工程数学-复变函数与积分变换吉林大学数学学院 习题详解

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《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）
高等教育出版社 习题一（P12）
对任何z ，2
2z z =是否成立？如果是，就给出证明。

如果不是，对哪些z 值才成立？
解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，2
22z x y =+；
若2
2z z =成立，则有2222
2x y xyi x y -+=+，即222220
x y x y
xy ⎧-=+⎨=⎩，解得
0y =，即z x =。

所以，对任何z ，2
2z z =不成立，只对z 为实数时才成立。

求下列各式的值：
（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13
(1)i -。

解：（16
2i
i e
π-
=，所以
5
55
55
6661)223232())22i i i i e e e i i πππ
--⨯-⎛⎫====--=- ⎪⎝⎭
（2）因为41i
i e π
+=，所以
6
3663
442(1)288i i i e e e i πππ
⨯⎫+====-⎪⎭
（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以
()1
6
22cos sin cos
sin
6
6
k k k w i i ππ
ππ
ππ++==+=+，其中
0,1,2,3,4,5k =；
即01
cos
sin
6
6
2
w i i π
π
=+=
+，1cos sin 22w i i ππ=+=，
2551cos
sin 662w i i ππ=+=+，3771
cos sin 662
w i i ππ=+=，
433cos
sin 22w i i ππ=+=-
，511111cos sin 6622
w i i ππ=+=-。

（4
）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以
1
13
6
2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥
=-=+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，其中0,1,2k =；
即1
6
02cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，1
61772cos sin 1212w i ππ⎡
⎤=+⎢⎥⎣
⎦，
1
6
2552cos sin 44w i ππ⎡
⎤=+⎢⎥⎣
⎦。

求方程380z +=的所有根。

解法一：用因式分解法求解。

因为 33322
82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ⎡⎤+=+=+-+=+-++⎣⎦
22
(2)(1)((2)(11z z z z z ⎡⎤=+-+=+-+--⎣⎦
所以由380z +=
，得(2)(110z z z +-+--=， 解得 12z =-
，21z =-
31z =+
故方程380z +=的所有根为12z =-
，21z =+
31z =+
解法二：用复数的方根的方法求解。

由380z +=，得38z =-，即z 是8-的三次方根；而
88(cos sin )i ππ-=+，所以
2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππ
ππ++++⎤⎡⎤==+=+⎥⎢⎥⎦⎣
⎦，其中0,1,2k =；
即02cos sin 133z i ππ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭12(cos sin )2z i ππ=+=，
2552cos sin
133z i ππ⎛
⎫
=+=- ⎪⎝
⎭
故方程380z +=的所有根为01z =+12z =，21z =- 指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图，
（1）56z -=； （2）21z i +≥； （3）Im()2z ≤； （4）
0arg z π<<。

解：（1）56z -=表示以点(5,0)为中心，6为半径的圆周；
（2）21z i +≥表示以点(0,2)-为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部； （3）Im()2z ≤表示直线2y =及其下面的部分； （4）0arg z π<<表示位于x 轴上方的部分。

指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单联通的还是多联通的。

（1）Im()0z >； （2）14z ->； （3）0Re()1z <<； （4）
23z ≤≤。

解：（1）Im()0z >表示位于x 轴上方的区域，它是无界区域，是单联通的；
（2）14z ->表示以点(1,0)为中心，4为半径的圆周的外部区域，它是无界区域，是多联通的；
（3）0Re()1z <<表示介于两直线0x =与1x =之间的区域，它是无界区域，是单联通的；
（4）23z ≤≤表示夹在以原点为圆心，2和3为半径的圆周之间的部分并且包含那两个圆周的闭区域，它是有界的，但它是多联通的。

已知映射3w z =，求：
（1）点1z i =，21z i =+，3z i =在w 平面上的像； （2）区域0arg 3
z π
<<
在w 平面上的像。

解：（1）将1z i =，21z i =+，3z i =分别代入3w z =，得
33211w z i i i i ====-，
33222(1)(1)(1)2(1)22w z i i i i i i ==+=++=+=-+，
3
33
33
66233(3)2288i i i w z i e e e i πππ
⨯⎛⎫==+==== ⎪⎝⎭
，
即点1z i =，21z i =+，33z i =+在w 平面上的像分别为i -，22i -+，
8i 。

