经济数学基础(微积分)讲义全

经济数学微积分学习讲义
合川电大兰冬生
知识点一：5个基本函数
1，常数函数，c y = （c 是常数）
例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。

2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，
注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此
3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。

4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”
这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，
e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是
x y 10log =的简写。

5，三角函数x y sin =，x y cos =，
特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。

● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成
632-+=x x y 。

知识点二：极限
1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数
列。

数学符号记为：}{n a
例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 2
1
变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限
学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）
例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001
，
100000000
1
，……，最后，这个无限数列趋近于0，
这里，我们简单描述这个变化，
∞→n
01
→n
分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。

是指数轴
的最远端。

用极限式写为：
1=n 例如：
1，21，41，81，……，这个数列由n 21
，n 取0,1,2,3,4，……得到，
∞→n
∞→n 2
021
→n
分母越大，分数越小 用极限式写为
1lim =∞→n
例：求极限11
lim
+∞→n
n 分析：∞→n
01
→n 111
→+n
所以，解为
解：11
lim +∞→n
n =1 例：求极限n n n 3
2lim +∞→
分析：n n n 32lim +∞→可变为n n n n 32lim +∞→，继续n n 3
2lim +∞→
∞→n
03
→n
分子是数，分母是无穷大，一个固定数与无穷大相比，固定数显得太小太小，忽略不计， 23
2→+
n
不是所有数列都有极限，
极限存在是指数列趋近于一个固定数，不趋近一个数，说极限不存在。

例如：∞→n 时，∞→n 2，所以n n 2lim ∞
→不存在，
极限存在，称数列收敛，不存在，称为发散。

函数的极限，就是把前面的n 看成是可取任何数的x 就可以了。

例如：求极限x
x x 3
2lim
+∞→，
分析：理解为∞→x 时，?3
2→+x
x
x x x x x x 3
23232+=+=+ ∞→x 03
→x 分母越大，分数越小 23
2→+x
所以23
2lim =+∞→x x x
函数在某一点的极限 如图：函数x
y 1
=
函数在这一点1=x 不取值，x 的取值可无限靠近1，于是就有函数在一点的极限，
x
x 1lim 1→这个极限的意思是：
1→x 当x 无限靠近1时，也说x 趋近1 ?1→x x
1
趋近于多少 从图上看得出y 值x 1
趋近于1
函数在一点的极值记为：
A x f x x =→)(lim 0
，A 是函数)(x f y =在点0x 处的极限值，是一个趋近值。

例：求极限1
1
lim 21--→x x x ，
这是一类直接带入分母为0的极限，这类极限需要分解因式约去为0分母，然后直接带入求值。

分析：直接带入，分母为0，于是对分子分解因式，
11
)1)(1(112+=--+=--x x x x x x ，所以，11
lim 21--→x x x =
lim 1→x
x 考题分析：
计算极限22412
lim 54
x x x x x →---+。

解：3
7
)1)(4()3)(4(lim 4512lim 42
24=--+-=+---→→x x x x x x x x x x 计算极限22256
lim 68
x x x x x →-+-+。

解：2
1
43lim )4)(2()3)(2(lim 8665lim 222
22=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 计算极限)4
4
21(
lim 22
---→x x x 解 )4
4
21(
lim 22
---→x x x =)44)2)(2(2(
lim 22--+-+→x x x x x = )2)(2(2lim
2-+-→x x x x = 4
1
)2(1lim
2=+→x x *：求函数在某一点的极限：1，带入分母不为0，就直接带入求值。

2，带入分母为0，先分解因式，约掉为0分母，然后带入求值。

关于∞→x 求极限的一般方法 比较分子和分母最高次项系数，
1，分子最高次项指数小于分母最高次项指数，极限为0 2，分子最高次项指数等于分母最高次项指数，极限为系数比 3，分子最高次项指数大于分母最高次项指数，极限不存在
例：求极限lim →x 分析：当∞→x 时，3x 远比2x 大。

比3x 指数小的，都可以视为0，因此，这个极限分母远比分子大，极限值是0。

也可以对11lim 32
++-∞→x x x x 分子分母同除以3x ，得1
1lim 32
++-∞→x x x x =3
3
211111lim x
x x x x ++-∞→，当∞→x 时，01→x ，012→
，01
3
→。

