2014年高考一轮复习热点难点精讲精析5.2数列综合应用

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：
5.2数列综合应用
一、数列求和 （一）分组转化求和 ※相关链接※
1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之；
2、常见类型及方法
(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)a n ＝a ·q n －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；
(3)a n ＝b n ±c n 或⎧=⎨⎩n n n b n a c n 为奇数
，为偶数
数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求
{a n }的前n 项和.
注：应用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值。

※例题解析※
【例】(1)已知数列: ,(),(),,(),,-+++⋯+++⋯+⋯n 1111111
1111224242
则其前n 项和S n =__________.
(2)已知+⎧⎪
=⎨⎪⎩n n 25n 1n a 2n 为奇数
为偶数
①求数列{a n }的前10项和S 10; ②求数列{a n }的前2k 项和S 2k .
【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.
(2)把奇数项和偶数项分开求和.
解析：(1)∵(),---=+++⋯+==--n
n n 1n 1
1111112a 121242212
().---
∴=-+++⋯+=-=-+-n n 2n 1n 11111112S 2n 12n 2n 21222212
答案: --+n 11
2n 22
(2)①S 10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)
()().+-=+=-55646212192212
②由题意知,数列{a n }的前2k 项中,k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k 个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.
∴S 2k =［6+16+…+(10k-4)］+(2+22+…+2k )
()().++--=+=++--k 2k 1k 610k 42125k k 22212
［］
（二）错位相减法求和 ※相关链接※
1、一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法；
2、用错位相减法求和时，应注意
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的n S -n
qS 的表达式。

3、利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。

※例题解析※
〖例〗已知数列{}n a 满足121321,,,,,
n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为a 的等比数列。

（1）求n a ；
（2）如果a=2,(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

思路解析：（1）根据题意得到表达式，再用累加法求通项；（2）利用错位相减法求和。

解答：（1）由11a =，当n ≥2时，11n n n a a a ---=，
∴21121321()()()1n n n n a a a a a a a a a a a --=+-+-++-=+++
①当a=1时，n a n =;
②当a ≠1时，11n
n a a a
-=-，
∴1
.1(1)
1n
n n a a a a a
=⎧⎪
=⎨-≠⎪
-⎩
（2）2312122,2 1.(21)(21)(21)(21)2(21),
12
[23252(21)2][135(21)].n
n n n n n n n n n a a b n a n n n S b b b n n -=∴==-∴=-=--=----∴=+++=++++--++++- 2323252(21)2n n T n =+++
+-令……………………………………………………………① 则2341223252(21)2(21)2n n n T n n +=++++-+-…………………………………………②
①-②，得
231231
211
21111122222222(21)222(222)(21)22(12)
22(21)212
228(21)26(32)2,(23)26,(211)
(23)262
(23)26
n n n n n n n n n n n n n n n T n n n n n T n n n S n n n ++-+++++++-=+++
+--=++++---=+---=+---=-+-∴=-+-+∴=-+-=--+
（三）裂项相消求和 ※相关链接※
1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；
2、一般情况如下，若{}n a 是等差数列，则
111111()n n n n a a d a a ++=-，22
1111
()2n n n n a a d a a ++=-，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和。

3、常见的拆项公式有：
（1）
();=-++111
n n 1n n 1
（2）
()();=-++1111
n n k k n n k
（3）
()()();=--+-+1
1112n 12n 122n 12n 1
（4）
()()()()()
;=-+++++1111
n n 1n 22n n 1n 1n 2［］
（5
=
1
k
※例题解析※
【例】（2012·大连模拟）已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ,且满足4S n =(a n +1)2， (1)求{a n }的通项公式; (2)设+=
n n n 1
1
b a a ，
数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的最小值. 【方法诠释】(1)利用S n+1-S n =a n+1寻找a n+1与a n 的关系. (2)先用裂项法求T n ,再根据数列{T n }的单调性求最小值. 解析：(1)因为(a n +1)2=4S n , 所以()(),.++++==2
2
n
n 1
n
n 1
a 1a 1S S 4
4
所以()(),++++-+-==2
2
n 1
n n 1n n 1
a 1a 1S S a 4
即,+++=-+-22
n 1n 1n n 1n 4a a a 2a 2a
∴2(a n+1+a n )=(a n+1+a n )·(a n+1-a n ).
因为a n+1+a n ≠0，所以a n+1-a n =2，即{a n }为公差等于2的等差数列. 由(a 1+1)2=4a 1，解得a 1=1,所以a n =2n-1. (2)由(1)知()()()=
=--+-+n 1111
b 2n 12n 122n 12n 1
，
∴T n =b 1+b 2+…+b n
()
()().=-+-+⋯+-=-=--+++11111111111123352n 12n 122n 1222n 1 ()()
+-=
---++n 1n 1111
T T 222n 3222n 1［］ ()()()()
,=
-=++++111022n 122n 32n 12n 3＞
∴T n+1＞T n ，∴数列{T n }为递增数列, ∴T n 的最小值为.=-=1111T 263
（四）数列求和的综合应用
〖例〗设数列{}n a 满足1a a =，11,,,0.n n a ca c n N a c c *+=+-∈≠其中为实数且 （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设，，
，求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（3）若0101n a n N c *<<∈<≤对任意成立，证明
思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解{}n a ；（2）利用错位相减法求n S ；
（3）利用反证法证明。