（2）设w u iv =+，则由3w z =，可得3arg 2Argw z k π=+（k Z ∈）； 又arg 2Argw w m π=+（m Z ∈），所以，当0arg 3
z π
<<
时，0arg w π<<；
从而区域0arg 3
z π
<<
在w 平面上的像是位于u 轴上方的部分。

设1()2z
z f z i z z
⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（0z ≠），试证当0z →时()f z 的极限不存在。

证：因为
()
2
2
2
2
2
1()()2Re()2Im()
2Re()Im()
()2222z z z z z z z z z i z z z f z i z z izz
i z
i z
z
-⎛⎫+-=-=
=
=
=
⎪⎝⎭，
则令z x iy =+（,x y R ∈），()(,)(,)f z u x y iv x y =+，代入上式，得
22
2(,)(,)xy u x y iv x y x y +=+，即22
2(,)(,)0
xy u x y x y v x y ⎧
=⎪+⎨⎪=⎩； 又当0z →时，有0x →且0y →；而22
00
2lim (,)lim
x x o y y xy
u x y x y
→→→→=+不存在， 所以0
lim ()z f z →不存在。

试证arg z 在原点与负实轴上不连续。

证：（1）因为0Arg 无意义，故rg0a 也无意义，即arg z 在0z =处无定义，故arg z 在0z =处不连续。

（2）设00x <为负实轴上的任意一点，因为arg z ππ-<≤，如右图所示，当z 在第二象限中沿直线0x x =趋于0x 时，arg z 趋于π；而当z 在第四象限中沿直线0x x =趋于0x 时，arg z 趋于π-； 所以 0
lim arg z x z →（00x <）不存
在，故arg z 在负实轴上不连续。

由（1）（2）可知，arg z 在原点与负实轴上不连续。

第二章 解析函数 习题二（P25）
利用导数定义指出： （1）1
()n
n z nz
-'=（n 为正整数）； （2）211z z '
⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

解：（1）由导数的定义，有
0()()lim
n n
n
z z z z z z
∆→+∆-'=∆ []1232210()()()()...()lim
n n n n n z z z z z z z z z z z z z z z z z
-----∆→⎡⎤+∆-+∆++∆++∆+++∆+⎣⎦∆分子分解因式 1232210
lim ()()()...()n n n n n z z z z z z z z z z z z z -----∆→⎡⎤=+∆++∆++∆+++∆+⎣⎦ 1232211...n n n n n n z z z z z zz z nz ------=+++++=
所以 1()n n z nz -'=。

（2）由导数的定义，有
20000()11
111()()lim lim lim lim ()z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z
∆→∆→∆→∆→-+∆-∆-
'+∆+∆⎛⎫+∆====-=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭
，
故211z z '
⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

下列函数何处可导何处解析
（1）2()f z x iy =-； （2）33()23f z x y i =+； （3）22()f z xy ix y =+； （4）()sin cos f z xchy i xshy =+
解：（1）因为2
()f z x iy =-，所以2u x v y
⎧=⎨=-⎩，则2u x x ∂=∂，0u
y ∂=∂，0v x ∂=∂，1v
y
∂=-∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；
若C R -方程成立，则2100
x =-⎧⎨=-⎩，即12x =-；
即只有当1
2
x =-时，2()f z x iy =-才满足C R -方程。

所以，函数2()f z x iy =-只在直线1
2
x =-上的点可导。

由函数解析的定义可知，函数2()f z x iy =-在整个复平面内处处不解析。

（2）因为33()23f z x y i =+，所以3
3
23u x v y
⎧=⎪⎨=⎪⎩；则2
6u x x ∂=∂，0u y ∂=∂，0v x ∂=∂，29v
y y
∂=∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；
若C R -方程成立，则226900
x y ⎧=⎨=-⎩0±=；
0±=时，33()23f z x y i =+才满足C R -方程。

