相似三角形之常用辅助线

在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC

变式练习：

已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想）

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若

DC BD ＝FA

FC

=2,求BE:EA 的比值.

变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE

ED =2,求BE:EA 的比

值.

例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF

变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF。

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm,

求AB 、AC 的长.

变式：如图，21==DE AE CD BD ，求

BF

AF

。（试用多种方法解）

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结：

（1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。

（2）引平行线应注意以下几点：

1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行

B C

D

B C

D

B C

D

B C

D

线的点。

2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

专题二、作垂线构造相似直角三角形

例1、如图，中，，，那么吗？试说明∆ABC AB AC BD AC BC CA CD =⊥=⋅2

2理由？（用多种解法） v

变式练习：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2

例2、如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，

B C

求证：FG 2=CF •BF

【练习】

1．如图，一直线与△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于D ，E ，F 。求证：若CF

BF

EC AE =

，则D 是AB 的中点。

2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，求DF ：FE 的值。

3.已知：AM ：MD=4：1，BD ：DC=2：3，求AE ：EC 。

A

B

C

D

E

F

B E

A D

C F

A

B

C

M

E

4、如图，∆ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长

线相交于F，求证：BF

CF

BD

CE

= B

D

A C

F

E