解答：（1）方法一：由题意，11(1)n n a c a +-=-，∴当a ≠1时，
{}11n a a c --是首项为，公比为的等比数列.∴111(1),(1) 1.n n n n a a c a a c ---=-=-+即当
a=1
时，1n a =仍满足上式。

∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1()n n a a c n N -*=-+∈。

方法二：
{}21112111121(1)(1)(1)(1).
(1) 1.1(1)1()
n n n n n n n n n n n a c a c a c a a c a a c n a a a a a c n N ------*≥-=-=-==-=-∴=-+==∴=-+∈由题设得，时，时，也满足上式.
的通项公式为
（2）
12122312312311
(1)(),
2
111
2()(),
222
11111()2()(1)()(),22222111111
()()()(),222222
11111
1()()()()2222211
2[1()]().
22
2(n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n a c n S b b b n S n n S n S n n S -++-=-==+++=+++=+++-+∴=++++-∴=+++++-=--∴=-由（
1）得b (1)
2)().
2
n n + （3）由（1）知1(1)1n n a a c -=-+。

若1
0(1)11n a c -<-+<，则10(1)1n a c -<-<。

∵101a a <-<，
∴11
0()1n c n N a
-*<<
∈-。

由10n c ->对任意()n N *∈成立，知c>0.下证c ≤1.用反证法。

方法一：假设c>1.由函数f(x)=x c 的函数图象知，当n 趋于无穷大时，1n c -趋于无穷大。

∴111n c a
-<-不能对()n N *
∈恒成立，导致矛盾。

∴c ≤1, ∴o< c ≤1.
注：数列综合问题、数列通项、数列求和从近几年高考看考查力度非常大，常以解答题形式出现，同时数列与三角函数、解析几何以及不等式证明问题相结合更是高考考查的重点。

本例既考查了数列通项，又考查了数列求和，同时也考查了不等式的证明，解题时注意分类讨论思想的应用。

二、数列的综合应用
（一）等差、等比数列的综合问题 ※相关链接※
1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；
2、利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值。

同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。

※例题解析※
〖例1〗已知数列{a n }为等差数列，且a 1=1,{b n }为等比数列，数列{a n +b n }的前三项依次为3,7,13.求
(1)数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)数列{a n +b n }的前n 项和S n .
解答：思路解析：根据已知条件设出等差数列的公差，等比数列的首项和公比，然后根据条件列出方程组求解，在解决第二问时可以考虑等差数列和等比数列分组求和.
(1)设{a n }的公差为d,{b n }的首项为b 1,公比为q, 根据已知条件可得
,,,=⎧⎪+=⎪⇒===⎨
+=⎪⎪+=⎩111
12233a 1a b 3b 2d 2q 2a b 7a b 13
∴a n =2n-1,b n =2n .
(2)由于{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，所以数列{a n +b n }的前n 项和S n 可以表示为
S n =(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n ) ()-+-=+
-n 21212n 1n 212
=n 2+2n+1-2.
〖例2〗（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
思路解析：（1）利用等比数列的定义证明； （2）利用{}n b 的通项公式，累加法求n a ； （3）利用等差中项公式 解答：（Ⅰ）证明：由题设
11
(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得
11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．
又
1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ） 211a a -=，
32a a q -=，
……
2
1n n a a q --=，（2n ≥）．
将以上各式相加，得211n n
a a q q --+++=（2n ≥）
．
所以当2n ≥时，
1
1,,.
1,111n n q q q a n q
-≠=⎧-+
⎪=-⎨⎪⎩
上式对1n =显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然
3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．
由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得36
11q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）
．于是
q = 另一方面，
2113
3
(1)
11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，
151
66(1)
11n n n n n q q q a a q q q -+-+--==---．
由①可得
36n n n n a a a a ++-=-，*n N ∈．
所以对任意的*
n N ∈，
n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
（二）以等差数列为模型的实际应用 ※相关链接※
1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。