所以，函数33()23f z x y i =+0=上的点可导。

由函数解析的定义可知，函数33()23f z x y i =+在整个复平面内处处不解析。

（3）因为2
2
()f z xy ix y =+，所以22
u xy v x y
⎧=⎪⎨=⎪⎩；则2
u y x ∂=∂，2u xy y ∂=∂，2v xy x ∂=∂，2v
x y
∂=∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；
若C R -方程成立，则22
22y xy
xy x
⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即0x y ==； 即只有当0x y ==时，22()f z xy ix y =+才满足C R -方程。

所以，函数22()f z xy ix y =+只在点0z =处可导。

由函数解析的定义可知，函数22()f z xy ix y =+在整个复平面内处处不解析。

（4）因为()sin cos f z xchy i xshy =+，所以sin cos u xchy
v xshy =⎧⎨=⎩；
则
cos u xchy x ∂=∂，sin u xshy y ∂=∂，sin v xshy x ∂=-∂，cos v xchy y
∂=∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的，并且
()sin cos f z xchy i xshy =+在整个复平面内满足C R -方程；
所以，函数()sin cos f z xchy i xshy =+在整个复平面内处处可导，从而处处解析。

指出下列函数的解析性区域，并求其导数。

（1）5(1)z -； （2）32z iz +； （3）
2
1
1
z -； （4）
az b
cz d
++（c ，d 中至少有一个不为零） 解：（1）函数5(1)z -在整个复平面内处处解析，且54(1)5(1)z z '⎡⎤-=-⎣⎦。

（2）函数32z iz +在整个复平面内处处解析，且32(2)32z iz z i '+=+。

（3）函数
21
1
z -在除去1z =±的复平面内处处解析，且当1z ≠±时222
121(1)z z z '⎛⎫=- ⎪--⎝⎭。

（4）因为c ，d 中至少有一个不为零，则
①当0c =时，函数为
az b
d
+，它在整个复平面内处处解析，且az b a d d '+⎛⎫= ⎪⎝⎭
； ②当0c ≠时，函数
az b cz d
++在除去d
z c =-的复平面内处处解析，且当
d z c ≠-时22
()()()()az b a cz d c az b ad bc
cz d cz d cz d '++-+-⎛⎫== ⎪+++⎝⎭。

求下列函数的奇点： （1）
21(1)z z z ++； （2）22
2
(1)(1)
z z z -++。

解：（1）函数
21
(1)
z z z ++的奇点即为该函数没有意义的点，也即为该函数分
母等于零的点，即0,z i =±为函数
21
(1)
z z z ++的奇点。

（2）函数
22
2
(1)(1)
z z z -++的奇点即为该函数没有意义的点，也即为该函数分母等于零的点，即1,z i =-±为函数
222
(1)(1)
z z z -++的奇点。

如果()f z u iv =+是z 的解析函数，证明：
2
2
2()()()f z f z f z x y ⎛⎫∂∂
⎛⎫'+= ⎪ ⎪
∂∂⎝⎭⎝⎭。

证：由()f z u iv =+是z 的解析函数，得
u v
x y u v
y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 且 ()u u f z i x y ∂∂'=-∂∂ ， 从而222()u u f z x y ⎛⎫∂∂⎛⎫'=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭；
又()f z =
()u u u v u v u v f z x ∂∂∂∂-+∂==∂
，()u v u u u v u v
f z y ∂∂∂∂++∂==
∂； 所以 2
2
222222()()u u u u u v u v f z f z x y y x x y u v u v ⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂-+ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭+=
+⎢⎥⎢⎥∂∂++⎣⎦⎣⎦
2222
222222
22u u u u u u u u u uv
v u uv v x x y y y x y x u v ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫-++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=
+ 2
2
222222
22
()()u u u v u v x y u u u v x y ⎛⎫∂∂⎛⎫
+++ ⎪ ⎪∂∂⎛⎫∂∂⎛⎫⎝⎭⎝⎭==+ ⎪ ⎪+∂∂⎝⎭⎝⎭
， 故22
2
2
2()()()f z f z u u f z x y x y ⎡⎤⎡⎤∂∂⎛⎫
∂∂⎛⎫'+==+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦。

