2023-2024学年安徽省安庆市高考热身数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省安庆市高考热身数学模拟试题
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集
{}
2,1,0,1,2U =--，
{
}210
A x x =-=，()(){}120
B x x x =--=，则图中阴
影部分所表示的集合为（）
A.{}1,1,2-
B.{}2,1,0,2--
C.
{}
1 D.
{}
2,0-【正确答案】D
【分析】首先求出集合A 、B ，图中阴影部分为()U A B ð，根据并集、补集的定义计算可得.
【详解】由210x -=，解得1x =或=1x -，所以{}
{}2
101,1A x x =-==-，
由()()120x x --=，解得1x =或2x =，所以()(){}
{}1201,2B x x x =--==，所以{}1,1,2A B ⋃=-，又{}2,1,0,1,2U =--，则图中阴影部分为(){}2,0U A B =- ð.故选：D
2.已知复数()1i z m m m =-+为纯虚数，则实数m 的值为（）
A.1
- B.1
C.1或1
- D.1-或0
【正确答案】B
【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】因为z 是纯虚数，所以()10
m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =．
故选：B ．
3.已知向量,a b
是两个单位向量，则“a b -< ”是“,a b 〈〉 为锐角”的（
）
A .
充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充
分也不必要条件【正确答案】B
【分析】由a b -< ,a b 〈〉
的范围，进而可得结果.
【详解】因为,a b 为单位向量，所以由a b -< 222222a a b b a b -+=-<
，
所以得0a b >
，而[],0,πa b 〈〉∈ ，所以,a b 夹角为0或锐角；
所以“a b -< 是“,a b 〈〉
为锐角”的必要而不充分条件.
故选：B.
4.林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300～500年之间的古树为二级，树龄100～299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于（）
A.一级
B.二级
C.三级
D.不是古
树
【正确答案】C
【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2π 3.14r =，
0.5m 50cm r ==，
从内向外数：50.4a =，40.2n a -=，()54500.32
n n a a n S r n -+⋅====，
∴500
1673
n =
≈年，所以为三级.故选:C
5.连续抛掷一枚骰子2次，则第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字大的概率为（）
A.
512
B.
25
C.
35
D.
56
【正确答案】A
【分析】由古典概型概率公式计算即可.【详解】方法一：
连续抛掷一枚骰子2次，用(),x y 表示第1次和第2次正面向上的数字分别为x ，y ，则基本事件有：
()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，
()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，
()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共36个，
设事件A =“第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字大”，
则事件A 中基本事件有()2,1，()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3，()5,1，()5,2，()5,3，
()5,4，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，共15个，
∴()1553612
P A =
=.∴第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字大的概率为512
.方法二：
连续抛掷一枚骰子2次，第1次正面向上的数字有6种，第2次正面向上的数字有6种，∴连续抛掷一枚骰子2次，基本事件有6636⨯=个；
其中，第1次正面向上的数字与第2次正面向上的数字相等的基本事件有6个，
而第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字大的基本事件，与第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字小的基本事件数量相同，
∴第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字大的基本事件有366
152-=个，∴第1次正面向上的数字比第2次正面向上的数字大的概率为1553612
P ==.故选：A .
6.已知函数()f x 满足()()15f x f x -=+，且
()1f x +是偶函数，当13x ≤≤时，
()3
24
x f x =+
，则()log 36f =2（）
A.
32 B.3
C.
398
D.
394
【正确答案】B
【分析】由函数的奇偶性和对称性，得到函数的周期，利用周期和指数式的运算规则求函数值.【详解】由
()1f x +是偶函数，得()()11f x f x +=-+，令1x t +=-，则()()2f t f t -=+．
由()()15f x f x -=+，令1x t -=-，则()()6f t f t -=+，
则有()()26f t f t +=+，即()()4f x f x =+，所以函数()f x 周期为4．因为2225log 32log 36log 646=<<=，则有21log 3642<-<，
所以()()29log 42229393log 36log 364log 234444f f f ⎛
⎫=-==+=+= ⎪⎝
⎭．
故选：B
7.已知π
3
αβ-=，tan tan αβ-=cos()αβ+的值为（）
A.1
2
B.
