人教版数学高二-备课资料数列中的陷阱种种

数列中的陷阱种种
数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材，是每年高考的必考内容。

而同学们在解题过程中，往往不小心而掉进数列“陷阱”。

下面通过同学们在解题过程中出现的种种失误加以系统的分析、整理、归纳、总结，以便引起大家的注意。

1．条件陷阱
例1．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n 525-=，求数列{}||n a 的前n 项和n T 。

错解一：因为n a n 525-=，所以n n a a -+1=)1(525+-n )525(n --=－5，1a =20， 所以数列{}||n a 是以1a =20为首项，公差为－5的等差数列，
所以n T =)5(2)1(20-⨯-+n n n =22
5245n n -。

错解二：由n a n 525-=≥0，解得5≤n ，
所以数列{}n a 的前5项为非负，从第6项起为负，
所以n T =54321a a a a a ++++=50（5≤n ），
当6≥n 时，n T =||||||76n a a a +++ =－)(76n a a a +++ =－2)]525()6525)[(5(n n -+⨯--=2
)205)(5(--n n ， 所以数列{}||n a 的前n 项和n T =⎪⎩
⎪⎨⎧≥--≤6,2)205)(5(5,50n n n n 。

错解剖析：在错解一中，错误地把数列{}||n a 的前n 项和n T 理解成数列{}n a 前n 项和n S ，忽视了题目中的条件的存在；在错解二中，当5≤n 时，错误地把n T 的值理解成5=n 时对应的值，而当6≥n 时，没理解好条件n T 表示前n 项和，而只是错误地理解成“从6≥n ”起的和。

正确解答：由n a n 525-=≥0，解得5≤n ，
所以数列{}n a 的前5项为非负，从第6项起为负，
当5≤n 时，n T =)5(2)1(20-⨯-+n n n =22
5245n n -， 当6≥n 时，n T =54321a a a a a +++++||||||76n a a a +++ =50－
)(76n a a a +++ =50－2
)]525()6525)[(5(n n -+⨯--=22004552+-n n ， 所以数列{}||n a 的前n 项和n T =⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-6,22004555,2524522n n n n n n 。

点评：把握住题目的条件，正确加以分析并根据不同情况加以必要的分类，结合对应的公式加以分析求解。

不要视条件而不顾，容易导致错误。

2．项数陷阱
例2．已知数列}{n a 中，22n n a n +=
，将数列}{n a 中的第1项，第2项，第4项，第8项，…，第k 2项依次取出，构成一个新数列}{n b ，求数列}{n b 的通项公式。

错解：数列}{n b 中的项与数列}{n a 中的项有如下对应关系：
}{n a 的项数：1，2，4，8，…，12-k ，k 2，…
}{n b 的项数：1，2，3，4，…，k ，1+k ，… 因为2
2)(n n n f a n +==，所以2222)2(n n n f +=， 由题意知数列}{n b 的第n 项，即为数列}{n a 的第n
2项， 所以所求数列}{n b 的通项公式为12-=n a b n =2
222n
n +。

错解剖析：对两个数列相应的项对应的问题中，要注意两者的对应要正确。

上面错解中错误地认为数列}{n b 的第n 项即为数列}{n a 的第n 2项，其中应该是数列}{n b 的第n 项即为数列}{n a 的第12-n 项。

要注意数列对应的正确性。

正确解答：数列}{n b 中的项与数列}{n a 中的项有如下对应关系：
}{n a 的项数：1，2，4，8，…，12-k ，k 2，…
}{n b 的项数：1，2，3，4，…，k ，1+k ，… 因为2
2)(n n n f a n +==，所以2222)2(111---+=n n n f =4224n n +， 由题意知数列}{n b 的第n 项，即为数列}{n a 的第12-n 项，
所以所求数列}{n b 的通项公式为12-=n a b n =4
224n
n +。

