浙江省嘉兴一中10-11学年高二10月月考 数学

嘉兴市第一中学2010学年第一学期10月月考
高二数学 试题卷
满分[100]分 ，时间［120］分钟 2010年10月
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是（ ）
A ．经过三点确定一个平面
B ．两条直线确定一个平面
C ．四边形确定一个平面
D ．不共面的四点可以确定4个平面 2．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（ ）
A.（1）（2）
B.（2）（3）
C.(3)(4)
D.(1)(4) 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BA 与1CC 所成的角为（ ）
A ．0
30 B ．0
45 C ．0
60 D ．0
90
4．如图Rt O A B '''∆是一平面图形的直观图，直角边2O B ''=， 则这个平面图形的面积是（ ）
A ．
B ．1
C
D ．
5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1：V 2=（ ）
A. 1：3
B. 1：1
C. 2：1
D. 3：1
6．如图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则
其体积是（ ）
A B ．
C D ． 83
7．平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A ．α内有无穷多条直线与β平行；
B ．直线a//α,a//β
C ．直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//α
D ．α内的任何直线都与β平行
8．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得a BD =,则三棱锥D —ABC 的体积为（ ）
A ．63a
B ．12
3a C ．1233
a D ．1223a
9．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，E F 、分别为AB 、A 1C 1
的中点，则EF
的长是（ ）
A ．2
B C
10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直
底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，
E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）
A ．1CC 与1
B E 是异面直线 B ．A
C ⊥平面11ABB A C ．AE ,11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥
D ．11//AC 平面1AB
E 11．如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的
角分别为
4π和6
π。

过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、B '，若AB=12，则''A B =
（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．9
12．如图，在三棱柱'''ABC A B C -中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面
''EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分，那么12:V V 为（ ） A ．3：2 B ．7：5
C ．8：5
D ．9：5
二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题
纸上)
13．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 ． 14. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为____ _________. 15．若正方体外接球的体积是
π3
32
，则正方体的棱长等于 ．
16．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径
相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．
17．如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，
AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值
是 .
18．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；
⑤若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ．
A E
B C
F
A'B'C'V V 1
2
第12题
A'
B'A B β
α
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题 (本大题共6小题, 共46分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 19．（本题满分6分）
（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积
20.（本题满分8分）
将圆心角为1200
，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.
21.（本题满分8分） 如图，在直三棱柱111ABC
A B C -中，E,F 分别是11A B,AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥
求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC
（Ⅱ）平面1A FD ⊥平面11BB C C
22.（本题满分8分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC
===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；
（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值。

23.（本题满分8分）
如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A ，B 的
任意一点，A 1A= AB=2.
（Ⅰ）求证: BC ⊥平面A 1AC ；
（Ⅱ）求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
24.（本题满分8分）
在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）。

将△AEF 沿EF 折起到EF A 1 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2） （Ⅰ）求证：A
1E ⊥平面BEP ； （Ⅱ）求二面角A 1－BP －E 的大小。

嘉兴市第一中学2010学年第一
学期10
月月考 高二数学 答题卷
一、选择题：(每小题3分，共36分)
二、填空题：(每小题3分，共18分)
13. 14.
15. 16.
17. 18.
三、解答题：(本大题共6小题，共46分) 19．（本题满分6分）
（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积
线 内 不 准 答 题
20.（本题满分8分）
将圆心角为1200
，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.
21.（本题满分8分） 如图，在直三棱柱111ABC
A B C -中，E,F 分别是11A B,AC 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥ 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC
（Ⅱ）平面1A FD ⊥平面11BB C C
22.（本题满分8分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC
===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；
（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值。

23.（本题满分8分）
如图，A 1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A= AB=2. （Ⅰ）求证: BC ⊥平面A 1AC ；
（Ⅱ）求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.
24.（本题满分8分）
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。

将△AEF 沿EF折起到EF
的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
A
1
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求二面角A1－BP－E的大小。

嘉兴市第一中学2010学年第一学期10月月考
高二数学参考答案及评分标准
二、填空题：(每小题3分，共18分)
13. 平行或相交（直线b 在平面α外） 14. 15
15. 3
3
4 16. 4
17.
4
18. ①④
三、解答题：(本大题共6小题，共46分) 19．（本题满分6分）
解：设圆锥的地面半径为R,圆柱的底面半径为r ，表面积为S ， 则由三角形相似得r=1 （2分）
=2S S π∴底表，，
.S π∴=（ （6分）
20.（本题满分8分）
解：设扇形的半径为R ，圆心角为α，弧长为l ,面积为s ；圆锥的底面半径为r ，高为h,表面积为S ，体积为V ，
21
3,32,2,1,2s R R l R r l r h απαππ==∴=∴==∴=∴=∴=，
234S r πππ∴=+= （4分） 3
V =
（8分） 21.（本题满分8分）
证明：（1）因为E,F 分别是11A B,AC 的中点，所以EF //BC ，又EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，
所以EF ∥平面ABC ； （4分） （2）因为直三棱柱
111ABC A B C -，所以1111
BB A B C ⊥面，11BB A D ⊥，又11A D B C ⊥，所以
111AD BC C ⊥面B ，又11
AD AFD ⊂面，所以平面1A FD ⊥平面11BB C C 。

（8分） 22.（本题满分8分）
（I ）因为N 是PB 的中点，PA AB =，所以AN PB ⊥. 因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥，从而PB ⊥平面ADMN .因为DM ⊂平面ADMN ，所以PB DM ⊥. （4分）
（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则//BG CD ， 所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等. 因为PB ⊥平面ADMN ，所以BGN ∠是BG 与平面ADMN 所
成的角.
在Rt BNG ∆中，sin 5
BN BGN BG ∠=
=，
故CD 与平面ADMN 。

（8分） 23.（本题满分8分）
证明:∵C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径， ∴BC ⊥AC, ∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥BC ， ∵AA 1∩AC=A ，AA 1⊂平面AA 1 C ，AC ⊂平面AA 1 C ， ∴BC ⊥平面AA 1C. （3分）
(2)设AC=x ，在Rt △ABC 中， BC =
=故
1A -ABC ABC 111111
V =S AA AC BC AA 3323⋅=⋅⋅⋅⋅= （５分）
即1A -ABC 1V =3==∵0<x<2，0<x 2
<4，∴当x 2
=2，
即x =
时，三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为2
3
. （８分）
24.（本题满分8分）
解：不妨设正三角形的边长为3，则 （I ）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ，
∵AE ∶EB=CF ∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o
，∴△ADF 为正三角形。

又AE=DE=1，∴EF ⊥AD 。

在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的一个平面角， 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE 。

又BE EF=E ，∴A 1E ⊥面BEF ，即A 1E ⊥面BEP 。

（II ）在图2中,过E 点作BP 的垂线，并交BP 于G 点，连接A 1G ，由（I ）知A 1E ⊥平面BEP ，∴∠ A 1GE 即为二
面角A 1－BP －E 的平面角，又A 1E=1，tan ∠A 1GE=3，∴∠A 1GE=6π，即所求为6
π。