13
C.14-
D.16
-
【正确答案】D
【分析】由已知条件切化弦，整理得出cos cos αβ，然后把cos()αβ-展开可求出
sin sin αβ，从而利用两角和的余弦公式可求解.
【详解】由于tan tan αβ-=π3
αβ-=
，则3
sin sin sin cos cos sin sin()2
cos cos cos cos cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβ
---====，整理得1
cos cos 6
αβ=
，则1cos()cos cos sin sin 2
αβαβαβ-=+=，整理得111sin sin 263
αβ=
-=，所以111cos()cos cos sin sin 636
αβαβαβ+=-=-=-.故选：D .
8.已知12,F F 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过点2F 作直线
12AB F F ⊥交C 于,A B 两点.现将C 所在平面沿直线12F F 折成平面角为锐角α的二面角，
如图，翻折后,A B 两点的对应点分别为,A B ''，且1A F B β''∠=⋅若1cos 25
1cos 16
αβ-=-，则C 的
离心率为（
）
A.
B. C.3
D.【正确答案】C
【分析】根据题意分析可知锐角二面角1A F B α''=∠，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解.
【详解】设双曲线的半焦距为0c >，
由题意可得：2222
2211,2b b a c AF BF AF BF a a a a +====+=
，则222
2211,b a c A F B F A F B F a a
+''''====
，且11A F B F ''⊥，则锐角二面角1A F B α''=∠，在2△A F B ''中，由余弦定理可得：
22
222
22222
22224
221cos 11222b b A B A F B F A B a A B a a b b A F B F b a a
α⎛⎫⎛⎫''+- ⎪ ⎪''''''+-⎝⎭⎝⎭-=-=-=''⋅⨯⨯
，在1△A F B ''中，由余弦定理可得：
()22
22222
22222112222222111cos 11222a c a c A B A F B F A B a A B a a a c a c A F B F a c a a
β⎛⎫⎛⎫++''+- ⎪ ⎪''''''+-⎝⎭⎝⎭-=-=-=''++⋅+⨯⨯
，
因为1cos25
1cos16
α
β
-
=
-
，即
()
()
2
2
2
22
4
24
2
2
22
25
6
2
1
2
a A B
a c
b
b
a A B
a c
=
''
=
+
''
+
，
可得
2222
222
5
4
a c a c
b c a
++
=
-
=
，解得3
e==.
故选：C.
方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列关于棱柱的说法正确的是（）
A.棱柱的两个底面一定平行
B.棱柱至少有五个面
C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.正四棱柱一定是长方体
【正确答案】ABD
【分析】依据棱柱定义判断选项A；依据棱柱的结构特征判断选项B；举反例否定选项C；依据长方体定义判断选项D.
【详解】选项A：由棱柱定义可得棱柱的两个底面一定平行.判断正确；
选项B：三棱柱是最简单的棱柱，三棱柱有五个面，
则棱柱至少有五个面.判断正确；
选项C：在正四棱柱上面放置一个与其底同的斜四棱柱，所得几何体是组合体，
但是满足两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.判断错误；
选项D：正四棱柱底面是正方形，侧棱与底面垂直，
则正四棱柱一定是长方体.判断正确.
故选：ABD
10.正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入，sec,csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用
得以通行.在三角中，定义正割
1
sec
cos
α
α
=，余割
1
csc
sin
α
α
=.已知函数
()11sec csc f x x x
=
+，给出下列说法正确的是（）
A.()f x 的定义域为{}
π,Z x x k k ≠∈；B.()f x 的最小正周期为2π；
C.()f x 的值域为)()(
11,1⎡--⎣ ；
D.()f x 图象的对称轴为直线()π
πZ 4
x k k =-+∈.【正确答案】BC
【分析】由辅助角公式化一，再根据cos 0,sin 0x x ≠≠，即可求出函数的定义域，即可判断A ；根据正弦函数的周期性即可判断B ；根据正弦函数的值域结合函数的定义域即可判断C ；根据正弦函数的对称性即可判断D .
