备战208年高三数学 回扣突破30练 第05练 导数与定积分 理

第5练 导数与定积分
一。

强化题型考点对对练
1。

（导数的几何意义）【2018届山东省菏泽期中】已知函数()1x
f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在
与直线少y ex =垂直的切线，则实数m 的取值范围是( ) A 。

1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 。

1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. (),e +∞ 【答案】B
2．（导数的几何意义与不等式的结合）已知正数,a b 满足4a b +=，则曲线()ln x
f x x b
=+在点()(),a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 A. ,4π⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭ B. 5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C 。

,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ,43ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】设曲线在点()()
,a f a 处的切线的倾斜角为α，则()1122
tan '12
f a a b a b ab
α==
+≥≥=+,故
4
2
π
π
α≤<
．故选C.
3. （导数的几何意义与不等式的结合）设函数()2
32(0)2
f x x ax a =->与()2
g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（ ） A 。

212e B. 212e C. 1e D 。

2
3
2e -
【答案】A
【解析】设公共点坐标为()00,x y ，则()()2
'32,'a f x x a g x x
=-= ，所以有()()00''f x g x = ，即
2
00
32a x a x -= ，解出0x a = （03x a =-舍去)，又()()000y f x g x == ,所以有220
0032ln 2x ax a x b -=+ ,故2200032ln 2b x ax a x b =
-=+ ，所以有221
ln 2
b a a a =-- ,对b 求导有()'21ln b a a =-+ ,故b 关于a 的函数
在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 为增函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
为减函数,所以当1a e =
时b 有最大值21
2e
,选A 。

4。

（导数的几何意义与奇偶性的结合）已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2
1
ax f x x =+.若曲线()y f x =在
点()()
1,1f --处切线的斜率为—1，则实数a 的值为（ ） A ．34-
B ．43
C 。

32
D ．32
- 【答案】B
5．(定积分的计算与运用）设实数2log 3a =， 1
3
1
log 2
b =， 0
1
sin c xdx
π
=⎰，则（ ）
A 。

b a c >> B. b c a >> C. a b c >> D 。

a c b >> 【答案】C
【解析】221
33
1
log 3log 21,0log log 212
a b =>=<==< , 而()()()0
sin cos |
cos cos020
dx x π
π
π=-=---=⎰
，所以12c =
, 331
log 2log 32
>= ,所以a b c >> ,选C. 6．（定积分的计算与运用）【2018届湖南师大学附中月考（三）】已知函数()2,01,
{ 1
,1,x x f x x e x
≤<≤≤（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为( ） A.
43e B 。

23e C. 23 D. 2e
【答案】C
7。

（导数几何意义）已知函数2y x =的图象在点()
2
00,x x 处的切线为l ,若l 也与函数ln y x =， ()0,1x ∈的图象相
切，则0x 必满足( ） A 。

0102x << B 。

0112x << C 。

0222
x << D 。

023x << 【答案】D
【解析】设l 与函数ln y x =， ()0,1x ∈的图象的切点为()11,ln x x ,则由'2'
1(ln ),()2x x x x
=
=得()2
1001110
ln 12,0,1x x x x x x x -==∈-，所以22
000010111,1ln ,1ln20222x x x x x x =>=---=.令()21ln2h x x x =--,
则()()21ln2
20,32ln2
30,h
h
=-=-由零点存在定理得(
)
02,3x ∈
,选D 。

8。

（导数的几何意义）【2018届山东省德州期中】 函数()cos x
f x e x =+的图像在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( ) A. 2 B. 4 C 。

