37[1].直线与圆锥曲线专项训练 高三数学解析几何专项训练30套试题(含例题、练习、答案) 高三数

直线与圆锥曲线专项训练

对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线

【例题精选】：

例1：已知平面上一点P 在原坐标系中的坐标为(,)()00m m ≠，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为(,)m 0，那么新坐标系的原点'O 在原坐标系的坐标为：

A ．(,)-m m

B ．(,)m m -

C ．(,)m m

D ．(,)--m m

分析：由移轴公式x x h y y k ='+='+， 已知：x y m x m y =='='=00，；，

∴=+=+⎧⎨

⎩⇒=-=⎧⎨

⎩∴'-00m k m k

k m k m

O m m 在原坐标系下的坐标为(,).

答案：A 。

例2：若平移坐标轴，把坐标系xoy 的原点O 移到点'O ，'O 在原坐标系下的坐标为（2，－1），则原坐标系中的曲线y x =3在新坐标系'''x o y 中的方程是： A ．()'+='-y x 123

B ．()'+='+y x 123

C ．()'-='-y x 123

D ．()'-='+y x 123

分析：由已知x x y y ='+='-21，。

曲线y x =3在新坐标系'''x o y 中的方程是：()'-='+y x 123

。 答案：D 。

例3：平移坐标轴化简方程1693236164022x y x y ----=，画出新旧坐标轴和图形，并写出在原坐标系下的顶点、焦点、准线方程和渐近线方程。

解：配方得

()()x y --+=19216

122

。 a b c O ==='-34512，，，中心(,).

令，'=-'=+x x y y 12，在新坐标系中，曲线方程为'-'=x y 22

916

1，顶点 （－3，0）（3，0），焦点（－5，0）、（5，0），

准线方程为'=±x 9

5

。

在原坐标系中，顶点（－2，－2），（4，－2），焦点（－4，－2），（6，－2），准线方程

x x =-=

45145，。渐近线方程为y x +=±-24

3

1()，即43100x y --=，4320x y ++=。 右图是曲线的图形和新旧坐标轴。

例4：设常数a x ax a y >-+=020222，椭圆的长轴是短轴的2倍，则a =。

分析：配方得椭圆方程()x a a

y a -+=>2

2

211，时，依题意a =2，01<<a 时，a =

12

。 ∴==

a a 212

或

例5：抛物线y x 284=-的准线方程是，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是。

分析：抛物线y x 242=--()，顶点为（2，0）焦参数p =2。如右图所示，得准线方程为x =3。

圆心在抛物线顶点（2，0），与其准线x =3相切的圆的半径为1，其方程为()x y -+=2122。

小结：画出方程表示的曲线，数列结合有助于问题的解决。

例6：双曲线以直线x y =-=12和为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一个焦点坐标为。

分析：由已知双曲线的中心是（－1，2），对称轴平行于坐标轴，所以在y 轴上的焦点是（0，2），由对称性可知，另一焦点为（－2，2），即为所求。

例7：直线l 过抛物线y a x a 210=+>()()的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得线段长为4，则a =。 分析：在平移变换中，线段长度不变。

令'='=+y y x x ，1，抛物线方程为'=''''y ax x o y 2，在中画出曲线如右图所示，由抛物线PF PH ==2。

∴

==a

a 2

24， 例8：已知一条与y 轴平行的直线与曲线x x y y 226164210--++=交于A 、B 两点，曲线中心''O O AB ，求∆面积的最大值。

解：曲线方程可化为

()x y -+-=34

212

2()……①，它是中心为'O (,)32的椭圆。

令'=-'=-x x y y 32，，将方程化简为：

'+'=x y 2

24

1② 设与y 轴平行的直线为'=x t ，代入方程②得，'=±-y t 14

2

。

()

{}∴=-=-∴=-=-≤=-=±=''AB t t S t t t t t t t t S O AB O AB 214412412

424212

2

22

222∆∆，当且仅当，即时，max .

例9：焦点为F F 122060(,)(,)-和，离心率为2的双曲线的方程是。

分析：由双曲线焦点为F F 122060(,)(,)-，，则其中心为'O (,)20，实轴在x 轴，焦距2628c =--=()，又离心率e c

a

=

=2，

所以a =2,b c a 222224212=-

=-=。

()∴--=双曲线方程为

x y 24

12

12

2。

例10：设抛物线经过两点（－1，6）和（－1，－2），对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y x =+27被抛物线截得的线段长度是410。求抛物线方程。 解：由于抛物线过点(,)-16和(,)--12，对称轴与x 轴平行，而622

2+-=()

，所以y =2是它的对称轴。

因此，可设抛物线的顶点坐标是(,)a 2，它的方程是()()()y p x a p -=->2202① 由抛物线过点(,)-16得

81=-+p a ()②

将直线y x =+27代入①，消去y 可得

()()2522x p x a +=-，

即420225202x p x pa +-++=()()③

设抛物与直线的交点是()()x y x y x x 112212,,和，于是、满足方程③，所以

()()x x x x x x p pa 12212212

2

42024252-=+-=-⎛⎝ ⎫

⎭

⎪-+() =-⎛⎝ ⎫⎭

⎪--1022522

p pa ④ 又 y x y x 11222727=+=+，，于是

()()y y x x 1221224-=-，

由题设可得，()

()()410

2

122

122

=-+-x x y y

()=-5122

x x ⑤

由④、⑤可得1281010082=---(),p pa ⑥ 再由②得-=+8648pa p ,

代入⑥得128103682=--+()p p ，