2019-2020学年重庆八中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年重庆八中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知等差数列中，，，则该数列公差为
A. B. 1 C. D. 2
2.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量
单位：亿千瓦时的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则
A. 144
B. 141
C.
D.
3.已知向量，，若，则
A. 0
B. 1
C. 4
D. 8
4.下列说法中，一定成立的是
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5.已知等比数列的前n项和为且，，则
A. 16
B. 19
C. 28
D. 36
6.若向量，满足，，，则与的夹角为
A. B. C. D.
7.中，，则一定是
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
8.中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则
A. B. C. D.
9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为
A. B. C. D.
10.已知实数x，y满足，则的最小值为
A. B. C. 5 D. 2
11.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，
根据此公式，若，且，则的面积为
A. B. C. D.
12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的取值范围
为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知单位向量夹角为，则______．
14.
x0123
y13
当m变化时，回归直线直线必经过定点______．
15.已知数列的前项和为，，，则______．
16.如图，在中，D是BC的中点，点E在边AB上，，，AD与CE的
交点为若，则______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.等差数列中，，．
求的通项公式；
设，记为数列前n项的和，若，求m．
18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均
速度千米小时之间的函数关系为：．
在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式
若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年
级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生满分150分，且抽取的学生成绩都在内的成绩并制成频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；同一组中的数据以该组区间的中点值作代表
用分层抽样的方法从成绩在和的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率．
20.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且．
求的外接圆直径；
求的取值范围．
21.若数列的前项和为，已知，
求；
设，求使得成立的最小自然数n．
22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利勃劳卡德命名的，他在1875年曾描
述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示．
研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，
求线段QA的长度；
若中，，，，求的值；
若中，若线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，当
时，求公比q的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：等差数列中，，，
，，
故选：B．
由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．
2.答案：C
解析：解：由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78，
数据的中位数为，众数为，
所以，
故选：C．
直接根据图中数据观察以及计算即可得到结论．
本题考查茎叶图中位数和众数，通过定义计算即可，属于基础题．
3.答案：D
解析：解：向量，，
则，
又向量，且，
所以，解得．
故选：D．
根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．
本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．
4.答案：B
解析：解：对于选项A：令，，，，所以结论错误．
对于选项B：由于，所以b为正数，故结论正确．
对于选项C：当，，所以结论错误．
对于选项D：当a和b为正数时，结论成立，故错误．
故选：B．
直接利用赋值法和不等式的的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5.答案：C
解析：解：根据题意，等比数列的前n项和为且，，则，
则有，，，
则有，解可得；
又由，
则；
故选：C．
根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得，解可得，又由
，计算可得答案．
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．
6.答案：A
解析：解：因为，，，
，
即，．
，又因为，
．
故选：A．
根据夹角公式，根据已知条件求出，然后代入夹角公式求其余弦值，即可求出角．
本题考查平面向量的夹角公式，以及数量积的运算．属于基础题．
7.答案：A
解析：解：由题意，
则由正弦定理得，，
，则，
、，
，
则，即，
同理可证，
，则是等边三角形，
故选：A．
根据正弦定理化简，利用两角差的正弦公式化简，利用内角的范围好特殊角的
正弦值判断出A、B、C的关系，即可判断出的形状．
本题考查了正弦定理的灵活应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．
8.答案：A
解析：解：如图，
为BD的中点且，
故选：A．
根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用，表示出向量
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
9.答案：D
解析：解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．
；
；
故选：D．
画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．
本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．
10.答案：A
解析：解：由可得，
则，
，
当且仅当且即，时取等号，
故选：A．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
11.答案：B
解析：解：因为，
所以，
即，
所以，
因为，
所以，
，
由余弦定理可得，，
所以，
则的面积．
故选：B．
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．12.答案：D
解析：解：当且仅当时，
取等号，
因为三角形时锐角三角形，
所以，
所以
所以，
因为
设，，
所以，
因为函数在上是减函数，在上是增函数，
，，
所以cos C的取值范围为
故选：D．
结合基本不等式得，当且仅当时，取等号，根据题意得，又因为，
所以，因为设，，
利用函数得单调性求出最值，进而得出结论．
本题考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．
13.答案：1
解析：解：单位向量夹角为，则
．
故答案为：1．
利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．
本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查．
14.答案：
解析：解：由题意可得；
，
由回归直线方程的性质可知，回归直线直线必经过定点是样本中心．
故答案为：．
利用已知条件求出回归直线方程经过的样本中心坐标即可．
本题考查回归直线方程的简单性质的应用，是基本知识的考查．
15.答案：2020
解析：解：，当，时，有，即，
．
故答案为：2020．
先由当，时，有，再利用数列的相邻项的关系式求解即可．
本题主要考查数列的递推关系式及利用对递推关系式的合理变形求数列的和，属于基础题．
16.答案：
解析：解：中，D是BC的中点，，
，，
又E，O，C三点共线，
设，且三点A，O，D共线，
，解得，
，
，
．
故答案为：．
根据题意设，利用A，O，D三点共线求出的值，
求出、，再计算的值．
本题考查了平面向量的加法、减法和数乘的几何意义，以及平面向量数量积计算问题，是中档题．17.答案：解：等差数列中，，．
，即，
，
由题意可得，，
，
所以，
故
解析：由已知结合等差数列的通项公式即可求解d，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；
由结合等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．
18.答案：解：，
，当且仅当即时取等号．
．
当汽车的平均速度为30千米小时时车流量最大，最大车流量为千辆小时．
令，整理得：，解得：．
解析：分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；
解不等式得出结论．
本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．
19.答案：解：由，解得，
故平均值为；
由直方图知，两组的频率分别为，，
按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名，
则，分别抽取4人，2人，
分别记为，，，，，，
随机抽取的2名的总抽法有，共有15种，
其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，
，有7种，
故两名同学数学成绩落在同一组得概率为．
解析：由频率之和为1，解得a，平均值为
由直方图知，两组的频率分别为，，，分别抽取4人，2人，
分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，
再利用古典概型计算，即可．
本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，属于基础题型．
20.答案：解：因为，
由正弦定理可得，，
即，
所以，
因为，
故且，
故B，
由正弦定理可得，，即外接圆直径1，
由正弦定理可得，，
，
由题意可得，，解可得，
所以，
．
解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；
由已知结合正弦定理可求2R，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．
21.答案：解：，，，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，
；
，
，
成立，
即，解得，
所以最小自然数n为200．
解析：由，故是以1为首项，公比为3的等比数列，求出；
先求出，再利用裂项相消法求出，然后求解不等式
，找到最小的自然数n．
本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法求数列的和、解不等式等基础知识，属于基础题．
22.答案：解：由题意知，，，所以；
在中，由正弦定理得，，
解得；
由题意可得，，，，
且，，
所以，；
在中，由正弦定理得，
在中，，
所以，解得；
设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，
又线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，
所以，；
在和中，由正弦定理得，
，，
所以；
所以，且，
所以，所以，即；
由，；
在和中，由正弦定理得：
，
；
得，即；
又，
展开得，
解得；
又等腰中，，解得；
把代入得，令，
代入后平方整理得，，
解得或不合题意，舍去，
所以公比q的值为．
解析：由题意中利用正弦定理求得QA的值；
在中由正弦定理求得QB，再利用求出QB，列出等式求出的值；
由等比数列求得QB、QC，利用正弦定理列出方程，应用三角恒等变换和方程的知识，求出公比q的值．
本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。