所以，此题极限是0.
例：求极限lim →x 分析，比3x 指数小的，都可以视为0，常数直接去掉。

所以此题极限是最高次项
系数比3
2
，也可以分子分母同除以3x 。

解：12322lim 33-++-∞→x x x x x =3
2
例：求极限1
22lim 23-+∞→x x x
分析，显然，分子最高次数为3，当∞→x 时，分子远大于分母，次极限不存在。

归纳为如下：⎪⎪⎩=++++++----∞→b x
b x b a x a x a m m m m m n n n n x lim 011011ΛΛ
解此类题只看最高次项，直接写答案。

考题举例：
求极限22235
lim 321x x x x x →∞--+-
解：22235lim 321x x x x x →∞--+-=3
2
求极限 ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x
解：23
))32)(1()23()21(lim 625-=--++-∞→x x x x x x
两个重要极限：（这两个是公式，直接使用！）
1，1sin lim 0=→x x x ，或 1sin lim 0=→x x
x ，考试常现，希望注意，现以考题作讲解。

公式应理解为[
[
][]
1sin lim
=，或[][]1lim =，括号[]里面填任何变量都可以，
例：求极限x lim 0→分析：通过变形，达到[]内相同，x x x 5sin lim 0→=555sin lim 0⋅→x
x
x ，因为，0→x 时05→x ，
所以x x x 5sin lim 0→=x x x 55sin 5lim 0→=x lim 05→
例，求极限0sin lim x x x
x
→-分析：0sin lim x x x x →-=x lim →也可以0sin lim x x x x →-=x x lim 0→ 例，x
x
x 5sin 3sin lim
0→ 解：原式=53
11535sin 33sin lim
5
35355sin 33sin lim 00=⨯=⨯
=⨯→→x x x
x x x x x x
也遵循乘法可分原则
2，e x
x x =+∞→)1
1(lim 或 e z z z =+∞→1
)1(lim
这个公式e x
x x =+∞→)1
1(lim 都要理解成[][][]e =+∞→)11(lim ，只要[]里一样，极限值就
是e 718.2=e
次类考得少，只举一个简例， 例求极限x
x x
)211(lim +
∞
→ 分析：x x x )211(lim +∞→=2
12)211(lim ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+∞→x x x =21
2
12)
11(lim e x =⎤⎡+
知识点： 无穷大量与无穷小量，此考点经常考，其实简单，极限值是0的就是
无穷小量，极限值是0的就是无穷小量。

极限值是无穷大的就是无穷大量。

考题举例
例：1，已知x
x
x f tan 1)(-
=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量． 2，已知x
x
x f sin 1)(-=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量． 3，设()1sin x
f x x
=
-，当（ A ）时，f(x)为无穷小量． A ．x →0 B ．x →1 C ．x →-∞ D ．x →+∞ 4，当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）
A ．)1ln(x +
B ． 12+x x
C ．2
1
e x - D ． x
x
sin
5，已知1tan )(-=x
x
x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量.
A. x →0
B. 1→x
C. -∞→x
D. +∞→x
6，当1x →时，变量（ D
）为无穷小量。

A ．
1
1
x - B ．
sin x
x
C ．5x
D ．ln x
7，当0x →时，变量（ D ）是无穷小量。

A ．
1
3x
B ．
sin x
x C ．ln(2)x +
D ．1
sin x x
函数的连续
x 可以再一段数上面都取得到，称函数在这一段数上面连续，例如，x
y 1=
在21<<x 这一段数上面连续，但在11<<-x 这段数上面不连续，因为x 取不到0. 以下用考题来分析，
1，函数sin ,0(),0
x
x f x x k x ⎧≠⎪
=-⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( B )．
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
2．函数sin ,0(),0
x
x f x x k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C )．
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧
=≠+=0
,10
,1sin )(x x k x
x x f 在x = 0处连续，则=k （ A ）． A. 1 B. 0 C. 2 D.1-
4．函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+-=0,0,211)(x k x x
x
x f 在x = 0处连续，则k = ( B )． 5．若函数21, 0
(), 0
x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩，在0x =处连续，则k = ( B )．
A ． 1-
B ．1
C ．0
D ．2
6．已知211()1
1x x f x x a x ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩，若f(x)在（-∞，++∞）内连续，则a= 2 ．
7．已知⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=1
11
1)(2x a x x x x f ，若f x ()在x =1处连续，则=a 2 .
此类题目就是对上面一个式子求当x 不等于那个数时的极限。

