C 正确；
对于
D，圆心
M
(1, 2) 到直线
4x
3y
5
0
的距离
d
|
4 (1) 3 2 42 (3)2
长郡中学 2024 届高三暑假作业检测试卷
数学
本试卷共 8 页.时量 120 分钟.满分 150 分.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 A x 1 x 2， B 1, 0,1, 2，则 A B （ ）
的是（ ）
A.
x13 f x2 x23 f x1
B. e3x1 f ex1 0
C. 不存在 x1, x2 ，使得 x16 f x12 x26 f x22
D.
存在
x1 ,
x2
，使得
x13 x23
f
x1 x2
f (1)
【答案】BD
【解析】
【分析】设 g(x) x3 f (x) ，根据题意求得 g(x) 0 在 R 上恒成立，得到 g(x) 在 R 上单调递增，结合选项，
1 x
4 (x 1)2
(x 1)2 x(x 1)2
0，
则
h(x)
在
1,
上单调递增，所以
h
11 10
h(1)
0
，
即 c a 0 ，所以 c a .
综上所述： c a b .
故选：C.
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
在 C 中，若 m n ， m ， n ，则 与 相交或平行，故 C 错误；
在 D 中，若 m//n ， m ， n ，则由线面垂直，线线平行的性质可得 // ，故 D 正确.
故选：ABC.
10. 已知圆 M : x2 y2 2x 4y 1 0 ，以下四个结论正确的是（ ）
D.
65
【解析】
【分析】根据题意可知，
4
2
,
0
，
4
4
,
2
，再结合题意可得
sin
4
3 5
，
cos
4
5 13
，又
4
4
，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为
4
,
3 4
，所以
4
2
,
0
，
又
cos
4
3 5
，所以
sin
4
1
cos2
对于
C，
A
1 4
,1
，
B
4,
4
，则以
AB
为直径的圆的圆心为
17 8
,
3 2
，
半径 r 1 AB 1
2
2
4
1
2
4
4 12
25 8
，
所以，以
AB
为直径的圆的方程是
x
17 8
2
y
3
2
2
25 8
2
，
即
x
17 8
2
y
3
2
2
625 ，故 64
C
错误；
对于
D，因为
A
1 4
,1
【答案】C
【解析】
【分析】令
f
(
x)
sin
x
x
，x
0,
π 2
，利用导数判断其单调性，进而可得
b
a
；令
h(x)
nl
x
2( x1) x 1
，
x 1，利用导数判断其单调性，进而可得 c a .
【详解】令
f
(x)
sin
x
x，
x
0,
π 2
，则
f
(x)
cos
x 1
0，
则
f
(
x)
在
0,
π 2
3
A. 2
B. 2 2
C. 5
D. 2 5
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为
l，底面半径为
r，根据侧面展开图是圆心角为 2
3
，弧长为 2
的扇形，分别由
2 2 l ， 2 r 2 ，求解即可. 3
【详解】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，
则 2 2 l ，解得 l 3 ， 3
又 2 r 2 ，解得 r 1，
4
12 13
3 5
5 13
4 5
56 65
.
故选：B.
7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有 7 次投篮机会，投中一次得 1 分，不中得 0 分，若连续投中两次
则额外加 1 分，连续投中三次额外加 2 分，以此类推，连续投中七次额外加 6 分，假设该学生每次投中的概
率是
1 2
，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得
【详解】依题意，圆 M : (x 1)2 ( y 2)2 4 的圆心 M (1, 2) ，半径 r 2 ，
对于 A，点 A(1, 2) 在圆 M 上，圆心 M 到直线 x 1距离为 1，
即过点 A(1, 2) 与圆 M 相切的直线方程为 x 1，A 正确；
对于 B，圆 N : (x 4)2 ( y 6)2 1的圆心 N(4, 6) ，半径 r 1，
B. b 4
C.
以
AB
为直径的圆的方程是
x
17 8
2
x
3 2 2
25 8
D. A 、 F 、 B 三点共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点 A 的坐标代入抛物线 C 的方程，结合 a 0 ，求出 a 的值，可判断 A 选项；将点 B 的坐标代入 抛物线 C 的方程，结合 b 0 求出 b 的值，可判断 B 选项；求出以 AB 为直径的圆的方程，可判断 C 选项；
）
【详解】对于 x2 y2 1, a2 16,b2 20,c2 a2 b2 36, a 4, c 6 ， 16 20
PF1 9 a c ，所以 P 点在双曲线的左支，则有 PF2 PF1 2a 8, PF2 17 ；
故选：B. 4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一 1002 人， 高二 1002 人，高三 1503 人中抽取 126 人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽 取的人数为（ ）
7
分的概率是（
）
9
A.