然后用等差数列知识求解。

这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。

2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
※例题解析※
〖例〗气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为
*49
()10
n n N +∈元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天?
思路解析:列出平均耗资→转化为可利用基本不等式的形式→利用基本不等式求解→得出结论 解答:由第n 天的维修保养费为
*49
()10
n n N +∈元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时相应n 的值.设一共使用了n 天则使用n 天的平均耗资为
4449(5)10
3.210 3.2102
4.9520
n
n n n
n ++⨯+
⨯=++，
当且仅当43.21020
n
n ⨯=
时,取得最小值,此时n=800. 答:一共使用了800天.
(三)以等比数列为模型的实际应用 ※相关链接※
1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n 项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。

2、与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。

这都与等比数列有关。

※例题解析※
〖例〗我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目12,,,n a a a ……是一个公差为d 的等差数列。

与此同时，国
家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。

这就是说，如果固定利率为r(r>0),那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1),
,n a r -+以
n T 表示到第n 年所累计的储备金总额。

（1）写出n T 与1n T -（n ≥2）的递推关系式；
（2）求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列。

思路解析：（1）中关系式容易列出；（2）中利用n T 与1n T -，1n T -与2n T -…的关系以此类推，逐步得n
T 的表达式，再利用错位相减法求得n T ，即不难得出n A 与n B
解答：（1）由题意可得： 1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥
（2）11,2T a n -≥对反复使用上述关系式，得
21211
2
121(1)(1)(1)=(1)
(1)
(1)n n n n n n n n n n
T T r a T r a r a a r a r a r a ------=++=++++=+++++++…………①
在①式两端同乘1+r ，得
12121(1)T =(1)(1)(1)(1)
n n n n n r a r a r a r a r --+++++++++……②
12111122112212-(1)[(1)(1)+(1)][(1)1](1).(1).
(1),,
.(1)1(0)n n n n n
n n n n n n n n n n n n n rT a r d r r r a d
r r a r a r
a r d a r d d
T r n r r r a r d a r d d
A r
B n r r r
a r d
T A B A r r r r
B --=+++++++-=
+--++-++=+--++=+=--+=+++>②①，得……即如果记则其中{}是以为首项，以为公比的
等比数列；
{}12a r d d d
r r r +---是以为首项，以为公差的等差数列.
（四）数列与解析几何、不等式的综合应用
〖例1〗知曲线
22
:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线
n l ，切点为(,)n n n P x y ．
（1）求数列
{}{}n n x y 与的通项公式；
（2
）证明：
13521n
n n
x
x x x x y -⋅⋅⋅
⋅<
<.
解答：（1）设直线n l ：)1(+=x k y n ，联立022
2=+-y nx x 得
0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，则
0)1(4)22(2
222=+--=∆n n n k k n k ，∴12+=
n n k n （
12+-
n n
舍去）
2222
2)1(1+=+=n n k k x n n n
，即1+=n n x n ，∴112)1(++=+=n n n x k y n n n （2）证明：∵
1
21
111111+=++
+-
=
+-n n n n n
x x n
n
12112125331212432112531+=+-⨯⋅⋅⋅⨯⨯<-⨯⋅⋅⋅⨯⨯=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-n n n n n x x x x n
∴
n
n
n x x x x x x +-<
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-1112531
由于
n
n n n
x x n y x +-=+=11121，可令函数x x x f sin 2)(-=，则
x x f cos 21)('
-=，令0)('=x f ，得
22cos =
x ，给定区间)4,0(π，则有0)('
<x f ，则函数)(x f 在
)4,0(π
上单调递减，∴0)0()(=<f x f ，即x x sin 2<在)
4,0(π
恒成立，又
4311210π
<≤+<n ，
则有121sin
2121+<+n n ，即n n n
n y x x x sin 211<+-.
注：数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点。

数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。

方法提示：数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度.所以，解决此类题目仅靠掌握单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等.
〖例2〗已知点（1，31
）是函数
,0()(>=a a x f x
且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n
b )0(>n b 的首项为
c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.
（1）求数列
}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）若数列{}
11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少？
解答：（1）()113f a ==
Q ,
()13x
f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2
9=-
, ()()32
3227
a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ .
又数列{}n a 成等比数列，2
2
134
2181233
27a a c
a ===-=-- ，所以 1c =；
又公比
2113a q a ==，所以1
2112333n n
n a -⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭ *n N ∈ ；
1n n S S --=
=Q
()2n ≥
又
0n b >
0>
, 1=；
数列
构成一个首相为1公差为1
()111n n
=+-⨯= ， 2
n S n =
当2n ≥，
()2
21121
n n n b S S n n n -=-=--=- ；
21n b n ∴=-(*n N ∈)；
（2）12233411111
n n n T b b b b b b b b +=++++
L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K
1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K
11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； 由
1000212009n n T n =
>+得10009n >，满足1000
2009n T >的最小正整数为112.
注：数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题。

此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题。

解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。