1，求x x x -→sin lim
0 2，求x x x sin lim 0→ 3，求k x
x x +→1
sin lim 0=下面1时k 的值，4，求
x x x 211lim 0+-→，5，求1lim 2
0+→x x ，6，求11lim 21--→x x x ，7，求1
1lim 21--→x x x 分析：sin ,0(),0x
x f x x k x ⎧≠⎪
=-⎨⎪=⎩要使得函数连续，必须要上面的极限等于下面的k ，
具体意义请参看教材中“函数的连续性”一节。

另外补充，找函数不连续的点，一般可以理解为找函数无意义的点，比如
1
1
2
-=x y 间断点（就是不连续点）是分母为0的点1-=x 和1=x
求函数定义域：
函数的定义域就是指使得式子有意义的x 的取值范围。

一些常见的式子有意义的条件： 1，分母不等于0；
2，开平方：根号里面大于等于0，如果根号在分母下面，一定不要使分母是0了。

3，对数里面必须大于0，例如：x y 2log =，x 的位置必须大于0，x ln 中，x 位置必须大于0，若x lg ，x ln ，x a log 作分母，x 位置还不能取1
考题举例：
1．函数()
1lg +=
x x
y 的定义域是（ D ）．
A ．1->x
B ．0≠x
C ．0>x
D ．1->x 且0≠x
2
．函数ln(2)y x =++
( A ）． A ．(2,4)-
B ．(2,4)(4,)-+∞U
C ．(,4)-∞
D ．(2,)-+∞
3．函数y x x =
+--1
13ln()
的定]义域是 （-1,，0）⋃（0,3] ．)
4.函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=2
0,10
5,2)(2x x x x x f 的定义域是 ]2,5(-- ．
5．函数2e ,50
()1,02
x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩的定义域是
[-5，2] .．
6．函数)
1ln(42
+-=x x y 的定义域是 ]2,1(-.
7．函数1
1
42++
-=
x x y 的定义域是 ]2,1()1,2[---Y 8．函数()
x x y --+=
31ln 1
的定义域是 ()
⋃-0,1（0，3].
9．函数()2
f x x =-的定义域是 (,2](2,)-∞-
+∞U ．
10．函数1
()ln(3)
f x x =
++的定义域是 (-3,-2)(-2,3]⋃ ．
详细讲解2,3题， 解2，要使得ln(2)y x =+根号里面0≥，结合分母不能是0，有04>-x 同时还要满足x ln ，x 位置大于0，即02>+x ，所以有x >4并且2->x ，合起来就是42<<-x
(2,4)-是区间表示，(2,4)-=42<<-x
3，要使得y x x =
+--1
13ln()
有意义，根号里面大于等于0，03≥-x ，得x ≥3，x ln ，
x 位置要大于0，同时作分母，还必须不等于1，即,01>+x 且11≠+x ，得到，1->x 且
0≠x ，要是整个式子有意义，还得x ≥3，所以，13->≥x 且0≠x ，所以答案：（-1,，0）⋃（0,3]，
⋃是合起来的意思，（-1,，0）⋃（0,3]意思是：01<<-x 且30≤<x
b x a <<用区间表示就是()b a , b x a ≤≤用区间表示就是[]b a , b x a <≤用区间表示就是),[b a 等得到，方括号，等不到圆括号。

a x >用区间表示就是),(+∞a a x <用区间表示就是),(a -∞
a x ≥用区间表示就是),[+∞a 请结合上两个例子学习。

关于指数是分数和负数的学习 仅以实例来学习，
指数是负数：x x 11=-只要是指数是负数，去掉负数取倒数，a a x x 1=-，331
x x =-，有时候经常反过来用11
-=x x
指数是分数：x x =2
1，3
3
1x x =
，n m n
m x x
=，分母是开方，分子是次方。

知识点三，导数
求导：求导是在5个基本函数上进行！
()x x 22
='， ()4
5
5x
x ='，
这种形如αx 的导数是把指数放下来，指数减1，()1
-='αααx
x ，
5个基本函数的导数
1，0)(='c ，例如，0)3(='，0)4(=', 2，()1
-='αα
αx
x ，例如，()x x 22
='，()7
8
8x
x ='
3，x x e e =')(，这是一个非常特殊的导数，x e 的导数等于他本身 4，x
x 1)(ln =
', 5，x x cos )(sin ='， x x sin )(cos -='
这是5个基本函数的导数公式，以后的学习中，主要是由这5个结合构造出复杂的函数，但是我们都能分解成这5个基本函数，来求导，再后面的积分学习也是如此。

