甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确的选项涂到答题卡上．4分*10=40分．）

1．（4分）已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）

A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2

C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b2

2．（4分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）

A．B．C．﹣D．﹣

3．（4分）数列，的一个通项公式是（）

A．B．C．D．

4．（4分）设M=2a（a﹣2）+7，N=（a﹣2）（a﹣3），则有（）

A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N

5．（4分）各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7=8，则log2a1+log2a2+…+log2a10=（）

A．5B．10 C．15 D．20

6．（4分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）

A．7B．15 C．30 D．31

7．（4分）下列不等式一定成立的是（）

A．l g（x2+）＞lgx（x＞0）B．s inx+≥2（x≠kx，k∈Z）

C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）

8．（4分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为（）

A．B．C．D．

9．（4分）数列{a n}中，a3=2，a7=1，若为等差数列，则a11=（）

A．0B．C．D．2

10．（4分）在等差数列{a n}中，若a6+a9+a12+a15=20，则S20等于（）

A．90 B．100 C．110 D．120

二、填空题（将你的答案填在答题卡相应的位置．5分*4=20分．）

11．（5分）全称命题“∀a∈Z，a有一个正因数”的否定是．

12．（5分）已知a=+，b=+，则ab（填“＞”或“＜”）．

13．（5分）已知12＜a＜60，10＜b＜20，则的取值范围是．

14．（5分）已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为．

三、解答题（写出必要的解题过程和推演步骤.10分*4=40分．）

15．（10分）（1）已知a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b﹣1．

（2）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．

16．（10分）变量x，y满足，

①设z=，求z的最小值；

②设z=x2+y2求z的取值范围．

17．（10分）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a﹣2b|≥|a|（|x﹣1|+|x﹣2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

18．（10分）某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米．

（Ⅰ）列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；

（Ⅱ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？

（Ⅲ）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？

甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每题只有一个选项正确，请将正确的选项涂到答题卡上．4分*10=40分．）

1．（4分）已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）

A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2

C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b2

考点：不等关系与不等式．

专题：不等式的解法及应用．

分析：举反例可排除ABD，至于C由不等式的性质平方可证．

解答：解：选项A，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足a＞b，但不满足a2＞b2，故错误；

选项B，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足|a|＞b，但不满足a2＞b2，故错误；

选项D，取a=﹣1，b=1，显然满足a≠|b|，但a2=b2，故错误；

选项C，由a＞|b|和不等式的性质，平方可得a2＞b2，故正确．

故选：C．

点评：本题考查不等式与不等关系，举反例是解决问题的关键，属基础题．

2．（4分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）

A．B．C．﹣D．﹣

考点：等差数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：利用等差数列的通项公式即可得出．

解答：解：由等差数列的通项公式可得a7=a1+6d，∴18=21+6d，解得d=．

故选：D．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．

3．（4分）数列，的一个通项公式是（）

A．B．C．D．

考点：数列的概念及简单表示法．

专题：计算题．

分析：利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．

解答：解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴

故选B

点评：本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．

4．（4分）设M=2a（a﹣2）+7，N=（a﹣2）（a﹣3），则有（）

A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N

考点：不等式比较大小．

专题：计算题．

分析：将两式作差，判断差式的正负，即可得到M＞N

解答：解：M﹣N=（2a2﹣4a+7）﹣（a2﹣5a+6）

=a2+a+1=（a+）2+＞0，∴M＞N．

故答案为A．

点评：本题考查比较大小的方法，常用作差法，是基础题．

5．（4分）各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7=8，则log2a1+log2a2+…+log2a10=（）

A．5B．10 C．15 D．20

考点：等比数列的性质；对数的运算性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由等比数列{a n}的性质可得：a1a10=a2a9=…=a4a7=…，再利用对数的运算法则即可得出．解答：解：由各项为正数的等比数列{a n}，a4•a7=8，

∴a1a10=a2a9=...=a4a7= (8)

∴++…+=log2（a1a2•…•a10）==15．

故答案为：15．

点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算法则，属于基础题．

6．（4分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）

A．7B．15 C．30 D．31

考点：数列递推式．

专题：计算题．

分析：（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解