【详解】()11πcos sin sec csc 4f x x x x x x ⎛⎫=
+=+=+ ⎪⎝
⎭，由cos 0,sin 0x x ≠≠，得()π
Z 2
k x k ≠∈，即()f x 的定义域为π
,Z 2k x x k ⎧⎫≠
∈⎨⎬⎩
⎭
，故A 错误；()f x 的定义域关于原点对称，
故()f x 的最小正周期与函数π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期一致，均为2π，故B 正确；
当π3π0,
,π,22x =时，π4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的值分别为1,1,1,1--，
而函数π4y x ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭的值域为⎡⎣，
再结合周期性可知，()f x 的值域为)()(
11,1⎡--⎣ ，故C 正确；
令()πππZ 42x k k +
=+∈，得()π
πZ 4
x k k =+∈，即()f x 图象的对称轴为直线()π
πZ 4
x k k =+∈，故D 错误.故选：BC.
11.已知点()1,0A -
，点B 在22:1O x y +=e 的正方形BCDE 的顶点
C D E ､､位于圆O 外，则AC AE ⋅uuu r uu u r
的值可能是（
）
A.0
B. C.8
D.10
【正确答案】ABC
【分析】利用极化恒等式结合图形求数量积最大值，再逐一判断选项即可.【详解】如图所示，取CE 中点F ，连接BF ，则由题意可得：1BF
EF ==，
由极化恒等式可得222
1
AC AE AF FE AF ⋅=-=-uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r 当A B F 、、三点共线且()()1020B F ，，，时，max
3AF = ，即max 8AC AE ⋅= ，故C 正确，
且排除D 项；
对于B 项，当A B F 、、三点共线且A B 、比较接近时，此时存在AF =
，故B 正
确；
当A B 、重合时，易得
1AF = ，此时0AC AE ⋅=uuu r uu u r
，故A 正确；
故选：ABC
12.已知1l ，2l 是函数e x y a =与ln ln y x a =-的图像的两条公切线，记1l 的倾斜角为α，2l 的倾斜角为β，且1l ，2l 的夹角为π20θθ⎛⎫
≤≤ ⎪⎝
⎭
，则下列说法正确的有（）
A.sin cos αβ=
B.tan tan 2
αβ+≥C.若3tan 4θ=
，则3
32e
a = D.1l 与2l 的交点可能在第三象限
【正确答案】ABC
【分析】根据反函数的性质可得公切线关于y x =对称，即可得到π
2
αβ+=
，利用诱导公式证明A ，利用诱导公式及基本不等式证明B ，利用导数的几何意义说明C ，结合函数图象说明D.
【详解】如图，因为e x y a =与ln ln y x a =-互为反函数，故两函数的图象关于直线y x =对称，则1l ，2l 关于y x =对称，故2π
αβ+=
，sin sin cos 2παββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，故A 正确；由题意，α，β均为锐角，tan 0α>，tan 0β>，
1tan tan tan tan tan 22tan παβαααα⎛⎫
+=+-=+≥ ⎪⎝⎭
，
当且仅当tan 1α=，即4
π
αβ==
时取等号，故B 正确；设1l 与两个函数图象分别切于M ，N 两点，与y x =交于Q ，2OQN θ∠=
，则3tan 4
θ=，
即22tan
3241tan 2
θ
θ=-，解得1tan 23θ=或3-（舍去）
，
故1
13tan 4521
213
MN
k θ+
⎛⎫=+︒== ⎪⎝⎭-，对于e x y =，则e x y '=，令e 2x y '==，解得ln 2x =，所以切点为()ln 2,2，所以曲线e x y =的斜率为2的切线方程为22ln 22y x =-+，
故曲线ln e e x x a y a +==的斜率为2的切线方程为2(ln )2ln 22y x a =+-+，同理可得ln y x =的斜率为2的切线方程为2ln 21y x =--，
故曲线ln ln y x a =-的斜率为2的切线方程为2ln 21ln y x a =---，所以ln 21ln 2ln 2ln 22a a ---=-+，则3ln ln 23a =-，则3
32
e
a =，故C 正确；由图可知点Q 必在第一象限，故D 错误
.