例如：1sin 2+++=x x e y x ，求y ' 解：x x e y x cos 2++='
象这种由几个基本函数加在一起的，可以分开求，我们称为加法可分 例如：2sin 234-+=x x y ，求y ' 解：)2sin 23(4'-+='x x y
x
x x x x x x x cos 212cos 243)2()(sin 2)(3)2()sin 2()3(3344+=+⋅='-'+'='-'+'= 象这种，基本函数前的系数（常数）可以直接拿出来，)())((x f k x kf '='我们称为常数可透
两个基本函数乘积的导数：等于一个求导乘以另一个，再加上这个乘以另一个求导，)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'='， 例如：x e x y 2=，求y '
)()(22'+'='x x e x e x y
x x e x xe 22+=
分式的导数：)()
()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 例如 x
x y sin 1
22-=，求y '
x x x x x y 222sin ))(sin 12(sin )12('--'-='
x
x x x x 2
2sin cos )12(sin 4--= 至此，我们学习了由基本函数加减乘除构造成的函数的导数求法， 综合举例：
例如，已知631
cos sin -+-+
=x x
x x e y x ，求y ' 3)
1(cos sin cos sin 2
+---++='x x x x x e x e y x x
这里特别注意1='x ，
求微分：由导数的意义dx
dy
y =
'，求微分就是求dy ，所以，dx y dy '=，我们主需要先求出y '，然后再写成dx y dy '=这种形式就可以了， 例如：x e x y 23+=，求dy
解：因为x e y 23+='，所以dx e dy x )23(+=
复合函数求导，
这是求导最难的，也是必考的，每题10分，其实也不难 复合的意思就是一层套一层，我们可以分层从外到内求出。

例如：x e y sin =，2sin x y =，2cos ln x y = 我们来求这3个复合函数的导数。

1，x e y sin =，主体是由()e 构成，把x sin 看成括号里面内容，由于()x
x e
e ='，
所以(
)()()()'⋅='e e ，对主题按基本函数求导，再乘以括号内函数的导数，
x e x e y x x cos )(sin )(sin )(sin ='⋅='
这个函数可以看成是t e y =，x t sin =复合而成。

2，2sin x y =，主体是()sin =y ，由于()x x cos sin ='
，所以()()()()'⋅='cos sin ，
()()()22
2
2
2
cos 22cos cos sin x x x x
x x x y =⋅='⋅='='
3，2cos ln x y =，主体是)ln(cos 2x y =，由
()x
x 1
ln =，所以
()()'⋅=
'
='22
2cos cos 1)ln(cos x x
x y ，()'2cos x 又可以依()()
'2cos x 求出，因为()x x sin cos -='，所以()()
'⋅-='222sin cos x x x ，所以，继续求下去
()
'
=')ln(cos 2x y 1，)ln(cos 2x y =
()
'⋅=
22cos cos 1x x 2，()
'⋅)cos(cos 122x x ()
'⋅-⋅=222
sin cos 1x x x ()x x x 2sin cos 12
2
⋅-⋅= 2
2
cos sin 2x
x x -= 2tan 2x x -=
做复合函数的题，一定要对基本函数导数熟悉，特别是那5个基本函数，第一步
就要认清这个主体是由哪个基本函数构成，对主题按基本函数求导，再乘以括号内函数的导数， 考题举例，
1．设y x =-ln()21，求d y ． 解：
x
x x x x x y -=
•-=--=
1211121)12(1
21
'
'
所以 dx x
x y -=
1
21d
2．已知y =32ln 1x +，求d y ．
解 因为 )ln 1()ln 1(3
12
32
2'++='-x x y
=x
x x ln 2)ln 1(3132
2
-+
=x x x
ln )ln 1(32
32
2-+ 所以
x x x x
y d ln )ln 1(32d 3
2
2-+= 3．设 y x x x x ln +=，求d y ． 解 因为 y x x ln 4
7+=
x x y 1
4743
-='
所以 d y = (x
x 1
4743
-)d x
4．设2
cos 2sin x
y x =-，求y '。

