河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)

理科数学 第 页 (
共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试
理科数学
注意事项:
1.
答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.
回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A =x 12<2x
<8
,B =-1,0,1,2 ,
则A ɘB =A .2
B .-1,0
C .0,1,2
D .-1,0,1,2
2.设命题p :∀x ɪR ,e x
ȡx +1,则¬p 是
A .∀x ɪR ,e x
ɤx +1
B .∀x ɪR ,e x
<x +1
C .∃x ɪR ,e x ɤx +1
D .∃x ɪR ,e x
<x +1
3.
若3+4i
z 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4i
B .3-4i
C .4+3i D.4-3i
4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13
B C ,则A D ң=
A .13A C ң+23A
B ңB .23A
C ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ң
D .34A C ң+14A B ң
5.
已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3π
D .
π36.
如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4
B .2
C .3 D.2
7.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,
则x +2y 的最大值为
A .2
B .3
C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是
A .(-ɕ,-2)
B .(-2,+ɕ)
C .(-ɕ,1
)D .(1,+ɕ)
1
理科数学 第 页 (
共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *
),则a p a q =
A .8
B .16
C .32
D .64
10.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x y
A.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.
有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,
D 1B 的中点,
则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;
②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;
③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.
A .1
B .2
C .3
D .412.
在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数
f (
x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (
x )=x (a e x
-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0
]B .-ɕ,1e
C .(-ɕ,1
]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π
12
=
.
14.已知点A (1,0),B
(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4
,则A B ң㊃A C ң=
.
15.3D 打印是快速成型技术的一种,
它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到
的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为
6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.
16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *
).记S n 是数列a n
的前n 项和,则S 4n =
.三㊁解答题:共70分.
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,
考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.(12分)
在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C
2
=b s i n A ,2a =3b .
(1)求c o s B 的值;(2
)若a =3,求c .2
理科数学 第 页 (
共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为
2
3
,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为
12
.(1
)求p 的值;(2
)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)
如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =
1
2
A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4
.
(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.
20.(12分)
已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .
(1)若f (x )
是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6
上的最小值;
(3)证明:s i n
12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +1
2
.3
理科数学 第 页 (
共4页)21.(12分)
如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系
.
(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,
证明:S ɤ378
.
(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.
如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2p
t y =2p
t 2
(t 为参数),(2,4
)为曲线C 上一点的坐标.
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,
并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.
(1)当a =1时,求f (x )
的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2
-b +1恒成立,
证明:a +
12
2
+b +
1
2
2
>2.
4
开封市2023届高三年级第一次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456
789101112答案C D D A B B
C
D
C
A
C
B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.
14.
5
15.
16.2
4+2n n
三、解答题（共70分）
17.（1）因为A B C π++=，所以
222B C A π+=-，得cos sin 22
B C A
+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2
A
B =，……2分
又因为,A B 均为三角形内角，所以2
A
B =，即2A B =，……3分
又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分
sin 0B ≠，得3
cos 4
B =；……5分
（2）若3a =，则2b =，由（1）知3
cos 4B =，
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得2
9502
c c -+=，……7分
即()5202c c ⎛
⎫--= ⎪⎝
⎭，所以2c =或52，……9分
当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，
又因为a ≠，此时不满足题意，……11分
所以5
2
c =.……12分
18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为1
2
，
所以
()2211+1=332
p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1
=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339
P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111
===424
P B P B P B ，，，……6分
X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以
()()001110===9436P X P A B =⨯()()()011011413
1=+=+=929418
P X P A B P A B =⨯⨯()()()()02112011414113
2=++=++=94929436
P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，
()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()22411
4===949
P X P A B =⨯
X 的分布列如下表所示：
X 01234
P
1363181336391
9……10分
()1313311
=0+1+2+3+4=2.361836993
E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分
19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，
M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，
又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分
=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.
由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.
ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，
ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF
∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分
设1
====2
AF EF EB AB a ，OC ，
在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1
====22
AF EF EB AB (8)
分
取EF 的中点P ，连接OP
，则OP AB ⊥，
以O 为原点，OP OB OC ，，
所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.
则()(
)
310,2,0
22A C E N -⎝，，，，()
1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，
由已知易得，平面
ABM 的一个法向量为(
=OC
，……9分
设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,
则2=0=01
=022
y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取
2x =，则平面ABN 的一个法向量为
()=2,0,1-n .……10分
cos ,O OC OC C ⋅〈〉=
=∴
n n n 分
二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分
20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：1
1
1cos 2)(+--='x x x g
，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-+
+在
[0,6
π
上单调递减，……4分
又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6
,0(0π
∈x 使得()0h'x =，……5分则有
又有115(0)=0(
1101631162
g g ππ''=-->--->++，，
所以在(0,
6
π
上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6
,0[π
∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分
（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π
上恒成立，
令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π
上()=
0+1
x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6
x π
∈时)1ln(sin +>x x ，……10分
令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，n
n n 1
ln 1sin +>，
相加得：11111
sin sin sin sin ln
2342
n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=
ND DM λ，设()()()00,,00,，，，
D x y M x N y 所以()()00,=,=---
，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，
x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()00
1+==1+⎧⎪⎨
⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2
2
00
+=9，x y 所以
()()2
2
2
22
1++1+=9，
x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2
2
19+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分
（2）①直线l 斜率不存在时，3=2
l x ±：，带入2C
方程得AB
S 分
②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，
l 与曲线1
C
()2
29+13=2
4k m ，即，……7分联立22
+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩
，，可得()222
1+4+8+44=0k x kmx m -，
x
)
,0(0x )
6
,(0π
x ()h'x 正负)
(x g '递增
递减
()()2
2
2
2
2
5=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==
14
14m km x x x x k k
--+，，……8分1222
=1+41+4AB x k k
-，……10分()422
4247+25=16
+8+1
k k AB k k -，因为(
)()422424247+257
2487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2
AB <
，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得1
2
p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，
设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x k
y 1
-=，联立方程2
y kx x y =⎧⎨
=⎩
，，可得：()
2
,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
，，……8分
所以=24x 2221
22
-=-+
y k
k ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，
当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，
221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分
令()2
33h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分
∴()2
2
2
221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≥
.……10分。