故选：ABC.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
已知函数)
()ln f x ax =-为R 上单调递减的奇函数，则实数a 的值为_____．
【正确答案】1
【分析】利用奇函数的定义求出a ，再根据给定的单调性确定作答.
【详解】
因为函数())f x ax =为R 上的奇函数，则R x ∀∈，()()0f x f x +-=，
即有22))ln[(1)1]0ax ax a x ++=-+=恒成立，因此22(1)11a x -+=对任意实数x 恒成立，于是210a -=，解得1a =±，当1a =-
时，())f x x =+
，函数y =
y x =在[0,)+∞上单调递增，
则函数y x =+在[0,)+∞上单调递增，而函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，
因此函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，于是奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，即()f x 在R 上单调递增，不符合题意，
当1a =时，()))f x x x ==-+，因此函数()f x 在R 上单调递减，符合题意，
所以实数a 的值为1.故114.6
2
x ⎛⎫
-
⎝的展开式中二项式系数最大的项是________.【正确答案】5
2
-
## 2.5-【分析】根据二项式系数的性质即可知3
6C 最大，由二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】6
2⎛⎫- ⎝的二项展开式有7项，其二项式系数为6,=0,1,2,3,C 4,5,6k
k ，由组合数的性质可知3
6C 最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是
3
3
3
465C
22T ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪⎝
⎝⎭.故5
2
-
15.点1F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_______________.
1##1-+【分析】不妨设()()000,,0A x y y >,由2AF 与抛物线相切求得01x =，求得椭圆中的,a c ，从而得到椭圆的离心率.
【详解】
由题意知()()121,0,1,0,F F -不妨设()()000,,0A x y y >,则A
在函数y =上，
故y '=
所以2000
1AF y k x ===+,解得01x =，
所以()1,2A
，122,AF AF ==又点A 恰好在以1F ，2F
为焦点的椭圆上，所以1222a AF AF =+=+，22c =,
所以，212c e a ===-，
1
16.在ABC 中，2,2BC AB AC ==，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为______．【正确答案】
43
【分析】先设AC x =，由三角形三边关系得到2
23
x <<，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到2
2
512
AD x =
-，从而利用换元与基本不等式求得cos ADC ∠的最小值，结合cos y x =与tan y x =在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的单调性即可求得tan ADC ∠的最大值.
【详解】设AC x =，则2AB x =，
因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系，可知22x x +>且22x x -<，解得
2
23
x <<，在ABD △中，由余弦定理，得()2
212cos 2AD x ADB AD +-∠=，
在ACD 中，由余弦定理，得22
1cos 2AD x ADC AD
+-∠=，
因为πADB ADC ∠+∠=，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠,
所以()222212122AD x AD x AD AD
+-+-=-
，解得22512AD x =-，则2
24
22
51132cos 545121
22
x x x ADC x x -+-∠==⨯-⨯-，223x <<，
令
2512x t -=，则1,99t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()2215x t =+，()4242125x t t =++，则232131313cos 2221010105
t t ADC t t t t t ++∠=⨯=⨯++≥⨯⋅+=，
当且仅当1t t
=，即1t =时，等号成立，此时2
5112x -=，解得255
x =，因为3cos 05ADC ∠≥
>，所以π0,2ADC ⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
．因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，tan y x =在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增，
所以当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时2
4sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=，则4
tan 3
ADC ∠=，所以tan ADC ∠的最大值为
4
3
.故答案为.
43
.
