2024中考压轴题05 圆的综合(5题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)

压轴题05
圆的综合目录
题型一切线的判定
题型二圆中求线段长度
题型三圆中的最值问题
题型四圆中的阴影部分面积
题型五圆中的比值（相似）问题
下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的
题型一切线的判定
解题模板：
技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）
【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，AB 为O 的直径，如果圆上的点D 恰使ADC B ∠=∠，求证：直线CD 与O 相切．
【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，CE 平分ACB ∠交O 于点E ，过点E 作EF AB ∥，交CA 的延长线于点F ．
求证：EF 与O 相切；
【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．
(1)求证：EF与O相切；
(2)若
4
1sin
5
BF AFE
=∠=
，，求BC的长．
【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD AE
⊥，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
(1)求证：CD是O的切线；
题型二圆中求线段长度
解题模板：
【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知AB为O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交O于点E，垂足为点D，AC平分BAD
∠．
(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若8AC =，6BC =，求DE 的长．
【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，点C 是AE 的中点，连接BC ，过点C 的直线垂直于BE 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点P ．
(1)求证：PC 为⊙O 的切线；
(2)若PC =，10PB =，求BE 的长．
【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在O 中，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，AD 为
CAB ∠的平分线交O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ．
(1)求BED ∠的度数；
(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG AF ∥交AB 于点G ．若AD =4DE =，求DG 的长．
【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，连接CO 交O 于点E ，
O 与AC 相切于点D ．
(1)求证：BC是O的切线；
(2)延长CO交O于点G，连接AG交O于点F，若AC FG的长．题型三圆中的最值问题
解题模板：
技巧精讲：
1、辅助圆模型
【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在O 中，AB 为直径，C 是O 上一点，3,4AC BC ==.过O 分别
作OH BC ⊥于点H ，OD AC ⊥于点D ，
点E 、F 分别在线段BC AC 、上运动（不含端点），且保持90EOF ∠=︒．
(1)OC =______；四边形CDOH 是______（填矩形/菱形/正方形）； CDOH S =四边形______； (2)当F 和D 不重合时，求证：OFD OEH ∽；
(3)⊙在图1中，P 是CEO 的外接圆，设P 面积为S ，求S 的最小值，并说明理由；
⊙如图2：若Q 是线段AB 上一动点，且1QA
QB n =∶∶，90EQF ∠=︒，M 是四边形CEQF 的外接圆，则当n 为何值时，M 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径4AB =，弦CD AB ∥，连接,,,AC BD AD BC ．
(1)求证：ADC BCD △≌△；
(2)当ACD 的面积最大时，求CAD ∠的度数．
【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段AB ，AC ，线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转，连接BC ，以BC 为边在BC 上方作Rt BDC ，且30DBC ∠=︒．
(1)若=90BDC ∠︒，以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △，且90AEB ∠=︒，30EBA ∠=︒，连接DE ，用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是 ；
(2)如图2，在(1)的条件下，若DE AB ⊥，4AB =，2AC =，求BC 的长；
(3)如图3，若90BCD ∠=︒，4AB =，2AC =，当AD 的值最大时，求此时tan CBA ∠的值．
【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】
如图
1，在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，BC =ABC 的外接圆的半径值为______； 【问题解决】
如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且90BPC ∠=︒，若4AB =，求AP 的最小值； 【问题解决】
如图3，正方形ABCD 是一个边长为的书展区域设计图，CE 为大门，点E 在边BC 上，CE =，点P 是正方形ABCD 内设立的一个活动治安点，到B 、E 的张角为120︒，即120BPE ∠=︒，点A 、D 为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q ，使得Q 到A 、D 、P 三个治安点的距离和最
小，试求QA QD QP ++的最小值．（结果精确到0.1m 1.7≈，214.3205≈）
题型四 圆中的阴影部分面积
【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.