结论得证。

设3232()my nx y i x lxy +++为解析函数，试确定l ，m ，n 的值。

解：因为在复变函数3232
()my nx y i x lxy +++中，有32
32
u my nx y
v x lxy
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩， 则
2u nxy x ∂=∂，223u my nx y ∂=+∂，223v x ly x ∂=+∂，2v
lxy y
∂=∂； 显然，这四个偏导函数在整个复平面内都是连续的；
又3232()my nx y i x lxy +++为解析函数，所以应满足C R -方程，则有
2222
223(3)nxy lxy my nx x ly =⎧⎨+=-+⎩，解得313
l m n =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩。

证明C R -方程的极坐标形式是：
1u v
r r θ
∂∂=∂∂，1v u r r θ∂∂=-∂∂。

证：C R -方程即为u v
x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩；
而直角坐标与极坐标的关系是cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，所以(,)(cos ,sin )
(,)(cos ,sin )
u x y u r r v x y v r r θθθθ=⎧⎨=⎩，
则
cos sin u u x u y u u r x r y r x y
θθ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂， (sin )cos sin cos u u x u y u u u u r r r x y x y x y θθθθθθθ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-+=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
cos sin cos sin sin cos v v x v y v v u u u u r x r y r x y y x x y
θθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+=-+=-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂，
(sin )cos (sin )cos sin cos v v x v y v v u u u u r r r r r x y x y y x y x θθθθθθθθθ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-+=--+=+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭
所以
1u v r r θ∂∂=∂∂，1v u
r r θ
∂∂=-∂∂。

若函数()f z u iv =+在区域D 内解析，且满足下列条件之一，试证()f z 必为常数。

（1）()f z 恒取实值； （2）()f z 在D 内解析； （3）()f z 在D 内为一个常数； （4）arg ()f z 在D 内为一常数； （5）au bv c +=，其中a ，b 和c 为不全为零的实常数。

证：因为函数()f z u iv =+在区域D 内解析，所以()f z u iv =+在区域D 内
满足C R -方程，即 u v
x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ …………（*）
（1）因为()f z 恒取实值，则可设()(,)f z u x y =；此时（*）为
00u v
x y u v y
x ∂∂⎧==⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-=⎪∂∂⎩ 解得(,)u x y C =（其中C 为任意一个复常数）， 从而()f z C =为常数。

结论成立。

（2）因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()(,)(,)f z u x y iv x y =-；
由函数()f z 在D 内也解析，所以()(,)(,)f z u x y iv x y =-在D 内满足C R -方程，即
()
()u v v x y y u v v y
x x ∂∂-∂⎧==-⎪∂∂∂⎪
⎨
∂∂-∂⎪=-=⎪∂∂∂⎩ （**） 则由（*）和（**），可得0
0u u
x y v v x y
∂∂⎧==⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪==⎪∂∂⎩，即1
2
u C v C =⎧⎪⎨=⎪⎩（其中1C ，2C 为任意复常数）
从而12()f z C iC =+为常数。

结论成立。

（3）因为()f z u iv =+
，所以()f z =
又()f z 在D 内为一个常数，则2
()f z 在D 内也为一个常数，即
2
22()f z u v C =+=（其中C 为非负数）
①当0C =时，即2
22()0f z u v =+=，则0u v ==（因为u ，v 都是二元实函数），从而()0f z =，结论得证。

②当0C ≠时，则对方程22u v C +=（0C ≠）两边分别关于x ，y 求偏导数，得
00u
v u v x
x u v u v y y ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎨
∂∂⎪+=⎪∂∂⎩
…………（***）， 将（*）代入（***），得 00u
u u v x y u u u v y x ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩…………（****）
方程（****）为齐次线性方程组，且其系数行列式
2222()0u v
u v u v C v u
-=--=+=≠，
故方程（****）只有零解，即
0u u x y
∂∂==∂∂，将此结果代入（*），得0v v x y
∂∂==∂∂； 由
0u u x y
∂∂==∂∂解得1u C =（其中1C 为任意复常数）； 由
0v v x y
∂∂==∂∂解得2v C =（其中2C 为任意复常数）； 所以12()f z C iC =+为常数。