解：
5．已知y x
x x 2cos -=，求)(x y ' ．
解： x
x x y 2sin )2(ln 22
321
+='
6．已知)(x f x x
sin
2=，求)(x f '
解：)(x f 'x
x
x x x 21cos 2sin 2ln 2+=．
7．已知x
xe x y -=2cos ，求)(x y '；
解：)()2(sin 2x
x xe e x x y +--=' 8．已知2
23sin x e x y -+=，求d y ．
解： )4()(cos sin 32
22x e x x y x -+='- d y=dx xe x x x )4)(cos sin 3(2
22-- 9．设 y x x
x ln 2++=
，求d y ．
解：x
x
x y 1212
3+-=
'-
dx x
x
x
dy )121(
2
3+-=- 10．设2
e 2sin x x y -+=，求y d ．
解：2
e 22cos 2x x x y --='
x x x y x d )e
22cos 2(d 2
--=
11．已知2
sin 2x x
=，求y '．
解： )(sin 2sin )2()sin 2(2
2
2
'+'='='x x x y x
x
x
)(cos 2sin 2ln 22
22'+=x x x x x
22cos 22sin 2ln 2x x x x x +=
12．设x
x y 32
e
ln -+=，求y '．
解： )e ()(ln 32
'+'='-x
x y x x
x
33e ln 2--=
13．设 y 2ln x =，求y '．
解 因为 y 74
2ln x x =+
所以 3472
4y x x
'=+
14．设x y x
tan e
sin +=，求y d ．
解：由导数运算法则和复合函数求导法则得
)tan e (d d sin x y x +=
)(tan d )e (d sin x x
+=
x x x x
d cos 1
)(sin d e
2
sin +
= x x x x x
d cos 1d cos
e 2
sin += x x x x )d cos 1
cos e (2sin +=
15．已知)(x f x
x x x
+-+=11ln cos 2，求y d ．
解：因为 )1ln()1ln(cos 2)(x x x x f x
+--+=
x
x x x x f x x +-
--
-⋅='11
11sin 2cos 2ln 2)( 2
12
]sin cos 2[ln 2x x x x
--
-⋅= 所以 y d =x x
x x x x
d 12d )sin cos 2(ln 22
---⋅ 16．设1
21
ln -+=x x y , 求d y .
解：因为 2
)12(2
ln 21)121ln (--='-+
='x x
x x x y
所以 x x x x x y y d )12(2
ln 21d d 2⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡
--='= 17．已知y =32ln 1x +，求d y ．
解 因为 )ln 1()ln 1(3
12
32
2'++='-x x y
=x
x x ln 2)ln 1(3132
2
-+
=x x x
ln )ln 1(32322
-+ 所以 x x x x
y d ln )ln 1(32d 322
-+= 18．设3
cos ln y x x =+，求y '．
19．设1
sin
x y x x
-=+
，求y '。

20．已知cos 2x
x
y x
=-
，求dy 。

21．设
2
x y x e
-=-，求dy ．
22．设3
tan 2
x
y x -=+，求dy ．
23.设x y x
tan e
5-=-，求y '．
解：由微分四则运算法则和微分基本公式得 )(tan )e ()tan e (55'-'='-='--x x y x x
x
x x
2
5cos 1
)5(e
-
'-=- x
x
25cos 1e 5--=- 24．设x x y 2e ln -+=
，求y d ．
解：因为 x x x
x x x
y 22e 2ln 21e 2)(ln ln 21---=
-'=
'
所以 y d x x
x x d )e 2ln 21(
2--=
25.已知2
sin 2x x
=，求y '．
解：由导数运算法则和复合函数求导法则得
)(sin 2sin )2()sin 2(222'+'='='x x x y x x x
)(cos 2sin 2ln 22
2
2
'+=x x x x
x
22cos 22sin 2ln 2x x x x x +=
26.设x y x
tan e
sin +=，求y d ．
解：由导数运算法则和复合函数求导法则得
)tan e (d d sin x y x +=
)(tan d )e (d sin x x
+=
x x x x
d cos 1
)(sin d e
2sin +
=
x x
x x x
d cos 1d cos
e 2sin +=
x x
x x )d cos 1
cos e (2
sin += 27．设2
e
cos x x y --=，求y d ．
解：因为2
2e
x y x -'=
所以 2d (e )d
x y x x = 28．设()
,12ln -=x y 求.dy
解：)12(121
'-⋅-='x x y =)0212(1
21
2
1
-⋅⋅--x x =
x x 1121⋅- =
x x -21
dy=
dx x
x -21
隐函数求导：隐函数求导就是对y 求导，然后再乘以y '。

