高中物理-电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题(清华附中 特级教师 孟卫东)

电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题
解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。

变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.
电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。

一、命题演变
“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨
（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．
[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （
3
x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：
（1）外力F 的最大值；
（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．
解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．
（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv
总
R E
I =
∴F 安=BIL=总
R v
L B 22
即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22
sin
π =2（m ）
3
8
R 2121=+=R R R R 总（Ω）
∴总
R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）
（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率1
2
1R E P =
，可知当max L L =时P 1有最大功率，即
14
0.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （
3
π
x ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=
总总R BLv R E == 43sin （3
5πt ）（A ） 2．金属棒
图1
（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力； （2）金属棒的初始状态：静止或运动；
（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；
（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场
（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换
电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式t
BS n
t n
E ∆∆=∆∆Φ=)
(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化
如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．
②B 随位置均匀变化
B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化
B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．
[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．
（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；
（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？
（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？
解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与
at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；
第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．
（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得
k t
B
=∆∆ ∵感应电动势2S kl t
B
t E =∆∆=∆∆Φ=
∴感应电流r
kl r E I 2
==
由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl
∴r
kl kt B F 3
10)(+=
（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vt
l l
B B +=0
2．B 不变，S 变化
（1）金属棒运动导致S 变化
金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为
d
图2
BLv E =，此类题型较常见，如例3．
[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：
（1）电流为零时金属杆所处的位置；
（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；
（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．
解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．
（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=R
Blv
R E =
∴I=0时v=0
∴x =a
v 2 2
=1（m ）
（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =
R
Blv 0
R
Blv I I m 22'0
=
=
安培力F 安=BI ’l=R
v l B 20
22=0.02（N ）
向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反
（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=R
v l B 022
F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- R
v l B 0
22
∴当v 0<
2
2l B maR
=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反 当v 0> 22l
B maR
=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同
（2）导轨变形导致S 变化
常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.
[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计
（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．
（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为
π
4
=∆∆t B （T/s ）
，求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）
4.02
8
.011===
R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．
32.02
2
2=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）
R
E P 2
21)
2(
=＝1.28×102（W ） 图4
另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型
[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。

现用恒力F 作用于ab 棒上，使它向右运动。

则 A ．安培力对cd 做正功使它向右加速运动 B ．外力F 做的功等于克服ab 棒上安培力的功 C ．外力作的功等于回路产生的总热量和系统的动能 D ．回路电动势先增后减两棒共速时为零
解析：开始时ab 棒在外力F 作用下向右切割磁感线产生电磁感应，ab 棒相当于电源，由右手定则，b 端电势较低，a 端电势高，形成由b →a →c →d →b 逆时转电流。

电流通过ab 和cd 棒，由左手定则，ab 棒安培力向左，做
负功，阻碍速度1v 增加；cd 棒安培力向右，做正功，使cd 棒动能增加速度2v 增大。

外力除克服ab 棒上安培力做功外，还要对cd 棒做正功。

故A 对B 错。

由于外力和安培力的作用，开始时ab 棒加速度大于cd 棒，两者速度差增大，回路感应电动势)(21v v Bl E -=增大，感应电流增大，使ab 加速度减小，cd 加速度增大，当两棒加速度相等时速度差最大，回路感应电动势最大。