结论成立。

（4）因为arg ()f z 在D 内为一常数，又arg ()f z ππ-<≤，所以 ①当arg ()2
f z π
=±
时，有0u =，此时
0u u x y
∂∂==∂∂； 将
0u u x y ∂∂==∂∂代入（*），得0v v x y
∂∂==∂∂，解得v C =（其中C 为任意复常数）；
此时()f z iC =为常数，则结论成立。

②当arg ()2
f z π
≠±
时，有[]tan arg ()v
f z u
=
且0u ≠； 由arg ()f z 在D 内为一常数，则[]tan arg ()v
f z u
=
也为常数； 此时记
v
k u
=（其中k 为实常数），即v ku =； 对方程v ku =两边分别关于x ，y 求偏导数，得v u k x
x v u k y y ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩…………
（******）
将（******）代入（*），得u u k x y u u k y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩，即22(1)0(1)0
u k x u k y ∂⎧+=⎪∂⎪⎨∂⎪+=⎪∂⎩；
因为k 为实常数，所以210k +≠，从而00u x
u y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩，将此结论代入（*），可得
00v
x
v y
∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩； 由
0u u
x y
∂∂==∂∂解得1u C =（其中1C 为任意复常数）； 由
0v v x y
∂∂==∂∂解得2v C =（其中2C 为任意复常数）； 所以12()f z C iC =+为常数。

结论成立。

（5）因为au bv c +=（其中a ，b 和c 为不全为零的实常数），则 （I ）当a ，b 和c 中只有一个为零时，
①当0
00
b a
c =⎧⎪
≠⎨⎪≠⎩时，则c u a =为实常数，是（1）的情形，此时结论成立；
②当0
00
a b c =⎧⎪
≠⎨⎪≠⎩时，则c v b =为实常数，此时证明过程与（1）类似，结论也是成立
的；
③当0
00
c a b =⎧⎪
≠⎨⎪≠⎩时，则a v u b =-（其中a b -是实常数），是（4）中的情形②；此时
结论成立。

（II ）当a ，b 和c 中有两个为零时，
①当00b c a ==⎧⎨≠⎩
时，则0u =为实常数，此时()f z iv =，从而（*）为
00u v x y u v y
x ∂∂⎧==⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-=⎪∂∂⎩ 解得(,)v x y C =（其中C 为任意一个复常数）， 从而()f z iC =为常数。

结论成立。

②当00a c b ==⎧⎨≠⎩时，则0v =为实常数，此时()(,)f z u x y =是（1）的情形，此时
结论成立。

③不可能出现0
a b c ==⎧⎨≠⎩的情况。

找出下列方程的全部解。

（1）sin 0z =； （2）cos 0z =； （3）10z e +=； （4）shz i =。

解：（1）因为sin 2iz iz e e z i --=，由sin 0z =，得
02iz iz
e e i
--=，即21iz e =，解得21iz Ln =；而1ln 1(arg12)0(02)2Ln i k i k k i πππ=++=++=（k Z ∈），
所以22iz k i π=，即z k π=（k Z ∈）；
故方程sin 0z =的全部解为z k π=（k Z ∈）。

（2）因为cos 2iz iz e e z -+=，由cos 0z =，得
02
iz iz
e e -+=，即21iz e =-，解得2(1)iz Ln =-；而
[](1)ln 1arg(1)20(2)(21)Ln i k i k k i ππππ-=-+-+=++=+（k Z ∈）， 所以2(21)iz k i π=+（k Z ∈），即2
z k π
π=+
（k Z ∈）；
故方程cos 0z =的全部解为2
z k π
π=+
（k Z ∈）。