隐函数求导，是因为解不出y ，
具体步骤，1，方程两边对x 求导，把里面的y 当成x 操作求导，但若把y 当成x 求导后，要对这个式子乘以y '，有y 但不求导的地方不乘y '，2，解出y '。

例如：y xe x y +=，求dy ，
解：)('+='y xe x y )('+'=y xe x )()(1'+'+=y y e x e x y e e y y '++=1
所以，y
y
e y e y +='-'1，解出y '得y
y
e
e y -+='11 考题举例：
1．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '． 解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y 0)(e 1)1ln(='++++
+'y x y x
y
x y xy xy xy y x
y
y x x e 1]e )1[ln(-+-
='++ 故 ]e )1)[ln(1(e )1(xy
xy
x x x y x y y +++++-=' 2．由方程x y x y =++e )cos(确定y 是x 的隐函数，求y '． 解 在方程等号两边对x 求导，得 1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y
)sin(1)]sin(e [y x y y x y ++='+-
故 )
sin(e )
sin(1y x y x y y
+-++=
' 3．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求
d d =x x
y ．
解 方程两边对x 求导，得 y x y y y '+='e e y
y
x y e
1e -=
'
当0=x 时，1=y
所以，
d d =x x
y
e e
01e 1
1
=⨯-=
函数在某一点的导数：
此类题目是函数在一点的导数，就是先求出函数导数，然后再带)(=x 入计算，第一步，求出导数，第二步带入求值。

括号里面是x 的值。

1．设x
x y --+=1)
1ln(1，求)0(y '.
解：因为 2
)1()]
1ln(1[)1(11
x x x x y --++---=' = 2)1()
1ln(x x --
所以 )0(y '=
2
)
01()
01ln(--= 0 2．已知2ln sin y x =，求)4
(
π
y '．
解：2
2'
22
'sin cos 2)(sin sin 1x x x x x
y =
=
，
所以
π
π
π
ππ
π
==='2
2
4
sin
4
cos 4
2
)4
(
y
3．已知2cos ln x y =，求)4
(π
y '；
解 Θ 222
2tan 22)sin (cos 1
)cos (ln x x x x x
x y -=-='=' ∴ )4
(π
y '=πππ
π
-=⨯-=-1)4
tan(
4
2
2
求积分：
积分是求导的逆运算.
例：已知2x y =，求导运算，x y 2='。

已知x y 2='，求求导前的函数（称原函数）?=y
这一运算的数学符号⎰，读作积分 x xdx =22
添加一个c ，是因为x x 2)(2='，x x 2)1(2='+，x x 2)2(2='+，为了逻辑上的相等，
求导x c x 2)(2='+，所以，c x xdx +=⎰22，
注意五个基本函数的积分：以后直接利用公式求积分！
c x c dx c +=⎰0
c x dx x ++=
+⎰1
1
1αα
α c e dx e x x +=⎰
c x dx x +=⎰ln 1
c x xdx +=⎰sin cos c x xdx +-=⎰cos sin
注：后面都加上c ，加c 的结果表示所有原函数。

求积分遵循：加法可分，常数可透原则。

例：求积分，⎰++dx x e x 12
解：⎰++dx x e x 12=⎰⎰⎰++dx dx x dx e x 12=c x x e x ++⋅+22
1
2=c x x e x +++2
例：求积分，⎰-+dx x x 1sin 53
⎰-+dx x x 1sin 53=⎰⎰⎰=-+dx dx x dx x 1sin 513c x x x +--cos 5ln 3 凑微分：
凑微分遵循：若)()(x f x F ='，则()()()c F d f +=⎰，这里))(()('='x F x F ，是
指)(x F 的导数，只需满足括号内相同即可。

例：求积分，dx x x ⎰cos sin
解：dx x x ⎰cos sin =)(sin sin x d x ⎰=c x +2)(sin 2
1
1，利用基本函数()()()c d +=⎰221，公式为c x dx x +=⎰221
，要把公式中的x 看
成()。

