冀教版数学七年级下册-第九章 小结与复习

针对训练
2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B， 则∠B= 90°.
考点三 三角形的外角及其性质
例3 如图：在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3. (1)试说明：∠BAC＝∠DEF；
解：(1)在△ACE中，∠DEF＝∠3＋∠CAE， 因为∠1＝∠3， 所以∠DEF＝∠1＋∠CAE＝∠BAC， 即∠BAC＝∠DEF；
F
是 20°，∠FBC的度数是 40°.
B
C
5.如图，在△ABC中，两条角平分线
A
BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，E
那么∠A的度数是 84° . B
OD C
考点五 本章中的思想方法
方程思想
例5 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3=
∠C,求∠1的度数.
A
)
解：设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.
其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：
∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形
模型，我们称它为“8字型”图.
A
C O
B
D
课堂小结
有关概念
三角形及其顶点、边、角
三边之间的关系
三
角
性质
三角形内角和定理
形
内角与外角的关系
三角形的分类
三角形的角平分线、中线、高
第九章 三角形
小结与复习
要点梳理
一、三角形 1. 不在同一直线上的三条线段首尾_顺__次__相__接__所构
成的图形叫做三角形. 以点A，B，C为定点的三
角形记为_△__A_B_C_，读作“三角形ABC”. 2. 三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边
3. 三角形的分类
不等边三角形 按边分
(2)若∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC度数．
(2)在△BCF中，∠DFE＝∠2＋∠BCF， 因为∠2＝∠3， 所以∠DFE＝∠3＋∠BCF， 即∠DFE＝∠ACB. 因为∠BAC＝70°，∠DFE＝50°， 所以在△ABC中，∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB ＝180°－70°－50°＝60°.
1
因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，
所以∠3=2x, ∠4=x，
2
又因为2x+2x=180 °,得x=36°,
D 3
C
所以∠1=36 °.
方法归纳 在角的求值问题中，常常利用内角、外 角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定 理列方程求解.
方法归纳 等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论， 但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要 解题环节.
考点二 三角形的内角和 例2 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝ 50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°， 所以∠ACB＝180°-∠A-∠B＝180°-50°-70°＝60° 因为CD是∠AC1B的平分线，1 所以∠BCD＝ 2 ∠ACB＝ 2 ×60°＝30°. 因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°-∠B-∠BCD ＝180°-70°-30°＝80°.
分类讨论思想 例6 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三 角形的周长是 26或22 ．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底， 所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26； 第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，
＝S△ADF－S△BEF， 即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
方法归纳 三角形的中线将三角形分成面积相等的两 部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时， 面积的比等于高的比．
针对训练
4.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高， A
若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数E
等腰三角形
腰和底不等的 等腰三角形
等边三角形
锐角三角形 按角分 直角三角形
钝角三角形
4. 三角形的内角和与外角 (1)三角形的内角和等于__1_8_0_°_. (2)三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做 三角形的_外__角___.
(3)三角形的一个外角等于与它_不__相__邻__的两个内 角的和，并且大于与它_不__相__邻__的任何一个内角.
【分析】根据三角形的三边关系满足8-3<a<8+3解答即可.
解： 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第 三边，得
8-3<a<8+3, 所以 5 <a<11. 又因为第三边长为奇数, 所以第三条边长为 7cm或9cm.
针对训练
1.已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则三角 形的周长是 24 ．
考点四 三角形的角平分线、中线、高
例4 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝ 2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF 的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12， 解则析S△因所因所因：A为 以 为 以 为因DF－SSESS为△△△△CS点AAAA＝△BBBBCDEDDB2＝＝＝ －E是BF＝E1SA122△，13_C，SAS_S的B△△_E△_A2＝A中ABB_BCC_(C点＝＝S_＝△_，．A13112D2所××F，＋以1122SA＝＝△DA46B＝.F. )－12 (ASC△，ABF＋ S△BEF)
针对训练 3. 已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E＝180°.
证明：因为∠EFG、∠EGF分别是 △BDF、△ACG的外角， 所以∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C. 因为在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180° 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
三、三角形的高、中线、角平分线：
1. 三角形的高：三角形的一个顶点到它对边所在
直线的垂线段． A 表示法：① AD是△ABC的边BC上的高；
② AD⊥BC于D；
B
DC
③∠ADB=∠ADC=90°.
2. 三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．
A
表示法：① AD是△ABC的边BC上的中线；
② BD=DC= 1 BC.
2
B
D
C
3. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线
与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线
A
段.
12
表示法：
B
D
C
① AD是△ABC中∠BAC的平分线.
② ∠1=∠2= 1 ∠BAC.
2
4. 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三
角形的__重__心__.
考点讲练
考点一 三角形的三边关系 例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成 一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线 段应取多长？