128
5
B.
64
11
C.
128
3
D.
32
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分为连中 4 次，额外加 3 分，剩余 3 次不中、连中 3 次，额外加 2 分，剩余 4 次，两次 投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互
斥事件的概率加法公式，即可求解.
C13
1 2
5
1
1 2 2
3 128
，
综上，该生在比赛中恰好得 7 分的概率为 1 3 3 5 . 32 128 128 64
故选：B.
8 设 a 2 ， b sin 2 ， c ln 11 ，则（ ）
21
21
10
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. b c a
所以 1 2a 3, 解得 b 1.
故选 A.
3. 设 P 双曲线 x2 y2 1上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ 16 20
A. 1
B. 17
C. 1 或 17
D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 P 点的位置，再根据双曲线的定义求解.
根据 kAF 、 kBF 的关系可判断 D 选项.
【详解】对于
A，因为
A
a 16
,1
在抛物线
C
上，所以 a2 16
1，又 a
0 ，解得 a
4，
所以，抛物线 C 的方程为 y2 4x ，故 A 正确；
对于 B，因为 B a,bb 0 在抛物线 C 上，所以 b2 a2 16 ，
又 b 0 ，解得 b 4 ，故 B 正确；
所以圆锥的高为 h l2 r2 2 2 ， 所以圆锥的轴截面的面积是 S 1 2r h 2 2 ，
2
故选：B
6.
已知
cos
4
3 5
，sin
5 4
12 13
，
4
,
3 4
，
0,
4
，则nsi
的值为（
）
A. 16 65
【答案】B
56
B.
65
C. 63 65
33
5
|
1，
则圆 M 上的点到直线 4x 3y 5 0 的距离的最大值为 d r 3，D 正确；
故选：ACD
11.
在平面直角坐标系 xOy 中，点 F
是抛物线 C : y2
ax
a
0
的焦点，两点
A
a 16
,1
、B
a,
b
b
0
在抛物线 C 上，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线 C 的方程为 y2 4x
A. 过点 A(1, 2) 与圆 M 相切的直线方程为 x 1
B. 圆 M 与圆 N : (x 4)2 ( y 6)2 1 相交
C. 过点 (1,1) 可以作两条直线与圆 M 相切
D. 圆 M 上的点到直线 4x 3y 5 0 的距离的最大值为 3
【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选 项进行分析，从而确定正确答案.
、
B
4,
4
、
F
1,
0
，
所以 kAF
1 0 1 1
4 3
，
kBF
4 0 4 1
4 3
，所以
k AF
kBF ，
4
所以 A ， F ， B 三点共线，故 D 正确.
故选：ABD.
12. 定义在 R 上的函数 f x 的导函数为 f (x) ，且 3 f (x) xf (x) 0 ，则对任意 x1 x2 ，下列结论成立
【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间中线面位置关系可判断.
【详解】由 m ， n 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，知：
在 A 中，若 m / / ， m / / ， n// ， n// ，则 与 相交或平行，故 A 错误；
在 B 中，若 m n ， m / / ， n ，则 与 相交或平行，故 B 错误；
A. 36 【答案】D 【解析】
B. 42
C. 50
D. 54
【分析】根据分层抽样，结合抽样比计算即可.
【详解】根据分层抽样的方法，抽样比为
126
6，
1002 1002 1503 167
高三年级被抽取的人数为1503 6 54 人. 167
故选：D.
5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 2 ，弧长为 2 的扇形，则该圆锥轴截面的面积 S （ ）
A. 1,0,1
B. 1,0
C. 0,1
D. 0,1, 2
【答案】D 【解析】 【分析】由集合交集运算可得.
【详解】 A B x 1 x 21,0,1, 2=0,1, 2，
故选：D
2. 已知 (1 ai)(2 i) b 3i （ i 为虚数单位），其中 a ， b 为实数，则 a ， b 的值分别为（ ）
【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得 7 分，可分为三类情况：
①若连中 4 次，额外加 3 分，剩余 3 次不中，满足要求，此时将连中 4 次看作一个整体，与其他三次不中排
序，共有 C14C33
4
种选择，故概率为
4
1 4 2
1
1 3 2
1， 32
②若连中 3 次，额外加 2 分，剩余 4 次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能
为一次中，也可能是三次中，有以下情况：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为
.C13
1 5 2
1
1 2 2
3 128
，
③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不
中）中中，满足要求，则概率为