2， )(sin x d 中的d 可理解为()对求导，xdx x d cos )(sin =。

3，凑，是反过来运用)(sin cos x d xdx =，凑成有用的)(sin x d ，然后用
()()()c F d f +=⎰，求出积分。

4，凑微分要求对5个基本公式要熟悉。

例如：求积分，dx e x
x ⎰-11
ln
解：dx e x x ⎰-11
ln
=dx dx e x
x ⎰⎰-11
ln =dx dx x e x ⎰⎰-11
ln
=dx dx x
e x ⎰⎰-1)1
(ln
=dx x d e x ⎰⎰-1)(ln ln =c x e x +-ln 例如：求积分，⎰dx xe x 2
解：⎰dx xe x 2
=⎰)2(2
12
xdx e x =⎰)(21
22x d e x =c e x +2
2
1 不是所有的积分都可以用凑微分作出来，凑微分只是一种手段，能求的积分是很
少的一部分，接下来学习分步积分， 分部积分公式：
dx x v x u x v x u dx x v x u ⎰⎰'-=')()()()()()(，
公式特点：是含有x 的两个因式的乘积，若见是乘积的形式，可考虑套用公式。

分部积分的重点在于确定哪个是)(x u ，哪个是)(x v ，确定原则是找出来的)(x u 求导后与)(x v 的乘积可消，使得)()(x v x u '简单，可积。

