化归与转化的思想方法

化归与转化的思想方法
随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。

化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。

一、历史背景
化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。

数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。

”
一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。

二、化归与转化的含义
在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。

例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。

由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。

显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。

事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。

化归法的一般模式，其形式如下图[4]：
转换
未知问题（复杂）已知问题（简单）
已知理论、方法、
技巧解答解答
化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。

懂得化归和转化的基本方向是简单化、熟悉化、和谐化。

三、化归方法数学中的地位与作用
“问题是数学的心脏”。

数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，而几乎所有问题的解决都离不开化归，只有所体现的形式有所不同罢了。

计算题是利用规定的运算法则进行化归；证明题是利用公理、定理或已经证明了的命题进行化归；应用题利用数学模型化
归，……因此，化归是解决数学问题的“必备良药”。

由此可见，解题的成功要靠正确的转化。

化归思想是指在解决问题的过程中，将那些有待解决或难以解决的问题转化为已经解决或容易解决的问题来解决的一种数学思想方法。

解决数学问题的过程是创造性的思维活动过程，其重要的特点是思维的变通性和流畅性。

当我们接触的问题难以入手时，思维就不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。

四、化归方法的应用
一、图形的转换
平行四边形、三角形面积计算公式的推导，都是根据化归思想进行教学的，它们 的化归过程简单地 图示如下：
平行四边形通过割补化归成长方形，平行四边形是化归的对象，长方形是化归的目标， 割补法是化归的途径。

三角形是化归的对象，平行四边形是化归的目标，两个完全一样的三角形拼成平行四边 形是实施化归的途径。

在这里长方形面积的计算方法是平行四边形面积计算方法的已有知识；平行四边形面积的计算方法是三角 形面积计算的已有知识；前一种平面几何图形面积计算方法是后一种面积计算的基础；后一种平面图形面积计算需化归为前一种学生熟悉的图形，从而使问题得到 解决。

上述几个例子借助“割”“补”“转移”等方法可将一般的几何图形化归成特殊的学生已 学过的熟悉的几何图形，从而使得求面积、周长等变得更容易解决。

二、应用题中条件转换
例：学校买了３只篮球和５只足球共付１６４．９元，已知买１只篮球和２只足球共 需６０．２元，问 买１只篮球和１只足球各需多少元？
解法一：１只篮球和２只足球共需６０．２元为化归的对象，把１只篮球和２只足球作 为１份数是实施化 归的途径，３份数：３只篮球和６只足球的价格为（６０．２×３）元
是化归的目标，与３只篮球和５只足球 的价格为１６４．９元进行比较，相差数为１只足 球，得１只足球的价格为（６０．２×３－１６４．９）元 。

解法二：设１只足球价格为Ｘ元，则１只篮球价格为（６０．２－２Ｘ）元
根据题意列方程得 ３（６０．２－２Ｘ）＋５Ｘ＝１６４．９
这类问题中，求两个未知数Ｘ，Ｙ的其中一个未知数为化归的对象，一元一次方程是化 归的目标，把一个 未知数用另一个未知数的数量关系来表示是实施化归的途径。

本题中未知数１只篮球价格为化归的对象，一元一次方程３（６０．２－２Ｘ）＋５Ｘ ＝１６４．９是化归的目标，１只篮球的价格用６０．２元减去２只足球的价格来表示是 实施化归的途径。

三、在代数计算中的转换
111267127611.22++=--x x x
x 在实数范围内解方程例 .4
3,32,1.0)34)(23)(1(,
0671112,1276113212322=-=-==-++=--+=--=x x x x x x x x x x x
x y 从而即则令解 .4
3,0是原方程的根知由=≥x y ..,).()(),
()(,.,,,1于是便得以下简捷解法上直线交点必在
原方程的解即两图象的由函数的图象性质知则和看成是函数将方程的左右两边分别把它化归为函数问题如果很难求解且系数甚大全五次方程两边平方后得到一个完按一般解法x y x f x g x g x f ==-
四、在方程中的转换应用
例． 解方程组
分析：由题设可知，满足(3)的x 、y 、z 必须满足(1)、(2)，因此解此方程组可首先化归为解由(1)、(2)组成的方程组，不妨设x 、y 为未知元，于是有：
由(4)(5)有
由(4)(6)知x ，y 是一元二次方程
的两根，而x ，y 为一切实数，且
，即
可见(1)、(2)只有实数解
，它也适合(3)，故原方程组的唯一实数解为：
五、特殊和一般转化 例、设n x x x ,,,21 都是正数，求证：3211
2322221x x x x x x x x x n +++≥+++ 。