关键点睛：本题中突破口为πADB ADC ∠+∠=，由此得到cos cos ADB ADC ∠=-∠，再结合余弦定理得到2
2
512
AD x =
-，最后利用基本不等式即可得解.四､解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.
17.已知等差数列{}n a 满足12n n a a n +=-．（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设()1n
n n b a =-，求
21
n
i
i b =∑．
【正确答案】（1）1n a n =+（2）n
【分析】（1）当2n ≥时，由12n n a a n +=-得()121n n a a n -=--，两式相减则可求等差数列的公差，1n =时，可求首项，从而可求其通项公式；（2）根据已知可求()()()111n
n
n n b a n =-=-+，再由并项求和法求和即可．
【小问1详解】
由已知{}n a 为等差数列，记其公差为d ．
①当2n ≥时，()11221n n n
n a a n a a n +-=-⎧⎨=--⎩，两式相减可得21d d =-，解得1d =，
②当1n =时，2121a a =-，所以12a =，所以()2111n a n n =+-⨯=+．【小问2详解】
由（1）知()()
()111n
n
n n b a n =-=-+，
21
2
2121
n
i
n n i b b b
b b -==++++∑ 2345221
n n =-+-+--++ ()()()2345221n n n =-++-+++-++= ．
18.某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数
()()πsin 0,0,,0242h t A t B A t ωϕωϕ⎛⎫
=++>><≤< ⎪⎝⎭
，其中h 为水深（单位：米），t
为时间（单位：小时），该函数图像如图所示
.
（1）求函数()h t 的解析式；
（2）若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【正确答案】（1）()()ππ3sin 402463h t t t ⎛⎫
=-+≤< ⎪⎝⎭
（2）8小时
【分析】（1）由图易得,A B 和周期T ，由周期可求ω，然后代入最高点的坐标可求ϕ，从而求出解析式；
（2）由题意可知() 5.5h t ≥，只要解此不等式即可得解.【小问1详解】由图知1(71)32A =
-=，1(71)42B =+=，π11562T ω
==-=，π
6ω=，
所以()π3sin 46h t t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将点(5,7)代入得5π73sin 46ϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
，
结合π2
ϕ<
解得π3ϕ=-，
所以函数()h t 的解析式()()ππ3sin 402463h t t t ⎛⎫
=-+≤< ⎪⎝⎭
.【小问2详解】
货船需要的安全水深为4 1.5 5.5+=米，所以当() 5.5h t ≥时货船可以停留在港口.
由() 5.5h t ≥得ππ1
sin 632
t ⎛⎫-≥ ⎪
⎝⎭，得πππ5π2π2π()6636k t k k +≤-≤+∈Z ，即312712()k t k k +≤≤+∈Z ，
当0k =时，37t ≤≤，当1k =时，1519t ≤≤，
所以该船一天之内至多能在港口停留7319158-+-=小时.
19.为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A ：1个红球1个白球，B ：2个红球，C ：2个白球，D ：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率（2）求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；
（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为X ，求X 的分布列和期望.
【正确答案】（1）
1
5
（2）顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为145、115、215
（3）分布列答案见解析，()23
E X =
【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；（2）根据古典概型的概率公式及组合数公式计算可得；（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为29P =，则23,9X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望.【小问1详解】
设顾客第i 次摸到红球为()1,2i E i =，则()()()
2121221821
1091095
P E P E E P E E =+=⨯+⨯=；【小问2详解】
由题意知，()11
23210C C 62C 4515P A ===，()22
2
10C 1C 45P B ==，()2
3210C 31C 4515P C ===，()()()()7
19
P D P A P B P C =---=，
因此，顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为145、115、215；【小问3详解】
由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为11224515159
P =++=，则23,
9X B ⎛⎫~ ⎪⎝
⎭
，所以()0
03
3
273430C 99729P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1
2
13272941C 99729P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，()2
1
2
3
27842C 99729P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
332783C 99729P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，则X 分布列为：
X
0123
P
343729294729847298729
数学期望()22393
E X =⨯
=.20.如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．
（1）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME 与BN 是两条异面直线．
【正确答案】（1）6
3
；（2）详见解析.