（可参照例题作） 考题举例，
1，求积分，dx x x ⎰ln
=dx x x ⎰'⋅)(21
ln 2 写成公式的形式
=⎰'⋅dx x x )(ln 21
2
=⎰'-dx x x x x 22)(ln 21
ln 21
=⎰-dx x x x x 221
21ln 21
=⎰-xdx x x 21
ln 212
=c x x x +-2241
ln 21
2，求积分，dx xe x ⎰
解：dx xe x ⎰=dx e x x ⎰')(=dx e x xe x x ⎰'-)(=dx e xe x x ⎰-=c e xe x x +-
3，计算不定积分2cos x
dx x ⎰.
解：dx x
x ⎰2cos =⎰'
⎪⎭⎫
⎝⎛dx x x x cos sin =⎰-dx x x x x x cos sin cos sin =c x x x x ++cos ln cos sin 4，计算不定积分
.
解：由分部积分法
⎰
dx x
x ln =dx x x )2(ln '⋅⎰=dx x
x
x x ⎰
-2ln 2=c x x x +-4ln 2 定积分：定积分就是在前面学的不定积分上加上限和下限，
具体算法是先算出不定积分，然后上限（带入）减下限（带入）
例如：不定积分⎰xdx =
x 22
1
定积分
⎰20xdx =221
x 定积分不要c
考题综合举例：
1． x x x d )e 1(e 3
ln 02⎰+ 解 x x x d )e 1(e 3
ln 0
2⎰
+=⎰
++3ln 0
2)e d(1)e 1(x x = 3ln 0
3
)e 1(3
1
x +=
3
56
（凑微分） 2.
⎰+x x x
x d sin 3
解：原式
x x xdx dx x
xdx x cos ln 3sin 3
sin 3
-=+=+=⎰⎰⎰
3．
⎰+24d x x
x
解 ⎰+x x
x d 42=⎰++)d(4412122x x =c x ++)4ln(212
（凑微分） 4．x x x d 1
5
02
3
⎰+． 解： x x x d 15
02
3
⎰+=x x x x x d 1
5023
⎰+-+ =
x x x
x x d 1
d 5
025
⎰
⎰
+-
=502
502)1(ln 2
121+-x x
=21(25-ln26) 最后算限的时候，可以分开，也可以合拢
502502)1(ln 2121+-x x =5022)]1(ln 2
1
21[+-x x
5．x x x d 2cos 20
⎰π
解：x x x d 2cos 20
⎰π
=202sin 21π
x x -x x d 2sin 2120⎰π
=2
2cos 41π
x =21- （分部积分法）
6．
x x d )1ln(1
e 0
⎰
-+
解法一
x x x x x x x d 1)
1ln(d )1ln(1
e 0
1
e 0
1
e 0
⎰
⎰
---+-+=+ =x x d )1
1
1(1e 1e 0⎰-+---
=1
e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1 注意1ln =e
解法二 令1+=x u ，则
u u u u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11
e 0
⎰⎰⎰
-==+-=11e e e e
1=+-=-u
7．
x x d e 11
1
0⎰+
解 x x
d e 11
1
0⎰+=x x x d e 1e 10⎰--+=⎰--+-10e 1de x x
分子分母同除 =1
0)e 1ln(x
-+-=1+ ln
e
12
+ 8.
⎰
e
xdx x 1
ln
解：
)(ln 21ln 2ln 1
2121
x d x x x xdx x e e
e
⎰⎰
-=
=
4
14212212+=-⎰e dx x e e 分部积分 9. 计算定积分
⎰
2π
d sin x x x ．
解：由分部积分法得
⎰⎰
+-=2π0
2π0
2π0
d cos cos d sin x x x x x x x
2π0
sin 0x +=
1=
10．计算积分
⎰
20
2d sin π
x x x ．
解：
⎰
⎰
=2
2220
2
d sin 21
d sin ππ
x x x x x x
20
2cos 2
1
π
x -
==2
1-
11．计算
x x
x
d e
2
1
21⎰
x x x
d e 2
1
2
1⎰
=2
1
21
12
1
1e e e )1(d e -=-=-⎰x x
x
12.计算
x x x d cos 22π0
⎰
．
解：由定积分的分部积分法得
x x x
x x x x d2sin sin 2d cos 22π0
2π0
2π0
⎰⎰
-=2π-=
（
20
cos x xdx π
⎰
与此题一样，x x x d cos 22π0
⎰=220
cos x xdx π
⎰）
13.计算
⎰
x
x x d e ．
解：由不定积分的凑微分法得
⎰⎰
=)(d e 2d e x x
x x x c e
x
+=2
14.
⎰x x x
d e
21
解：⎰⎰⎰-=--=)1
d(e )d 1(e d e 1
21
21x x x
x x x x x
c x +-=1
e
15.
⎰+x x
x
d ln 11
解：
)d(ln ln 11d 1ln 11
d ln 11⎰⎰
⎰+=+=+x x x x x x x
x
=
=++⎰
)ln d(1ln 11x x
c x ++ln 12
16.
x x x d ln e 1
2⎰
解：
91
e 9291e 31d 131ln 31d ln 3e
133e 13e 1
3e
1
2
+=-=-=⎰⎰
x x x x x x x x x
17.
x x x d cos 2
⎰
π
解
x x x d cos 20
⎰
π
=-20sin π
x x =
+=
⎰
2020
cos 2
d sin π
π
π
x x x 2
π 18 .
x x x d 91
160
⎰-+
解
x x
x d 91
160
⎰
-+=x x x d )9(9116
0⎰++
=16
2
3
2
3
]32
)9(3
2[91x x +
+=12 19．x x x d )2sin (ln +⎰
．
解：x x x d )2sin (ln +⎰=⎰
⎰
+-)d(22sin 21
d ln x x x x x =C x x x +--2cos 2
1
)1(ln 20．
x x
x d ln 112e 0
⎰
+
解：
x x
x d ln 112
e 1
⎰
+=)ln d(1ln 112
e 1
x x
++⎰
=2e 1
ln 12x +=)13(2-
21．⎰
-x x x d )1sin(
解 ⎰-x x x d )1sin(= x cos(1-x ) -⎰-x x d )1cos(
= x cos(1-x ) + sin(1-x ) + c 22.
⎰
x x
x d sin
.
. . . 解 ⎰⎰⎰==x x x x x x x x
d sin 2d 21
sin 2d sin =c x +-cos 2
23．求
⎰+2ln 02)1(dx e e x x 解：319)1(31)1(3102ln )1(31)1()1()1(3032ln 32ln 022
ln 02=+-+=+=++=+⎰
⎰e e e e d e dx e e x x x x x 24．x xe x d 20⎰ 解：10
2202d d 22202020+=-=-==⎰⎰⎰e e e dx e xe e x x xe x x x x x 25．计算不定积分10(21)x dx +⎰
解：c x dx x x dx x ++='++=+⎰⎰111010
)12(22
1)12()12(21)12( 26．计算不定积分21ln e x dx x ⎰。

解：由分部积分法得
dx x x e
⎰12ln =dx x x x e e ⎰+-1211ln 1=e x e e
21111-=-- 注意：此资料过于形而上学，已经偏离数学意义，如以后再学数学，希望立足于概念，定理，分析方法，生成原理，运用于实际。