2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含

2.2.2双曲线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础巩固
1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()
A.6
B.8
C.9
D.10
(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()
A.x2-y2=1
B.x2-y2=2
C.x2-y2=
D.x2-y2=
,设双曲线方程为=1(a>0),
则c=a,一条渐近线为y=x,∴,
∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.
3.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()
A.焦距相同
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.
4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.
5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()
A. B. C. D.
a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.
6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.
双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),
∴32-=1,
解得b2=2,即b=或b=-(舍去).
∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
±x
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.
=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.
1
8.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程
为.
=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3.
设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,
根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1.
1
9.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程.
F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b<5),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,
即4=×3,所以b2=16,
故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.
10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,
∴b2=1,∴双曲线的方程为-y2=1.
(2)∵a=,b=1,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
令x=-2,则y=±,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=.
记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.
能力提升
1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线C:=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的是()
A.x2-y2=1
B.x2-=1
C.y2-2x2=1
D.=1
C的离心率为2,对于A,其离心率为,不符合题意;
对于B,其离心率为,符合题意;
对于C,其离心率为,不符合题意;
对于D,其离心率为3,不符合题意.故选B.
2.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()
A.e>
B.1<e<
C.e>2
D.1<e<2
O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.
3.已知a>b>0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程
为.
,
得,解得,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.
±y=0
4.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.
y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=±x.
若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;
若焦点在y轴上,则,于是离心率e=.
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;
(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.
设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.
(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,
解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.
6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.
设椭圆C1的标准方程为=1(a1>b1>0),
根据题意得2a1=10,则a1=5.
又e1=,∴c1=4,b1=3,
∴椭圆C1的标准方程为=1.
(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,∴|MN|=.
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,
∴a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,
整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.
又e>1,
∴e=2.
又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,
∴c=4,
∴a2=4,b2=12,
∴双曲线C2的标准方程为=1.
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。