解析：本题是一多元不等式，从整体上考虑一时难以入手，现行教材只学过均值不等式；对于三个以上的式子不等式关系未作介绍，能否从学过的不等式入手呢？事实上：
122
212x x x x ≥+，233222x x x x ≥+，……，n n x x x x 2112≥+，各式相加即得 n n n x x x x x x x x x x x x 222)()(21211
2322221+++≥+++++++ 即3211232
22x x x x x x x x x n +++≥+++
六、化一般为特殊
例12．⊿ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P 1,P 2,…，P 100.记m i =AP i 2+BP i ·P i C （i=1,2,…,100），求m 1+m 2+…+m 100的值。

【分析】题中P i （i=1,2,…,100）具有任意性，它 可在BC 上来回移动，因此我们可以把这样任意的点转
化到特殊的位置——BC 的中点，即把一般情况转化到
特殊情况来处理。

【解】作AD ⊥BC 于点D ，则BD=DC.
∵m i =AP i 2+BP i ·P i C
= AP i 2+（BD －P i D ）（DC+P i D ）
= AP i 2+（BD －P i D ）（BD+P i D ）
i
= AP i 2+ BD 2－P i D 2
=AD 2+ BD 2= AB 2
=4
∴m 1+m 2+…+m 100=400.
六、已知与未知的转化 例．解方程：x x =-+66
【解】将原方程两次平方并整理得 62－（2x 2+1）·6+(x 4+x)=0
解得 6=x 2+x 或6=x 2－x+1
再解这两个关于的一元二次方程得x 1=2,x 2=－3,x 3=
2211+, x 4=2211- 经检验，x 2,x 4是增根
∴原方程的根是x=2或x=2
211+. 通过平方将此无理方程转化为有理方程，将出现四次方程，不易求解，不妨来个颠倒，将x 视为常数，将6视为未知数。

这样问题解决
八、化实际问题为数学问题
数学模型是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似的反映，但对解决实际问题而言，数学模型却是深刻，正确、完善地反映着现实。

因此，把所考察的实际问题，化归为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决，充分地体现了“用数学”的意识和能力。

比如闻名的哥尼斯堡的七桥问题。

例．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P ，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。

这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。

【解】如图，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为2
x π 矩形的另一边长为)2(21x x P AB π--==4
)2(2x P +-π 设零件的面积为S ，则 S=∙21∙+x x 24π4)2(2x P +-π=x P x 2
842++-π ∵a ＜0 ∴当422+=-=πP a b x 时，S 有最大值，这时AB=4+πP ∴当矩形的两邻边AB 与BC 之比为1︰2时，S max =π
282
+P 12．代数问题与几何问题的转化
数与形之间的转化主要是依据函数与其图象的关系；复数及其运算的几何意D
义；以及解析几何中曲线与方程的概念等等进行转化。

.
22)1()1()1()1(:,
10,10.22222222≥-+-+-+++-++<<<<b a b a b a b a b a 求证设例
[分析]：这是含有四个无理式的不等式证明题，难以入手，可应用化归方法。

注意到左边的四个无理式的结构与勾股定理相类似，由此想到，设法化归为几何问题。

这容易得到化归一：构造如图3的正方形，可以说不等式关系不证自明。

另外，完全平方公式的推导利用图形会显得更直观。

大正方形的面积=（x+y ）(x+y)
四个小图形的面积分别是x*x ，y*y ，x*y ，x*y
显然有
（x+y ）(x+y)=x*x+y*y+2*x*y
这就是一个完全平方公式推导。

除了以上所提到的各种转化的形式与方法外，无处不存在的数学中的等量转化，亦体现了化归的思想方法。

如解题中常用的代数式的各种恒等变形，几何量的等量转移，包括等比代换、等积代换，以及几何图形的各种变换，都是实现等量转移的具体手段。

在解综合题时，由于有些条件比较隐蔽，或所给的条件比较分散，或是所求的结论比较复杂，这是我们就更需要熟练运用化归的思想，把问题转化为我们比较熟悉的问题，从而较快的找到解题思路。

化归思想实质上就是一种转化的思想，其主导思想是把一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象，以取得“化难为易、化繁为简”的效果。

当然在进行转化时要特别注意转化后的问题与原问题一定是等价的，否则转化就失去了意义。

正如前苏联数学家雅诺夫思卡娅所说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。

”
y x y x+y x+y x 0 A B a 1-a
1-b
D C b
图3。