第8节 几何空间向量的混合积

证明 由命题8.3和二重向量积计算得 (a b ) (c d ) [(c d ) a ] b
命题8.3 二重外积计算
[(c a )d (d a )c ] b (c a )(d b ) (d a )(c b ) 内积对线性运 a c a d b c b d 算分配
则
a1 a2 a3 a1 b1 c1 (a b ) c b1 b2 b3 a2 b2 c2 . c1 c2 c3 a3 b3 c3
证明 因为
即 a b 的坐标是
a2 a3 a1 a3 a1 a2 a b i j k, b2 b3 b1 b3 b1 b2
混合积的每个因子都具有线性性质， 即
[( ka1 la2 ) b ] c k (a1 b ) c l (a1 b ) c .
[a ( kb1 lb2 )] c k (a b1 ) c l (a b2 ) c . (a b ) ( kc1 lc2 ) k (a b ) c1 l (a b ) c2 .
下面假设三个向量不共面。在空间中取一点O, 作
OA a , OB b , OC c ,
作以OA, OB, OC为棱的平行六面体（如图）。 记底面OAB的面积为S，则
S ab .
ab C
H
记底面的高为 OH h, 则
a2 a3 a1 a3 a1 a2 ( , , ), b2 b3 b1 b3 b1 b2
于是
a1 a2 a3 a2 a3 a1 a3 a1 a2 b b b . (a b ) c c1 b b c2 b b c3 b b 1 2 3 2 3 1 3 1 2 c1 c2 c3
a1 a2 (a d ) c a3 x2 (a b ) c a1 a2 a3
d1 d2 d3 b1 b2 b3
c1 c2 c3 (d b ) c , x3 c1 (a b ) c c2 c3
a1 a2 a3 a1 a2 a3
A
即
V (a b ) c .
注意当 a , b , c 构成由右手系时 0 a b , c , 2 否则， a b , c . 2
命题8.2 三个向量 a , b , c 共面 (a b ) c 0. 证明 三个向量 a , b , c 共面 以 a , b , c 为棱的平行六面体的体积 (a b ) c 0 (a b ) c 0.
例1 (EX 16) 设 x ( x1 , x2 , x3 ) , y ( y1 , y2 , y3 ).
利用拉格朗日恒等式证明
2 2 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 .
证明 由定理8.7得 a a (a b ) (a b ) b a
a1 a2 a3 a1 b1 c1 则三个向量a , b , c 共面 b1 b2 b3 a2 b2 c2 0. c1 c2 c3 a3 b3 c3
定理8.7（拉格朗日恒等式） 设 a , b , c , d 是四个任意 a d c 向量，则 (a b ) (c d ) a b c b d
a b (a a )(b b ) (a b )(b a ) b b
2 2 2 2 2 2 ( x1 x2 x3 )( y1 y2 y3 )
( x1 y1 x2 y2 x3 y3 ) 0(?)
§8 几何空间向量的混合积
重点 1、混合积的几何意义、线性性质 2、直角坐标系下混合积的计算 一、混合积的定义、几何意义和线性性质
定义8.1 设 a , b , c 是三个向量， 称 (a b ) c 为三个向量
的混合积。 注释1 根据混合积定义（外积定义、内积定义），

cLeabharlann b BV Sh.
O
a
A
显然，
h OH c cos a b , c .
ab C
H

c
b B
从而由内积定义得
O
a
(a b ) c a b c cos a b , c Sh V
a
c
b
b
c
a
轮换因子右（左）手系还是右（左）手系， 交换因 子则右（左）手系变成左（右）手系。因此，轮换 因子混合积不变号，交换因子混合积变号。
推论5.4 (a b ) c a (b c ).
应用命题8.3前一部分
和内积满足交换律
证明 记以三个向量为棱的平行六面体T 的体积为V， 则由命题8.1知
V (a b ) c (b c ) a (c a ) b T 的底 c ,a a,b b,c (b a ) c (c b ) a (a c ) b T 的底 a,c c ,b b,a
例2 (EX 8) 证明雅克比恒等式 a (b c ) b (c a ) c (a b ) 0
证明 由向量二重外积公式得 a (b c ) b (c a ) c (a b ) [(a c )b (a b )c ] [(b a )c (b c )a ] 内积满足交换律 [(c b )a (c a )b ] (a c )b (a b )c (a b )c (b c )a (b c )a (a c )b
二、直角坐标下混合积的计算
是右手直角坐标系， 且 O ; i , j , k 命题8.5 如果
a a1i a2 j a3k , b b1i b2 j b3k , c c1i c2 j c3 k .
这在第四节用加减消元法已经给出了公式解。 下面从混合积的角度讨论它的解。 (d b ) c [ x1a x2b x3c ) b ] c x1 (a b ) c x2 (b b ) c x3 (c b ) c x1 (a b ) c
d1 d2 (d b ) c d3 x1 (a b ) c a1 a2 a3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
c1 c2 c3 . 类似地 c1 c2 c3
( a d ) c x2 ( a b ) c , ( a b ) d x2 ( a b ) c ,
则
3元线性方程组
a1 x1 b1 x2 c1 x3 d1 d x1a x2b x3c a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3
a1 b1 c1 条件 (a b ) c 0 a2 b2 c2 (a b ) c 0. a3 b3 c3 a1 b1 c1 因此，问题就是在条件 a2 b2 c2 0 下解方程组。 a3 b3 c3
命题8.2 轮换混合积的三个因子混合积的值不变；
交换混合积的任两个因子混合积的值变号，即
(a b ) c (b c ) a (c a ) b (b a ) c (c b ) a (a c ) b
b1 b2 b3 b1 b2 b3
d1 d2 d3 . c1 c2 c3
由命题8.2和命题8.5立即得到三个向量在坐标形式
下共面的条件
是右手直角坐标系， 且 O ; i , j , k 推论8.6 如果 a a1i a2 j a3k , b b1i b2 j b3 k , c c1i c2 j c3 k .
0
作业：P64 Ex 1 (1), 2(1), 3 (1), 4(1), 6， 15
命题8.1 (a b ) c 等于以 a , b , c 为棱的平行六面体的
体积。
证明 记平行六面体的而体积为V。
若三向量共面， 从而 (a b ) c , 则 a b 垂直该平面，
于是 (a b ) c 0, 即 V 0 (a b ) c .
例1 已知混合积 (a b ) c 0 且 d x1a x2b x3c ,
求系数 x1 , x2 , x3 .
下，记 O ; i , j , k 注意，如果在是右手直角坐标系 a a1i a2 j a3k , b b1i b2 j b3 k , c c1i c2 j c3k , d d1i d 2 j d 3 k .
2
例2 (EX 7) 证明 (a b ) c a b c .
证明 由向量的内积和外积定义得 (a b ) c a b c cos a b , c
a b c sin a , b cos a b , c a b c (a b ) c a b c sin a , b cos a b , c 1 a , b , a b , c 0, 2 a , b , c 两两垂直