【分析】（1）取CD 的中点G ，由面面垂直的性质定理，线面角的概念结合条件计算即得；（2）由题意假设共面，由//AB CD 推出//AB 平面DCEF ，再推出//AB EN ，从而得到//EN EF ，即推出矛盾，故假设不成立.【小问1详解】
取CD 的中点G 连结MG ，NG ．
因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以2MG CD MG ⊥=，，NG =．
因为平面ABCD ⊥平面DCEF ，平面ABCD ⋂平面DCEF DC =，MG ⊂平面ABCD ，所以MG ⊥平面DCEF ，所以MNG ∠即为直线MN 与平面DCEF 所成角，由NG ⊂平面DCEF ，可得MG ⊥NG ，
所以MN ==
sin
3MNG ∠=
=，即直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值为63
；【小问2详解】
假设直线ME 与BN 共面，则AB ⊂平面MBEN ，且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN ，由已知，两正方形不共面，故AB ⊄平面DCEF ，又AB ∥CD ，CD ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF ，而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线，所以AB ∥EN ，又AB ∥CD ∥EF ，则EN ∥EF ，这与=EN EF E ⋂矛盾，故假设不成立，
所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．
21.如图，,,,E F G H 分别是矩形ABCD 四边的中点，()()2,0,2,1F C ，
,CS CF OR OF λλ==
.
（1）求直线ER 与直线GS 交点M 的轨迹方程；
（2）过点()1,0I 任作直线与点M 的轨迹交于,P Q 两点，直线HP 与直线QF 的交点为J ，直线HQ 与直线PF 的交点为K ，求IJK △面积的最小值.
【正确答案】（1）221(04
x y x +=≠且1)
y ≠-
（2）【分析】（1）利用已知可得直线ER ，GS 的方程，消去参数，根据交点M 的变化即可求出
其轨迹方程.
（2）设PQ 方程：1x my =+，代入22440x y +-=，利用韦达定理表示出
12122243,44m y y y y m m --+==++，()12
123
4
my y y y =+，根据直线HP 和QF ，得出1162J y y x =+，同理根据直线HQ 和PF ，得到2
262K y y x =+，即可利用
()1
412
IJK
J K S
y y =
⋅-⋅-求出结果.【小问1详解】
由已知，()()2,0,2,1R S λλ-，()0,1E -，()0,1G ，当0λ≠时，直线ER 方程：1
12y x λ
=-，直线GS 方程：12
y x λ
=-
+，联立上述两方程消去λ得：2
214
x y +=，
当0λ=时，交点()0,1M 符合上述方程，又交点M 不可能为()0,1-，
故所求的轨迹方程为2
21(04
x y x +=≠且1)y ≠-.
【小问2详解】
设PQ 方程：1x my =+（依题意m 存在)，代入22440x y +-=得(
)
2
2
4230m y my ++-=，
()
2Δ1630m =+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，
121222
43,44m y y y y m m --+=
=++，()12123
4
my y y y =+，HP 方程：()1122y y x x =
++，QF 方程：()2222
y
y x x =--，联立上述两方程消去得：
()()()()()()122
12122121
1213
32324332214
y y y x y my y x x x y my y y y y +++++====---+-.
4x ∴=，
所以()4,J J y ，其中1
162
J y y x =
+，同理直线HQ 与直线PF 的交点()4,K K y ，其中2
262
K y y x =
+，()()(
)
2112
121218662233J K y y y y y y x x my my --=-==++++，(
)1
412
IJK
J K S
y y =
⋅-⋅-=≥0m =时取等号），
故IJK △的面积最小值为
PQ 的方程为1x =.
方法点睛：直线与椭圆位置关系的综合问题，主要从以下几个角度分析：（1）联立方程后，韦达定理的正确使用；（2）各点对应直线关系要分清；（3）数形结合思想的应用.
