鲁教版七年级上第三章勾股定理单元测试含答案解析

单元评价检测
第三章
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题4分，共28分)
1.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2的值是( )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)9
2.下列各组数是勾股数的为( )
(A)2，4，5 (B)8，15，17 (C)11，13，15 (D)4，5，6
3.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，则△ABC是( )
(A)以a为斜边的直角三角形
(B)以b为斜边的直角三角形
(C)以c为斜边的直角三角形
(D)不是直角三角形
4.下列说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c(a>b=c)，那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是( )
(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④
5.在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为( )
(A)14 (B)14或4 (C)8 (D)4或8
6.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养
手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段.在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想.把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论( )
(A)角的平分线上的点到角的两边的距离相等
(B)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
(C)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(D)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
7.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小
正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面
积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别
为a，b，那么(a+b)2的值是( )
(A)12 (B)16 (C)20 (D)25
二、填空题(每小题5分，共25分)
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB的长是________.
9.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为________mm.
10.如图(1)所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC →CD →DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，那么△ABC 的面积是________.
11.已知：如图，在四边形中ABCD 中，AB=1，BC=34，CD=134
，AD=3，且AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积为________.
12.如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周
长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的
速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度
移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为
________cm2.
三、解答题(共47分)
13.(10分)“道路交通管理条例”规定：小汽车在
城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小
汽车在一条城街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶
到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过
了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/h)
14. (12分)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F 点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积.
15.(12分)如图，已知长方体的长AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
16.(13分)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，
腰AB，AC的长为5cm，一动点P在底边上从B向C以
0.25cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的
位置时，求点P运动的时间.
答案解析
1.【解析】选 C.因为斜边AB=2，所以AB2=BC2+AC2=4，所以AB2+BC2+AC2=4+4=8.
2.【解析】选B.A中22+42=20≠52，故不是；B中82+152=289=172，故是勾股数；C中112+132=290≠152，故不是；D中42+52=41≠62，故不是.
3.【解析】选A.因为(a-17)2≥0，|b-15|≥0，(c-8)2≥0.
又因为(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，
所以a-17=0，b-15=0，c-8=0，
所以a=17，b=15，c=8.
又因为172=152+82，
所以△ABC是以a为斜边的直角三角形.
4.【解析】选C.①正确，因为a2+b2=c2，所以(4a)2+(4b)2=(4c)2；②错误，直角三角形两边为3，4，则斜边可能是4或5；③错误，因为122+212≠252，所以不是直角三角形；④正确，因为b=c，c2+b2=2b2=a2，所以a2∶b2∶c2=2∶1∶1.
5.【解析】选B.当高AD在△ABC内部时得：CD2=152-122=81，所以CD=9，又BD2=132-122=25，所以BD=5，所以BC=14；当AD在△ABC外部时，易得BC=9-5=4.所以BC的长为14或4.
6.【解析】选C.如图，由第一步得△ADE≌△CDE，由全等性质
得AD=DC，由第二步得△BDF≌△CDF，由全等的性质得
BD=DC，故AD=DC=BD，即DC为直角三角形斜边上的中
线，且长度为斜边的一半.
7.【解析】选D.每个直角三角形的面积是：(13-1)÷4=3，即12
ab=3，则ab=6.又因(a-b)2=1，所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=1+4×6=25.
8.【解析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，因为BC=3，AC=4，所以AB 2=BC 2+AC 2=25=52，则AB 的长是5.
答案：5
9.【解析】如图构造直角△ABC ，因为AC=150-60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)，
所以AB 2=AC 2+BC 2=902+1202=1502.
故AB=150mm.
答案：150
10.【解析】由图(2)可知，矩形的宽BC=4，长CD=9-4=5，所以△ABC 的面积为12
×5×4=10. 答案：10
11.【解析】连接AC ，因为AB ⊥BC ，所以△ABC 是直角三
角形，
所以AC 2=AB 2+BC 2=12+(34
)2 =(54)2，所以AC=54
.
S △ABC =12AB ·BC=12×1×34=38
. 因为在△ACD 中，AC 2+AD 2=(54)2+32=(134
)2=CD 2，所以△ACD 是直角三角形.所以
S △ACD =12AC ·AD=12×54×3=158.所以四边形ABCD 的面积为S △ABC +S △ACD =38
+158=94. 答案：94
12.【解析】设AB 为3xcm ，BC 为4xcm ，AC 为5xcm ，因为周长为36cm ，则AB+BC+AC=36cm ，所以3x+4x+5x=36，得x=3，所以AB=9cm ，BC=12cm ，AC=15cm ，因为AB 2+BC 2=AC 2，
所以△ABC 是直角三角形，过3秒时，
BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，
所以S △PBQ =12BP ·BQ=12
×6×6=18(cm 2). 答案：18
13.【解析】在Rt △ABC 中，AC=30m ，AB=50m ；
据勾股定理可得：BC 2=AB 2-AC 2=502-302=402，
所以BC=40(m)，
所以小汽车的速度为v=40÷2=20(m/s)
=20×3.6(km/h)=72(km/h).
因为72km/h>70km/h ，
所以这辆小汽车超速了.
14.【解析】由折叠可知△ADE 和△AFE 关于AE 成轴对称，故AF=AD ，EF=DE=DC-CE=8-3=5(cm)，所以
CF=4cm.设BF=xcm ，则
AF=AD=BC=(x+4)cm.在
Rt △ABF 中，由勾股定理，得82+x 2=(x+4)2.解得x=6，故BC=10cm. 所以阴影部分的面积为：
10×8-2S △ADE =80-50=30cm 2.
15.【解析】根据题意，如图所示，可能最
短路径有三种情况：
(1)沿AA ′，A ′C ′，C ′B ′，B ′B ，BC ，CA 剪
开，
得图(1)AB ′2=AB 2+BB ′2=(2+1)2+42=25；
(2)沿AC ，CC ′，C ′B ′，B ′D ′，D ′A ′，A ′A 剪
开，
得图(2)AB ′2=AC 2+B ′C 2=22+(4+1)2=4+25=29；
(3)沿AD ，DD ′，B ′D ′，C ′B ′，C ′A ′，AA ′剪开，
得图(3)AB ′2=AD 2+B ′D 2=12+(4+2)2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为图(1)所示，且最短路程为5cm.
16.【解析】如图，当点P 运动到PA 与腰AC
垂直时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD=4.
在
Rt △ABD 中，易知AD=3cm ，设PD=xcm ，在
Rt △APD 中，PA 2=x 2+9，在Rt △PAC 中，
PC 2=x 2+9+25，PC=x+4，所以x=94，所以BP=BD-PD=4-94=74(cm)，所以74
0.25=7(s).所以此时点P 运动的时间为7秒.当P 点运动到PA 与腰AB 垂直时，同理可得BP=254
cm ，此时点P 运动的时间为25s.故当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，
点P运动的时间应为7s或25s.。