以后ab 和cd 棒在外力F 作用下以相同加速度运动，速度差恒定不可能共速，电动势恒定不会等于零，故D 错。

根据能量守恒整个过程外力做的功等于回路产生的总热量和系统的动能，C 项正确。

所以正确选项为A 、C 。

题后：电磁感应中的金属棒导轨问题，可以用力学中滑块A 在滑板B 上运动作为物理模型。

滑板B 与地面光滑接触，摩擦力分别对A 、B 做负功和正功,使部分机械能转化为内能，相当于双金属棒情景。

若B 固定于地面，则类似单金属棒。

摩擦力做的总功等于系统内能增量，相当于安培力做功的情景。

[例6]如图6相距为L 的两光滑平行导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的右端接有电阻R （轨道电阻不计），斜面处在一匀强磁场B 中，磁场方向垂直于斜面向上，质量为m ，电阻为2R 的金属棒ab 放在导轨上，与导轨接触良好，由静止释放，下滑距离S 后速度最大，则
A ．下滑过程电阻R 消耗的最大功率为R L
B Sin g m 2
2222θ
； B ．下滑过程电阻R 消耗的最大功率为
R L B Sin g m 222223θ
； C ．下滑过程安培力做功2
4
422329R L
B Sin g m θ； D ．下滑过程安培力做功 -
⋅θSin mgS 2
4
422329R L B Sin g m θ。

解析：ab 棒下滑过程受重力，轨道支持力和安培力作用。

加速度a =0时速度最大，感应电动势最大，电路中电流最大，电阻消耗热功率最大。

当a =0，有 mgs in θ=BIL =m v R L B 322 ， 2
2sin 3L
B mgR v m θ
=。

∴ BL
mg v R BL R E I m θ
sin 3===
总 ； 回路总功率 R L B g m R I P 2
22222
sin 3θ
==总总 ， 电阻消耗功率 总P R L
g m R I P R 31
B sin 2
22222
===θ。

所以A 答案正确，B 为回路总功率。

在下滑过程中，安培力 v R L B BIL F 32
2== 是变力，不能用功定义式 θθ
sin sin 332222⋅=⋅⋅==mgS S L B mgR R L B FS W 计算。

也不等于系统动能
2
2222322sin 921L
B R g m mv E W K θ
=== 。

故C 错。

考虑到安培力做功等于系统（回路）产生总热量，由能量守恒，重力势能转化为棒动
能和系统内能 mgh =
2
2
1mv + Q ∴ 2
2
22)sin 3(21sin 21L
B mgR m mgS mv mgh Q W F
θθ-⋅=-==安
选项D 正确。

所以本题正确答案为A. D
题后：犹如滑动摩擦力对系统做功，使系统内能增加一样，安培力做功也使系统内能增加。

当电源内阻不计时，系统热量就是外电路电阻上热量。

否则外电阻热量只是总热量的一部分。

其次，安培力与摩擦力又有区别。

滑动摩擦力Ｆ＝μN F 与压力成正比，通常表现为
恒力。

而安培力v R L B F 总
2
2= 正比于速度v ，通常为变力。

因此，求安培力做的功，除非恒
力，一般不能用功的定义式计算，这时用能量知识（如动能定理或能量守恒）可方便求出安W 或Ｑ，再依两者关系按题意求出答案。

[例7]两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L ，导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路。

如图7所示，两根导体棒的质量皆为m 电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计。

在整个导轨面内都有竖直向上的匀强磁场，磁场强度为B 。

设两导棒均可沿导轨无摩擦地滑行。

开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向cd 的速度V 0如图。

若两根导体棒在运动中始终不接触。

求
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？
（2）当棒ab 的速度变为初速度的3/4时，棒cd 的加速度时多少？
解析：开始时ab 向cd 靠近，穿过回路的磁通量在减少，回路发生电磁感应现象，电流方向由楞次定律可判断从a →b →d →c →a 。

于是电路中产生焦耳楞次热。

同时感应电流产生的安培力对ab 棒作负功使速度减小，对cd 棒做正功使其向右加速运动。

随着cd 棒的运
动，ab 、cd 相对运动速度减小，感应电流 v r
R l B I +=
2
2也减小，当两棒共速时，回路磁通量不变，感应电动势消失，电流消失，至此回路产生热量最多。

