新北师大版数学八年级上册同步培优练习全册全集

第一章勾股定理
1探索勾股定理
第1课时勾股定理
知识点一认识勾股定理精练版P1
我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．
勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．
(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；
(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；
(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；
(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；
(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？
解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．
解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝
S C′.
知识点二勾股定理的简单应用精练版P1
1．已知直角三角形的两边求第三边．
2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．
3．证明线段的平方关系．
例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．
解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4
第2课时勾股定理的验证及其应用
知识点一勾股定理的验证精练版P2
勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．
一般步骤如下：
拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．
如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
所以(a＋b)2＝4×1
2ab＋c
2，所以a2＋b2＝c2.
如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
所以c2＝4×1
2ab＋(b－a)
2，所以c2＝a2＋b2.
如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，
所以1
2(a＋b)(a＋b)＝2×
1
2ab＋
1
2c
2，
整理，得a2＋b2＝c2.
知识点二勾股定理的应用精练版P2
1．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．
2．应用勾股定理时要注意：
(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．
(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.
(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．
例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为
a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()
A．3B．4
C．5D．6
解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.
答案：C
易错点没有明确直角边和斜边
用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．
例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.
解：当AB 为斜边时，AB 2＝AC 2＋BC 2＝225；
当AB 为直角边时，AB 2＝BC 2－AC 2＝63.所以AB 2为225或63.
注意：此题易错误地认为AB 2＝225.原因是没有分清AB 边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．
2 一定是直角三角形吗
知识点一 勾股定理的逆定理精练版P3
如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理) 利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．
温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a 2＋b 2是否等于c 2需通过计算说明，不能直接写成a 2＋b 2＝c 2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．
例1 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是否为直角三角形． (1)a ＝4，b ＝5，c ＝6； (2)a ∶b ∶c ＝3∶4∶5.
解：(1)因为a 2＋b 2＝42＋52＝41，c 2＝36，a 2＋b 2≠c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形． (2)设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k (k ≠0)． 因为a 2＋b 2＝(3k )2＋(4k )2＝25k 2， c 2＝(5k )2＝25k 2， 所以a 2＋b 2＝c 2，
所以由线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形． 知识点二 勾股数精练版P3
满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．
常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．
一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．
温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．
例2 判断下列各组数是不是勾股数：
(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，1
5
；(4)3，－4，5.
解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．
解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．
(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．
(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．
(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．
注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
易错点运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误
运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．
例3已知三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2＋1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．
解：因为(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．
注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．
3勾股定理的应用
知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5
柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．
例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)
解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.
注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．
知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5
由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．
勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．
解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．
易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一
对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．
例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)
解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；
同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；
由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.
因为340＜370＜466，
所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.
注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．
章末知识汇总
类型一勾股定理与面积的综合应用
例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．
解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．
S1＝1
2·AB·BC＝
1
2，
由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，
AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，
所以S2＝1
2·AC
2＝1，
S3＝1
2·AD
2＝2，
S4＝1
2·AE
2＝4.
由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.
答案：322n－2
注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．
类型二直角三角形判定方法的实际应用
例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C 两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．
解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.
过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．
因为S△ABC＝1
2×AB×AC＝
1
2×AD×BC，
所以AD＝AB×AC
BC＝
600×800
1000＝480(m)．
因为480m＞400m，
所以此公路不会穿过该森林公园．
注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．
类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题
例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.
在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．
第二章实数
1认识无理数
知识点一非有理数的存在精练版P9
整数和分数统称为有理数．
随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()
A．面积为49的正方形
B．面积为9
16的正方形
C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形
解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝9
16，而
9
16＝⎝
⎛
⎭
⎫3
4
2
，所以a＝
3
4；由D
项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C
知识点二估计数值的大小精练版P9
用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．
例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.
(1)估计x在哪两个整数之间．
(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．
解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．
解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.
(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．
(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.
又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，
所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，
所以精确到百分位时，x≈10.30.
注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．
知识点三无理数的概念精练版P9
无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．
温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．
(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧
⎭⎪⎬⎪⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数
例3 227，0.2·03·
，－π
7
，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是
( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，22
7
，0.2·03·，2.3131131113是有理数．
答案：A
注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π
7
不是分数，是一个无理数．
易错点 错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，
无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据． 例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·
，π
2.
解：有理数：－119
180
，345.202·
；
无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π
2
.
注意：学生很容易把π
2
看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误
原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．
2 平方根
知识点一 算术平方根的概念与性质精练版P11
定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．
温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义
时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．
例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)25
36
；(3)13.
解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．
解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562
＝2536，所以2536的算术平方根是5
6. (3)13的算术平方根是13.
注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．
知识点二 平方根的概念与性质精练版P11
1．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．
例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由． (1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.
