《信号与系统分析基础》第3章部分习题解答

第三章习题解答
3.2 求下列方波形的傅里叶变换。

(a) 解：
110
2
()()11()2j t j t j t j j a F j f t e dt e e dt j e S e j ωτ
ωτωωτωτωω
ωττω+∞
--∞
----=-=⋅=
-==⎰
⎰
(b) 解：
20
00
22
()1
1
()1[](1
(1)
1
(1)
j t t j t j t j t j j j j t
F e dt
tde j j te e dt j j e e e
j e
τ
ωωττ
ωωωτωτωτ
ωτ
ωτ
τωτωωτωτω
ωττω--------==⋅⋅-=--=+-=
+-⎰⎰⎰
(c) 解：
1
31
1
2
2
11()()2211
1
()()22
1
1
()cos
2
1
()2
1()211
12()
2()
2
2
j t j t j t j t j t j t j t j t
F t e dt
e e e dt e e dt e e
j j ωπ
π
ωππ
ωωπ
π
ωωπ
ωππ
ωω-------+---+--=⋅=+⋅=+=-
-+⎰⎰
⎰
()()()()22221
111
[][]2222
j j j j e e e e j j ππππ
ωωωωππωω----++=⋅--⋅--+
2222sin()sin()cos ()cos ()
cos 2222()()2222
ππππ
ωωωωωωπωππππωωωω-+⋅++⋅-⋅=+==
-+--
3.3依据上题中a,b 的结果，利用傅里叶变换的性质，求题图3.3所示各信号的傅里叶变换. (b) 解：262()()()f t g t g t =+,而()(
)2
g t Sa τωτ
τ↔
2()6(3)2()F Sa Sa ωωω∴=+
如利用3.2中(a)的结论来解，有：
211'()(3)(1)f t f t f t ττ=+++，其中6,'2ττ==.
3211'()()()6(3)2()j j F e F e F Sa Sa ωωττωωωωω∴=⋅+⋅=+
(如()()f t F ω↔，则0
0()()j t f t t e
F ωω±↔)
(c) 解：32222()2()2(),1f t f t f t τττ=++-+= 由3.2(b)知，222
1
()(1)j j F e j e ωτωτωωττω
--=
+-
322222
2
2
2
2
2
2
2
2
()2()2(),11
1
2(1)2(1)2
222
224
4
4
cos (1cos )
j j j j j j j j j j F e F e F e e j e e e j e j
e j
e ωτωτωωωωωω
ω
ω
ωωωτωωωω
ωω
ω
ω
ω
ωωωω
ω
ω
-----∴=+-==⋅⋅+-+⋅⋅--=+-+
-
-
=-
=
-
3.4利用对称性求下列各函数的傅里叶变换.
(2) 22
2(),.f t t t
α
α=-∞<<+∞+ 解：222t e αααω-↔+ ，由对称性，22
22e
t αω
απα-↔+
(3)
2()f t
444444444244()(2)(2)1
(2)()2
1111()(2)(2)[()]*[()][()()]22282,()()0.22,()()2;
26,()()f t Sa t Sa t Sa t g f t Sa t Sa t g g g g g g g g d g g d πππππππωπππ
πππππωππωωωωππωπωωπωπωωυωππωπωωυ-=⋅↔
=⋅↔=*<-*=-<<*==+<<*=⎰解：而，利用频域卷积特性，得：
积分：2444246.
6,()()0
g g π
ωπ
πππωππωωπωω-=-+=->*=⎰
3.8
(3) ()
(2)()2()dF t f t j F d ωωω
-↔-
(6) (25)f t -;
由1[()]()j b a F f at b e F a a ωω--=⋅，2,5,a b == 2.51(25)()22
j f t e F ωω-∴-↔⋅
3.9 计算下列各信号的傅里叶变换.
(2) 3()2(32)()2[2()],2
u t t u t t δδδ+-=+-是偶函数
3
322
3
2
()1,
1[()]().
2, 3.
112(32)21,()().
21
()2(32)()j b a
j j j t F f at b e F a a
a b t e e u t j u t t e j ωωωωδωδπδωωδπδωω
----↔-===∴-↔⋅⋅⋅=↔+∴+-↔++ 由
(7) 33(2)
63(3)9[(2)(3)](2)(3)t
t t e u t u t e
u t e e u t e --+---+--=⋅+-⋅-
33(2)23(3)31
().11
();(2)331
(3)3t t t j t j e u t j e u t e u t e j j e u t e j αω
ω
αωωω
ω---+---↔
+∴↔+↔++-↔+ 同理：32(3)3(3)1
[(2)(3)]()3t j j e u t u t e e j ωωω
-+-+∴+--↔
-+
3.13 已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换如下：
000000
1
[()]
()[c o s ][()()]
[s i n ][()()]
F u t j F t F t j πδωω
ω
πδωωδωωωπδωωδωω
=+=++-=+-- 求单边正弦函数和单边余弦函数的傅里叶变换。

解：1.单边正弦函数：()0()sin ()s f t t u t ω=⋅ 由卷积定理，得：
00000000022011
(){[()()][
()]}2111[][()()]22[()()]
2
s f t j j j j πδωωδωωπδωωπ
π
δωωδωωωωωωωπ
δωωδωωωω↔+--*+⋅=-++--+-=
++---
2.单边余弦函数：()0()cos ()c f t t u t ω=⋅ 有卷积定理，得：
0000000022
011(){[()()][()]}2111[][()()]22[()()]()2
c f t j j j πδωωδωωπδωπωπδωωδωωωωωωωπ
δωωδωωωω↔++-*+=++++-+-=
+++--⋅
3.14 已知11()[()]F F f t ω=，周期函数2()f t 与1()f t 有如题图3.14所示的关系，求
22()[()]F F f t ω=。

解：2111()()()f t f t f t =+- (2()f t 的一个主周期) 对截取的一个周期21()f t 两边进行傅里叶变换：
2111()()()F F F ωωω=+-
由周期信号的傅里叶变换公式，如：
()jn t
T n
n f t F e
+∞
Ω=-∞
=
∑
则，[()]2()T n
n F f t F n π
δω+∞
=-∞
=-Ω∑
在本题中，22,2
T π
π=Ω=
= 而1()f t 的傅里叶变换与1()f t 的傅里叶级数之间的关系为：11
()n F F T
ω= 在本题中，211111
()[()()]2
n F F F F T ωωω=
=+- 21
1
1
1
()[()()]()
[()()]()
n n F F F n F n F n n ωπωωδωππ
ππδωπ+∞
=-∞
+∞
=-∞
∴=+--=+--∑∑
3.16 某系统输入信号()cos 200,()52cos103cos 20s t t f t t t ==++，输出为：
()()()y t s t f t =.试画出()y t 的频谱图。

解：()()[(200)(200)]s t s ωπδωδω↔=++-
()()10()2[(10)(10)]3[(20)(20)]1
()[(200)(200)][10()22(10)2(10)3(20)3(20)]5(200)5(200)(210)(190)(190)(210)f t F Y ωπδωπδωδωπδωδωωπδωδωπδωπ
πδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδω↔=+++-+++-=
⋅++-*++++-+++-=++-+++-+++-+33(220)(180)22
33(180)(220)22
1.5(220)(210)5(200)(190)1.5(180) 1.5(180)(190)5(200)(210) 1.5(220)
ππ
δωδωππ
δωδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδω++-+
++-=++++++++++-+-+-+-+-
t。