按上述分析，取两棒为系统，其运动过程等效于力学中光滑水平面上滑板滑块模型。

图7
因两棒长度相等安培力等值反向合力为零，系统动量守恒，机械能的减少量即为系统产生的总热量。

其次只需求出v ab =3v 0/4时ab 棒所受安培力即可由牛顿定律求出加速度a 。

取ab 棒v 0为初态，共速v 为末态，由动量守恒有 mv 0=2mv ， v=v 0/2 。

再由能量守恒，求得整个过程产生热量
2
2204
122121mv mv mv E Q K =⋅-=∆= 。

取初态v 0及ab 速度v ′=3v 0/4为末态，由动量守恒，可求cd 棒速度。

Mv 0=3mv 0/4 + mv ′ v ′=v 0/4 。

回路感应电动势：
0'02
1
)43(Blv v v Bl Blv E =-== ，
回路电流： R
Blv R E
r R E I 420=
=+= ， cd 受安培力： 02
24v R l B BIl F == ， 由牛顿定律得加速度：02
24v Rm
l B m F a ==。

三、预测
如火如荼的新课程改革体现了培养高素质人才的基本框架——从“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三个方面设计课程目标、课程的内容、结构和实施机制．高考的命题趋势也必将体现新课改的精神．根据考纲要求掌握的知识，“杆+导轨”模型试题往往以选择题和计算题的题型出现，且多以计算题的面目出现，高考命题也不出乎以上所介绍的四个模型转换的角度，将多个命题变化点进行不同的组合，从而能命出角度多样的新题．
而多个命题变化点的组合，凸现了对学生能力的考查．除考查学生的理解、分析、推理、综合、计算等能力外，试题常常还可以借助函数图象，考查学生的读图、画图能力，以计算题的题型加强对学生进行了这方面的考查．
[例8]（2004·上海·22）如图8所示，水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L ，一端通过导线与阻值为R
Ｒ
的电阻连接；导轨上放一质量为m 的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下，用与导轨平行的恒定拉力F 作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动．当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v 也会变化，v 和F 的关系如右下图.（取重力加速度g =10 m/s 2）
（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？
（2）若m =0.5 kg ，L =0.5 m ，R =0.5Ω，磁感应强度B 为多大？
（3）由v -F 图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？
解析：（1）感应电动势BLv E = 感应电流R
E I = 感应电流产生的安培力R
v L B BIL F 22==安 即安培力随金属杆的速度的增大而增大，由于拉力恒定，所以金属杆在匀速运动之前做加速度减小的加速运动.
（2） 由图线可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零，有
安F f F =- 则f R
v L B f F F +=+=22安 即)(22f F L
B R v -= 由图象可以得到直线的斜率2=k ， 磁感应强度12==kL
R B （T ）. （3）由直线的截距可求得金属杆受到的阻力f ， 2=f N
若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动摩擦因数 4.0==mg
f μ 试题可以“杆+导轨”模型为载体，将力学、静电场（如电路中接入电容器）、电路、磁场及能量等知识进行整合，在考查学生的能力外，同时也考查了相关知识的掌握情况．
四、应试策略
学生在平时的学习中要重基础知识的理解和能力的培养。

（1）全面掌握相关知识．由于“杆+导轨”模型题目涉及的知识点很多，如力学问题、电路问题、磁场问题及能量问题等，学生要顺利解题需全面理解相关知识，常用的基本规律有法拉第电磁感应定律、楞次定律、左、右手定则、欧姆定律及力学中的运动学规律、动力学规律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、能量转化和守恒定律等。

（2）抓住解题的切入点：受力分析，运动分析，过程分析，能量分析。

（3）自主开展研究性学习．学生平时应用研究性的思路考虑问题，可做一些不同类型、不同变化点组合的题目，注意不断地总结，并可主动变换题设条件进行研究学习，在高考时碰到自己研究过的不同变化点组合的题目就不会感到陌生了。

“杆+导轨”模型问题的物理情境变化空间大，题目综合性强，所以该模型问题是高考的热点，同时也是难点，从这个意义上讲重视和加强此类问题的探究是十分必要和有意义的，另外还可起到触类旁通的效果，让学生同时具备解决“杆+导轨”等其它模型问题的能力。