12 D. 3
2
【答案】A
9。

（导数的几何意义）【2018届福建省福州期中】已知函数()()()23
2
22,0{
33,0
x a x x f x x a x ax x -+-≤=-++>，
若曲线()y f x =在点()()
,i i i P x f x ，( 1,2,3i =,其中123,,x x x 互不相等)处的切线互相平行,则a 的取值范围是__________. 【答案】()1,2- 【解析】函数()()
()()()22
3
2
222,022,0{
,'{
361,0
33,0
x a x x a x x f x f x x a x a x x a x ax x -+-≤-+-≤=∴=-++>-++>， 曲线()
y f x =在点()()
,(1,2,3i i i P x f x i =，其中123,,x x x 互不相等)处的切线互相平行，即()'y f x =在点()()
,i i i P x f x 处的值相等，画出导函数()'y f x =的图象,如图，
当0x ≤时， ()'22222f x x a a =-+-≥-, ∴当0x >时,
()'f x 必须满足， 22
{
,1210
a a a a >-∴-<<+>，故答案为()1,2-.
10（导数的综合应用)已知函数f(x)=x 2−2x +alnx(a >0). （1）当a =2时，试求函数图像过点(1,f(1))的切线方程；
(2)当a =1时，若关于x 的方程f(x)=x +b 有唯一实数解,试求实数b 的取值范围；
（3)若函数f(x)有两个极值点x 1、x 2(x 1<x 2)，且不等式f(x 1)≥m ·x 2恒成立,试求实数m 的取值范围.
【解析】（1）当a =2时，有f(x)=x 2−2x +2lnx .∵f ′(x)=2x −2+2x
=2(x 2−x+1)
x
，∴f ′(1)=2，
∴过点(1,f(1))的切线方程为：y +1=2(x −1)，即2x −y −3=0。

（2）当a =1时，有f(x)=x 2−2x +lnx ，其定义域为：{x|x >0},从而方程f(x)=x +b 可化为：b =x 2−3x +
lnx ，令g(x)=x 2−3x +lnx ，则g ′
(x)=2x −3+1
x
=
2x 2−3x+1
x ，由g ′(x)>0⇒x >1或0<x <1
2
；g ′(x)<
0⇒1
2<x <1.∴g(x)在(0,1
2)和(1,+∞)上单调递增,在(1
2,1)上单调递减，且g(1
2)=−5
4
−ln2,g(1)=−2，又
当x →0时，g(x)→−∞；当x →+∞时，g(x)→+∞。

∵关于x 的方程b =x 2−3x +lnx 有唯一实数解，∴实数b 的取值范围是：b <−2或b >−5
4−ln2。

（3）∵f(x)的定义域为：{x|x >0},f ′
(x)=2x −2+
a
x
=2x 2−2x+a
x
.令f ′(x)=0⇒2x 2−2x +a =0.又∵函
数f(x)有两个极值点x 1、x 2(x 1<x 2)，∴2x 2−2x +a =0有两个不等实数根x 1、x 2(x 1<x 2)，∴Δ>0⇒
0<a <1
2，且x 1+x 2=1,a =2x 1−2x 12
，从而0<x 1<1
2<x 2<1.由不等式f(x 1)≥m ·x 2恒成立⇒m ≤
f(x 1)x 2
=
x 12−2x 1+alnx 1
x 2
恒成立,
∵
f(x 1)x 2
=
x 12−2x 1+(2x 1−2x 12)lnx 1
x 2=(1−x 1)−11−x 1
+2x 1lnx 1,令h(t)=1−t −11−t +2tlnt(0<t <1
2),∴
h ′(t)=1−1
(1−t)2+2lnt <0，当0<t <12时恒成立，∴函数h(t)在(0,12)上单调递减，∴h(t)>h(12)=−3
2−ln2，故实数m 的取值范围是：m ≤−3
2−ln2。

二.易错问题纠错练
11。

(不能灵活分析问题和解决问题而致错）设函数f(x)=(x +b)lnx ,g(x)=alnx +1−a 2
x 2−x(a ≠1)，
已知曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x +2y =0垂直。

（1）求b 的值；
(2)若对任意x ≥1，都有g(x)>
a a−1
,求a 的取值范围。

（2)g(x)的定义域为(0，+∞)，g′(x)=
a
x
+(1−a)x −1=
1−a x
(x −a 1−a )(x −1)，①若a ≤12，则a
1−a ≤1，
故当x ∈(1，+∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增。

所以，对任意x ≥1，都有g(x)>a a−1
的充
要条件为g(1)>
a
a−1
,即
1−a 2
−1>a a−1,解得a <−√2−1或√2−1<a ≤1
2.
②若12
<a <1，则
a
a−1
>1，故当x ∈(1，a
1−a )时，g′(x)<0；当x ∈(a
1−a ，+∞)时，g′(x)>0，f(x)在(1，a
1−a
)上单调递减，在(a
1−a ，+∞)上单调递增。