（3）因为10z e +=，即1z e =-，解得(1)(2)z Ln i k ππ=-=+（k Z ∈）， 即方程10z e +=的全部解为(21)z k i π=+（k Z ∈）。

（4）因为2z z e e shz --=，由shz i =，得
2
z z
e e i --=，即2210z z e ie --=，也即2()0z e i -=；从而0z e i -=，解得()z Ln i =； 又[]1
()ln arg()20(
2)(2)22
Ln i i i i k i k k i π
πππ=++=++=+（k Z ∈）； 所以1(2)2z k i π=+（k Z ∈），故方程shz i =的全部解为 1
(2)2
z k i
π=+（k Z ∈）。

求()Ln i -，(34)Ln i -+和它们的主值。

解：（1）[]()ln arg()20(2)(21)Ln i i i i k i k k i ππππ-=-+-+=++=+（k Z ∈），
()Ln i -的主值为ln()i i π-=；
（2）
[]4(34)ln 34arg(34)2ln5arctan 23Ln i i i i k i k πππ⎡⎤⎛
⎫
-+=-++-++=++-
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
4ln5arctan 23k i ππ⎡⎤⎛⎫
=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
（k Z ∈），
(34)Ln i -+的主值为 4ln(34)ln5arctan 3i i π⎡⎤
⎛⎫-+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦。

证明对数的下列性质：
（1）1212()()()Ln z z Ln z Ln z =+； （2）1122()()z Ln Ln z Ln z z ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭。

解：因为111()ln ()Ln z z iArg z =+，222()ln ()Ln z z iArg z =+， （1）又
()
1212121212()ln ()ln ()()Ln z z z z iArg z z z z i Arg z Arg z ⎡⎤=+=++⎣⎦
1212ln ln ()()z z i Arg z Arg z ⎡⎤=+++⎣⎦，
所以1212()()()Ln z z Ln z Ln z =+。

（2）又 111
1122222ln ln ()()z z z z Ln iArg i Arg z Arg z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎡⎤=+=+- ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1212ln ln ()()z z i Arg z Arg z ⎡⎤=-+-⎣⎦
所以1122()()z Ln Ln z Ln z z ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭。

求12
i
e
π-，1exp 4
i π+⎛⎫
⎪⎝⎭
，3i 和(1)i
i +的值。

解：（1）12
2
cos sin 22i
i
e e e
e i ei π
π
ππ-
-⎡⎤
⎛⎫⎛⎫==-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦，
（2）11114444441exp cos sin (1)4442i i i e e e e i e i πππ
ππ++⎛⎫⎛⎫===+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， （3）
[
]
[]
ln 3(arg 32)ln3(02)32ln323cos(ln 3)sin(ln 3)i i k i i k i iLn k i k e
e
e e e i ππππ⎡⎤++++-+-⎣⎦
=====+（k Z ∈）
（4） ()ln 2ln 1arg(1)24
(1)(1)i i k i i i i k i iLn i i e e
e πππ⎡⎤
⎛⎫++⎢⎥
⎪⎡⎤+++++⎝⎭⎣⎦
⎣⎦+===
1112ln2242411cos ln 2sin ln 222k i
k e
e
i ππ
⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫-++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭⎡⎤
⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦（k Z ∈）
第三章 复变函数的积分 习题三（P46）
沿下列路线计算曲线积分320
i z dz +⎰
：
（1）自原点至3i +的直线段；
（2）自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3i +。

解：（1）自原点至3i +的直线段对应的参数方程为3,
:01,x t t y t =⎧→⎨=⎩，也
即()3(3)z t t it i t =+=+，:01t →；则 3111
2222320
[(3)][(3)](3)(3)(3)i z dz i t d i t i t i dt i t dt +=++=+⋅+=+⎰
⎰⎰⎰
1
33
3
3
1(3)
(3)(3)03
33t
i i i +⎛⎫=+⋅
=+⋅-= ⎪⎝⎭。

