8.1.2 幂的乘方与积的乘方

8.1 幂的运算
2.幂的乘方与积的乘方
一、教学要求、
1. 体会幂的意义，会用同底数幂的乘法性质进行计算，并能解决一些实际问题。

2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算，并能解决一些实际问题。

二、重点、难点： 1. 重点： （1）同底数幂的乘法性质及其运算。

（2）幂的乘方与积的乘方性质的正确、灵活运用。

2. 难点： （1）同底数幂的乘法性质的灵活运用。

（2）探索幂的乘方、积的乘方两个性质过程中发展推理能力和有条理的表达能力。

三. 知识要点：
1. 同底数幂的意义
几个相同因式a 相乘，即a a a n ··…·个
，记作a n
，读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，
n 叫做指数。

同底数幂是指底数相同的幂，如：23
与25
，a 4
与a ，()a b 23与()a b 27
，()x y -2
与
()x y -3等等。

注意：底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。

2. 同底数幂的乘法性质 a a a m n m n ·=+（m ，n 都是正整数）
这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：
a a a a m n p m n p ··=++（m ，n ，p 都是正整数）
3. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如()a 53
是三个a 5
相乘
读作a 的五次幂的三次方，
()a m n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方
()()a a a a a a a a a a n a n a m n m m m m m m m n 5355555553
======++⨯+++⨯····…·个个…
4. 幂的乘方性质
()a a m n mn =（m ，n 都是正整数）
这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

注意：（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。

（2）此性质可逆用：
()a a mn m
n
=。

5. 积的乘方的意义 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如()()ab ab n
3，等。

()()()()ab ab ab ab 3=（积的乘方的意义）
()()
=a a a b b b ····（乘法交换律，结合律）
=a b 33
·
()()()()ab ab ab ab n =…
()()
==a a a n b b b n a b n n
·…·…·个个
6. 积的乘方的性质 ()ab a b n n n =·（n 为正整数）
这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

注意：（1）三个或三个以上的乘方，也具有这一性质，例如：
()abc a b c n n n n =··
（2）此性质可以逆用：()a b ab n n
n
·=
四、典型例题 例1. 计算：
（1）-⎛⎝ ⎫⎭
⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪
121223
· （2）
a a a 102
··
（3）-a a 26
·
（4）327812
⨯⨯
解：（1）
-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫
⎭⎪=-⎛⎝ ⎫
⎭⎪=-+121212121322
3
23
5
·
（2）a a a a
a 10
2
1021
13··==++
（3）-=-=-+a a a a 26268
·
（4）327813333
32234234
9⨯⨯=⨯⨯==++
例2. 已知a a m
n ==23，，求下列各式的值。

（1）a
m +1
（2）a
n
3+
（3）a
m n ++3
分析：此题是同底数幂的乘法的逆用，将幂拆分成几个同底数幂的积。

（1）a
a a a m m +==1
2·
（2）a a a a n n 3333+==·
（3）a
a a a a m n m n ++==3
336··
例3. 计算： （1）()()x y y x --2223·
（2）()()()a b c b c a c a b --+--+23
解：（1）方法一：
()()()()()x y y x y x y x y x --=--=-2222223235··
方法二：
()()()()[]()x y y x x y x y x y --=---=--2222223235··
（2）()()()a b c b c a c a b --+--+23
()()()
()
=-+-+-+-=-+-b c a b c a b c a b c a 23
6
例4. 计算： （1）()
-223
（2）()
x 4
4
（3）
()(
)
--x x 3
2
2
3
（4）(
)(
)
a a n n 22
2
1
3
-+·
解：（1）(
)-=-=-⨯22223
236
（2）()
x x x 4
4
4416
==⨯
（3）(
)()
()
--=⨯-=-=-+x x x x x x 3
2
2
3
666612
（4）(
)()()()a a a a a a n n n n n n 222
13
222314433
-+⨯-⨯+-+=⨯=⨯·
==-++-a
a n n n 4433
71
例5. 解下列各题。

（1）(
)()-+-x x 54
45
（2）-⎛⎝ ⎫⎭⎪
12
23
ab （3）(
)
()()(
)()
----+--+223623
23
2
22
2
3
46
ab a a b a b a b ··
解：（1）(
)()()
-+-=+-=x x x x 54
45
20200
（2）()
-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12
121
823
3
32
3
36
ab a b
a b ··
（3）(
)
()()(
)()----+--+223623
23
2
22
2
3
46
ab a a b a b a b ··
()()=---+-+=--+=8496849636464
6
4
6
4646464646
a b a a b a b a b
a b a b a b a b a b ··
例6. 已知x x m
n ==23，，求x m n 23+
分析：此题是幂的乘方和积的乘方性质的运用，把x x m
n
，看作整体，带入即可解决问
题。

解：
()()
x x x x x m n m n m n
23232
3
2323108
+===⨯=··
例7. 计算：
（1）(.)()0125
816
17⨯-
（2）5131352002
2001
⎛⎝ ⎫⎭
⎪
⨯⎛⎝ ⎫⎭
⎪
（3）
()()0125215
153
.⨯
分析：此题应该逆用幂的运算性质：
()()()
a a a a
b ab a a a m n m n n n n
mn m
n
n
m
+====·；·；
（1）解：(.)()012581617
⨯-
()()()()()()
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪--=⨯-⎡⎣⎢⎤
⎦⎥⨯-=-⨯-=-188********
16
1616
16
··
（2）解：5131352002
2001
⎛⎝ ⎫⎭
⎪
⨯⎛⎝ ⎫⎭
⎪
=⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭
⎪=⨯⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪=⨯=5135131355135131355131513
2001
2001
2001
2001
（3）解：
()()0125215
153
.⨯
()()
()
=⨯=⨯=01252012581
15
315
15
..。