解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值． 解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．
因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13. (2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．
因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1. (3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．
注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)． 知识点三 开平方精练版P11
定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．
温馨提示：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．
例3 (1)(16)2等于多少？
(2)⎝
⎛
⎭
⎫
9252
等于多少？ (3)5.52等于多少？ (4)（－2）2等于多少？
解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果． 解：(1)(16)2＝42＝16.
(2)⎝
⎛
⎭
⎫9252
＝⎝⎛⎭⎫352
＝925. (3)5.52＝30.25＝5.5. (4)（－2）2＝4＝2.
P11
1.a 2＝|a |，即当a ≥0时，a 2＝a ，当a ＜0时，a 2＝－a . 2．(a )2＝a (a ≥0)．
温馨提示：(1)a 的取值范围不同，公式(1)中a 的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a 的取值是非负数．
(2)运算顺序不同，公式(1)中a 先平方再开平方，而公式(2)中a 先开平方再平方． 例4 求下列各式的值：
(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x ）2(x ＞2)． 解析：对于a 2与(a )2(a ≥0)这两种形式要注意区分． 解：(1)(7)2＝7.
(2)（－7）2＝|－7|＝7.
(3)因为x ＞2，所以 2－x ＜0，所以（2－x ）2＝|2－x |＝－(2－x )＝x －2. 注意：运用a 2＝|a |化简时，一定要先判断出a 的符号，然后才能化简．
易错点 不完全理解题意而出错
若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16
的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．
例5
36的算术平方根是________．
解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6. 答案：6
注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．
3 立方根
知识点一 立方根的概念与性质精练版P13
1．立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根或三次方根，例
如：53＝125，则5是125的立方根．
2．表示方法：数a的立方根用符号3
a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”
不能省略．
3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.
例1下列说法正确的是()
A．64的立方根是2
B．125
216的立方根是±
5
6
C．(－1)2的立方根是－1
D．－3是27的立方根
解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．
答案：A
知识点二开立方精练版P13
1．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．
2．重要公式：①(3
a)3＝
3
a3＝a；②
3
－a＝－
3
a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的
立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3
－125＝－
3
125＝－5.
例2求下列各数的立方根：
(1)3
0.064；(2)
3
－27.
解：(1)3
0.064＝
3
0.43＝0.4.
(2)3
－27＝
3
（－3）3＝－3.
知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P13
1．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．
(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．
(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．
2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．
(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方
根来研究，即3
－a＝－
3
a.
例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．
解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3
±8＝±2.
答案：±2
易错点错把3
a的立方根当成a的立方根
做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.
例43
64的立方根是________．
解析：因为3
64＝4，所以
3
64的立方根是
3
4.
答案：3
4
注意：本题容易把3
64的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出
3
64＝4，再求4的立方根．
4估算
知识点一估算法确定无理数的大小精练版P17
1．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．
2．“精确到”与“误差小于”的意义的区别：如精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．
解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．
知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P17
1．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．
例2比较10－3
4与
1
4的大小．
解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－3
4＜
1
4.
2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－3
4－
1
4＝
10－4
4＜0(因为3＜
10＜4)，所以10－3
4＜
1
4.
3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3
a
＞3
b.
例3比较26和33的大小．
解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.
易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小
比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直
到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．
例4 比较大小：27与72.
解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72. [或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]
注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．
5 用计算器开方
知识点一 利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：
用计算器开方⎩
⎪
⎪⎨⎪⎪
⎧开平方⎩⎪⎨⎪
⎧先按“□”键 再输入被开方数
再按“＝”键
最后按“S ⇔D ”键
开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键
再输入被开方数
最后按“＝”键
例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)．
(1)3.1；(2)3
5. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，
显示1.760681…
因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，
显示1.709976…
因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二 利用计算器进行较复杂的计算精练版P18
此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序． 例2 求5×6－π的值．
解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT ×10x ＝，则5×6－π的值显示的结
果为2.335632921.
注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按
键顺序有所不同，如有的计算器按照□
（5×6）－SHIFT EXP ＝的按键顺序显示2.335632921，按此方
法按键要注意该加括号时加括号．
易错点 在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错
在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．
例3 用计算器求7＋1的值．(精确到千分位) 解：按键：
□（7＋
1）＝S ⇔D ，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.
注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．
6 实 数
知识点一 实数的概念及分类精练版P19 1．实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2.实数
的分类⎩
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
按定义分
⎩
⎪⎨⎪⎧有理数
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪
⎧正整数0
负整数分数⎩
⎪⎨⎪⎧正分数负分数
有限小数和无限循环小数
无理数→无限不循环小数
按大小分
⎩
⎪⎨
⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩
⎪⎨
⎪⎧正整数正分数正无理数
零
负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩
⎪⎨
⎪⎧负整数负分数负无理数
例1 有一个数值转换器，原理如图，当输入的x 为64时，输出的y 是( )
A ．8
B ．8
C ．64
D ．3
解析：输入64，则输出64＝8，8是有理数，第二次输入8.输出8，8是无理数．故选B .。