所以，对任意x ≥1，都有g(x)>a
a−1的充要条件为g(a
1−a )>a
a−1，
而g(
a 1−a
)=aln a
1−a +a 2
2(1−a)+a a−1>a a−1在12<a <1上恒成立,所以1
2<a <1。

③若a >1，g(x)在[1，+∞)上递减,不合题意.综上,a 的取值范围是(−∞，−√2−1)∪(√2−1，1)。

【注意问题】利用导数可以研究函数的单调性、最值，解题时候要注意导函数的零点和导函数的符号，有时可将目标不等式等价变形。

12。

（解题时由于目标不明确而致错）设函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)。

(1）求曲线y =f(x)在点A(1,f(1))处的切线L 的方程，并证明：除A 点外，曲线y =f(x)都在直线L 的下方； (2）若函数ℎ(x)=e x +f(x)在区间(1,3)上有零点，求a 的取值范围。

故除点A 外，曲线y =f(x)都在直线L 的下方. （2）ℎ(x)=e x
+f(x)在区间(1,3)上有零点,即a =e x +lnx x
在x ∈(1,3)上有实数解,
设F(x)=
e x +lnx x ,则F ′
(x)=
e x (x−1)+1−lnx
x 2
,设g(x)=e x (x −1)+1−lnx ，则g ′(x)=x(e x −1
x
2),
数形结合得函数y =e x −1
x
2(x >0)的零点在(0,1)上，且y >0在(1,3)上恒成立，所以g ′(x)>0，即g(x)在
(1,3)上单调递增，所以g(x)>g(1)=1，则F ′(x)>0在(1,3)上恒成立,
所以F(x)在(1,3)上递增，所以F(x)∈(e,
e 3+ln33
)，所以a ∈(e,
e 3+ln33
).
【注意问题】函数的零点是体现函数性质重要的特征之一，解决此类问题的关键是通过求函数的极值、最值和单调区间，通过判断函数大致图像. 三.新题好题好好练 13．已知曲线3
1()20173
f x x =
+上任意一点(,)P x y 处的切线的斜率为()h x ，则函数()()cos 1g x h x x =+的部分图象可以为( ）
【答案】A
14．曲线2
2()1a f x x =
-、直线2x =、3x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是3
2ln 2
，则实数a 的值为（ ) A ．－2 B ．2 C ．1 D ．－1 【答案】B
【解析】因11()()11
f x a x x =--+，故333
222()()[ln(1)ln(1)]|11a a f x dx dx a x x x x =-=--+-+⎰⎰ 3
21113
ln (ln ln )ln 1232
x a a a x -==-=+，则由33ln 2ln 22a =，解得2a =，故选B ．
15．【2018届甘肃省会宁第三次月考】设函数()()2
g f x x x =+,曲线()y g x =在点()()
1,1g 处的切线方程为
21y x =+,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）
A 。

2
B 。

14- C. 4 D. 1
2
- 【答案】C
【解析】对函数()()2
f x
g x x =+,求导可得()()''2f x g x x =+，∵()y g x =在点()()
1,1g 处的切线方程为
21y x =+，∴()12g '=,∴()()'1'121224f g =+⨯=+=，∴()y f x =在点()()1,1f 处切线斜率为4,故选C.
16．【2018届广东省阳春一中第三次月考】设点P 为函数()2
122
f x x ax =
+与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ）
A. 3423e
B. 3
432e C 。

23
43e D 。

2334
e
【答案】D
17．已知函数21()ln 2f x x x x =++在1x =的切线斜率为t ，[](]
2
221,,03(),0,x t x t g x t x x t ⎧-+∈-⎪=-∈，则
()3
3
f x -=⎰___________．
【答案】964
π+
【解析】由1()1f x x x '=++，得3t =，所以[](]
2
213,3,03()9,0,3x x g x x x ⎧-+∈-⎪=⎨⎪-∈⎩
，所以3
03223301()393g x dx x dx x dx --⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，其中639133103303
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎰x x dx x ，其中dx x ⎰-3029由定积分的几何意义可知，其表示半径为3的圆的面积的41,即4
9π
，故()33964f x dx π-=+⎰，
18．已知曲线1C ：2
4()1
x
f x x x =++，曲线2C :()cos
g x ax x =-，若对于曲线1C 上任意一点的切线1l ，在曲线2C 上总存在与1l 垂直的切线2l ,则实数a 的取值范围是___________． 【答案】3[,4]2。