(1)求证：AB 是O 的切线； (2)若6AB =，求阴影部分的面积
【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ．
(1)若P 是CD 上的动点，连接BP ，FP ，求BPF ∠的度数；
(2)已知ADF △的面积为O 的面积．
【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90,ACB O ∠=︒为AC 边上一点，连结OB ．以
OC 为半径的半圆与AB 边相切于点D ，交AC 边于点E ．
(1)求证：BC BD =．
(2)若,2OB OA AE ==．
⊙求半圆O 的半径．
⊙求图中阴影部分的面积．
【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，AB 是O 的直径，
点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．
(1)求证：DE 是O 的切线．
(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．
【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，AB 为O 的直径，点C 是AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．
(1)求证：CE 是O 切线；
(2)若34BE AB ==，，求BC 的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．
题型五 圆中的比值（相似）问题 技巧精讲：
【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB 为O 的直径， 点 D 为O 上一点， 过点 B 作O 切线交AD 延长线于点 C ，CE 平分ACB ∠，CE BD ，交于F ．
(1)求证：BE BF =；
(2)若O 半径为2，3sin 5
A =，求DF 的长度． 【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，A
B 是O 的直径，点
C ，
D 在O 上，AD 平分CAB ∠，交BC 于点
E ，连接BD ．
(1)求证：BED ABD △△．
(2)当3tan 4
ABC ∠=，且10AB =时，求线段BD 的长．
(3)点G 为线段AE 上一点，且BG 平分ABC ∠，若GE =，3BG =，求CE 的长．
【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径CD 与O 相切于点C ，与BA 的延长线交于点D ，连接BC ，点E 在线段OB 上，过点E 作BD 的垂线交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．
(1)求证：FC FG =；
(2)若220AO AD ==，点E 为OB 的中点，求GE 的长．
【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与,A B 不重合），
CD AB ⊥且CD AB =，连接CB ，与O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使EF 与O 相切．
(1)求证：EF EC =；
(2)若D 是OA 的中点，4AB =，求BF 的长．
一、解答题
1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 是O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，F 为CE 的中点，连接BD ，DF ，BD 与AC 交于点P ．
(1)求证：DF 是O 的切线；
(2)若45DPC ∠=︒，228PD PB +=，求AC 的长．
2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，PO 平分APD ∠，PA 与⊙O 相切于点A ，延长AO 交PD 于点C ，过点O 作OB PD ⊥，垂足为B ．
(1)求证：PB 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为4，5OC =，求PA 的长．
3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l 与O 相离，OA l ⊥于点A ，交O 于点 P ，点 B 是O 上一点，连接BP 并延长，交直线l 于点 C ，使得AB AC =．
(1)判断直线AB 与O 的位置关系并说明理由；
(2)4PC OA ==，求线段 PB 的长．
4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP 与O 相切于点
A ，弦A
B CD ⊥于点F ，过D 点作DE AP ⊥于点E ．
(1)求证：∠∠EAD FAD =；
(2)若4PA =，2PD =，求O 的半径和DE 的长．
5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．
(1)求证：DE 是O 的切线；
(2)若30A ∠=︒，3DF =，求CE 长．
6．（2024-山东泰安-一模）如图，AB CD ，是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC BD ，．
(1)求证：ABD CAB ∠=∠；
(2)若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．
7．（2024-福建南平-一模）如图1，点D 是ABC 的边AB 上一点．AD AC =，CAB α∠=，O 是BCD △的
外接圆，点E 在DBC 上（不与点C ，点D 重合），且90CED α∠=︒-．
(1)求证：ABC 是直角三角形；
(2)如图2，若CE 是⊙O 的直径，且2CE =，折线ADF 是由折线ACE 绕点A 顺时针旋转α得到． ⊙当30α=︒时，求CDE 的面积；
⊙求证：点C ，D ，F 三点共线．
8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．
(1)求证：=DCE DBC ∠∠；
(2)若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．
9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，AB 为O 的直径，DA 和O 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．
(1)求证：CD 是O 的切线；
(2)求证：2AC PC BC ⋅=；
(3)已知23BC FP DC =⋅，求
AF AB
的值．
10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．
(1)求证：EF 为O 的切线．
(2)若10BE =，2sin 3
BDC ∠=
，求O 的半径．
11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D ，E 在以AC 为直径的O 上，ADC ∠的平分线交O 于点B ，连接BA ，EC ，EA ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于点F ．
(1)求证：2AE AF AD =⋅；
(2)若sin 5ABD AB ∠==，求AD 的长． 12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点（点C 不与点A ，B 重合），连接AC 、BC ，点D 是AB 上的一点，AC AD =，BE 交CD 的延长线于点E ，且BE BC =．
(1)求证：BE 是O 的切线；
(2)若O 的半径为5，1tan 2E =
，则BE 的长为______ ．
13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．
(1)求证：CD 是O 的切线；
(2)求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；
(3)若4sin 5DEA ∠=，求AH FH
的值．
14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD ，DE ．
(1)求证：DE 是O 的切线；
(2)若2DE =，1tan 2
BAC ∠=，求AD 的长；
(3)在（2）的条件下，点P 是O 上一动点，求PA PB +的最大值．
15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以BC 为直径作O 与AC 交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，交CB 延长线于点F ，垂足为点E ．
(1)求证：DF 为O 的切线；
(2)若3BE =，4cos 5
C =
，求BF 的长．。