22.已知函数()()e ln 2a
f x x ax a a R =-+∈．
（1）判断()f x 在区间()e ，
+∞上的单调性；（2）若()f x 恰有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，证明：124
34x x a a
+>++．【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析
【分析】（1）求导得()e x ax
f x x
-'=，分两种情况：若0a ≤，若0a >，讨论()f x 的单
调性，进而可得答案．
（2）由（1）可知若()f x 有两个不同的零点，则0a >，且极大值e 0a f a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
e e e e ln e 2e ln 12a a a a a a
f a a a
a a
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
即e e ln 10a a
a ⎡⎤
⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，
当0a >时，又11e ln 20a
x ax a -+=，且22e ln 20a
x ax a -+=，两式相减可得
2121e ln ln a
x x x x a
-=-，不妨
设21x t x =，则1t >且21x tx =，()121ln e ln ln e 111
a a t t t t t x x a t t a t +⎛⎫+=⋅+=⋅ ⎪---⎝⎭，进而可得122e a
x x a
+>，要证12434x x a a +>++，即证22e 2a a >+，即可得出答案．【小问1详解】
解：()e e a a ax f x a x x
-'=-=，若0a ≤，则()'0f x >恒成立，
所以()f x 在()e +∞，
上单调递增，若0a >，当e 0a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当e a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，
时，()'0f x <，()f x 单调递减，下面判断e a a
与e 的大小关系，令()e (0)a
g a a a
=>，则()()2e 1(0)a a g a a a
-'=>，所以当()01a ∈，
时，()0g a '<，所以()g a 在()01，
上单调递减，当()1
a ∈+∞，时，()0g a '>，所以()g a 在()1+∞，
上单调递减，所以()()min e ()1e a
g a g a g a
=≥==，所以e e a
a
≥，即1e a a -≥，()*当且仅当1a =时，取等号，所以当0a >且1a ≠时，()f x 在e e a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在e a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，当1a =时，()f x 在()e ，
+∞上单调递减，综上所述，当0a ≤，()f x 在()e ，
+∞上单调递增，
当1a =时，()f x 在()e ，
+∞上单调递减，当0a >且1a ≠时，()f x 在e e a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在e a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
上单调递减．【小问2详解】
证明：由()1可知若()f x 有两个不同的零点，则0a >，且极大值e 0a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，e e e e ln e 2e ln 12a a
a a a a f a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，由不等式()*可得e e a a
>，所以e e ln 10a
a a ⎡⎤⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，所以当0a >时，e 0a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
恒成立，又11e ln 20a x ax a -+=，且22e ln 20a x ax a -+=，两式相减可得2121e ln ln a
x x x x a
-=-，不妨设21
x t x =，则1t >且21x tx =，所以()11e ln a t x t a
-=，即1e ln 1a t x a t =⋅-，所以2e ln 1
a t t x a t =⋅-，()121ln e ln ln e 111a a t t t t t x x a t t a
t +⎛⎫+=⋅+=⋅ ⎪---⎝⎭，设()()21ln 1
t h t t t -=-+，()22214(1)0(1)(1)
t h t t t t t -'=-=>++，所以()()10h t h ≥=，即()1ln 21
t t t +>-，
所以122e a
x x a
+>，由12x x <可得2e a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，要证12434x x a a
+>++，需要证22e 424a x a a a
+>++，只要证4e 44a a a a
≥++，即24e 44a a a ≥++，即22e 2a a >+，即证2e 12
a
a >+，由()*可证，所以12434x x a a +>+
+即证．关键点点睛：本题第二问关键是：由0a >时，函数有两个零点，由11e ln 20a x ax a -+=，
且22e ln 20a
x ax a -+=，两式相减可得2121e ln ln a x x x x a -=-，设21x t x =，1t >，构造()121ln e 1a t t x x a t ++=⋅-，进而得到122e a
x x a
+>，将12434x x a a +>++，转化为22e 2a
a >+证明而得解.。