点评：在数列变换的过程中，对应数列的项之间的关系要非常明确，不同的对应关系对应不同的数列，要加以分清并确定。

3．通项陷阱
例2．已知数列}{n a 对任意*N n ∈都满足n a a a a n n 5822213221-=++++- ，求
数列}{n a 的通项公式。

错解：由于n a a a a n n 5822213221-=++++- ，
那么)1(58222123221--=++++--n a a a a n n ，
两式对应相减可得5)]1(58[582
1-=----=-n n a n n ， 所以125
--=n n a ，即数列}{n a 的通项公式为125
--=n n a 。

错解剖析：当1=n 时，由题目中的条件可得31=a ，而代入错解中所得的通项公式可得51-=a ，显然出错。

其原因在于两式相减时，所适用的条件是2≥n ，并不包含1=n 的情况。

只有所求通项公式对1=n 时也成立，才可以这样写，否则要加以分开写。

正确解答：当2≥n 时，由于n a a a a n n 5822213221-=++++- ，
那么)1(58222123221--=++++--n a a a a n n ，
两式对应相减可得5)]1(58[5821-=----=-n n a n n ，
所以当2≥n 时，125
--=n n a ，
而当1=n 时，31=a 52
51-=-
≠-n ， 所以数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧≥-==-2,251,31n n a n n 。

点评：由数列部分项之和讨论相应的数列通项时，一定要注意讨论时n 的取值情况以及相关的条件，不要以偏概全。

必要时要对部分特殊的情况加以检验判断。

4．性质陷阱
例4．设数列}{n a 为等差数列，若n a m =，m a n =，其中n m ≠，试求n m a +的值。

错解：由于数列}{n a 为等差数列，所以n m a +=m n a a n m +=+。

错解剖析：错误地利用等差数列的性质。

其实，在等差数列中，若p n m 2=+，则有
p n m a a a 2=+。

而n m a +=n m a a +不一定成立，直接利用不一定成立的所谓的性质，导致错误。

正确解答：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由n a m =，m a n =，
可得：m n d n m a a n m -=-=-)(，而n m ≠，则可得：1-=d ，
所以0)1(=-⨯+=+=+n n nd a a m n m 。

点评：熟练掌握数列相应的性质，不能似是而非。

对性质的错误利用必然导致一些不必要的错误。

同时要注意相关性质所对应的条件，只有在对应的条件成立下，相关的性质才成立。

5．公式陷阱
例5．在等比数列}{n a 中，已知233=a ，2
93=S ，求1a 与q 。

错解一：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--==291)1(23331321S q q a a q a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=)
2(29)1()1(232121q q a q a 由（2）÷（1）得3122=++q
q q ，即0122=--q q ，∴21-=q 或1=q 当21-=q 时，6231==q a a ；当1=q 时，2
331==a a 。

错解二：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--==291)1(23331321S q q a a q a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=)
2(29)1()1(232121q q a q a 由（2）÷（1）得312
2=++q q q ，即0122=--q q ，∴21-=q 或1=q ， 由于1=q 时不合公式，故舍去，∴6231==q
a a 。

错解剖析：错解一中错在使用公式q
q a S n n --=1)1(1时，忽略了1≠q 这个条件。

故所求出的1=q 是增根，应予舍去；错解二中错在不全面展开讨论。

在利用公式时求出1=q 是增根应舍去，其前提条件是1≠q ，而当1=q 时是否也满足题意，应再加以讨论。

正确解答：（1）当1=q 时，23321===a a a ，2
9313==a S ，显然成立。

（2）当1≠q 时，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--==291)1(23331321S q q a a q a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=)
2(29)1()1(232121q q a q a 由（2）÷（1）得3122=++q
q q ，即0122=--q q ，∴21-=q 或1=q ， 由于1=q 时不合公式，故舍去，∴6231==
q a a ； 综上所述，当1=q 时，231=a ；当2
1-=q 时，61=a 。

点评：注意公式利用中所隐含的一些特定的条件，特别是等比数列前n 项和公式中所包括的条件，要加以正确区别与判断。