（2）记所给积分路径为12C C C =+，其中
13,
:0,x t C y =⎧⎨
=⎩，:01t →，即1:()3C z t t =，:01t →； 23,
:,x C y t =⎧⎨
=⎩，:01t →，即2:()3C z t it =+，:01t →； 则 1
2
311
22
2
2
20
(3)(3)(3)(3)i C C z dz z dz z dz t d t it d it +=+=+++⎰
⎰
⎰
⎰⎰
1
1
333333
(3)(3)3(3)3(3)03
333
33t it i i ⎛⎫⎡⎤+++=
+
=-+-=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 计算积分 C
z
dz z
⎰
的值，其中C 为正向圆周：2z =。

解法一：因为:2C z =的参数方程为:2,:02i C z e θθπ=→，所以
222000222222422i i i i C
C z z e dz dz ie d i e e d i d i i
z
θ
πππθθθ
θθθππ-======⎰
⎰⎰⎰⎰。

解法二：因为C 为正向圆周：2z =，所以2
4
4z z z z z
=⋅=⇒=
；从而 4
21222422
C
C C
C C z z z dz dz dz dz dz i i z z z ππ==
====⎰
⎰⎰
⎰⎰。

试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 为正向圆周1z =。

（1）2C
dz z -⎰
； （2）224C dz z z ++⎰； （3）cos C dz
z
⎰； （4）
1
2
C
dz
z -⎰
；
（5）3sin C
z dz ⎰； （6）()22C dz
i z z ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
⎰。

解：（1）因为
1
2
z -在圆周1z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得02
C
dz
z =-⎰。

（2
）因为
2
124z z =++在圆周1z =内解析，所以2
024
C
dz
z z =++⎰。

（3）因为
1
cos z
在圆周1z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得0cos C dz
z =⎰。

（4）因为
112
z -在圆周1z =内只有一个奇点1
2
z =
，所以由柯西积分公式，得212
C
dz
i z π=-⎰。

（5）因为3sin z 在圆周1z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得
3sin 0C
z dz =⎰。

（6）因为
()1
22i z z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
在圆周1z =内只有一个奇点2i z =，所以由柯西积
分公式，得
()2
1
11416222(14)2417
222
2
2C C
i
z dz
i z dz i i i i i i z i z z z ππ
ππ=
+====
=+++⎛⎫
-+-+ ⎪⎝⎭
⎰⎰。

沿指定曲线的正向计算下列各积分：
（1）2
z
C e dz z -⎰，:21C z -=； （2）22C dz z a -⎰，:C z a a -=；
（3）21iz C e dz
z +⎰，3:22
C z i -=； （4）3C zdz z -⎰，:2C z =；
（5）3cos C
z zdz ⎰，C 为包围0z =的闭曲线； （6）
22(1)(4)C dz
z z ++⎰,3:2
C z =; （7）2sin 2C
zdz
z π⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎰,:2C z =; （8）5z C e dz
z ⎰, :1C z =. 解：（1）因为2z
e z -在积分曲线:21C z -=的内部只有一个奇点2z =，所以
由柯西积分公式，得 22
222
z
z
z C e dz i e e i z ππ===-⎰。

（2）因为
2211
()()
z a z a z a =
--+在积分曲线:C z a a -=的内部只有一个奇点z a =，所以由柯西积分公式，得
22
1
1
12()()C
C C
z a
dz
i
z a dz dz i z a
z a z a z a z a
a
ππ=+==
==
--+-+⎰
⎰⎰。

（3）因为21
iz
e z +在积分曲线3:22C z i -=的内部只有一个奇点z i =，所以由
柯西积分公式，得
1221()()iz
iz iz
iz
C C C
z i
e e dz
e e z i dz dz i e z z i z i z i z i
e
π
ππ-=+==
===
++--+⎰⎰⎰。

（4）因为
3
z
z -在积分曲线:2C z =内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得03
C
zdz
z =-⎰。

（5）因为3cos z z 在积分曲线C 内解析，所以由柯西-古萨基本定理，得
3cos 0C
z zdz =⎰。

（6）因为
22
11
(1)(4)()()(2)(2)
z z z i z i z i z i =+++-+-在积分曲线3:2C z =的内部有两个奇点z i =±，所以由复合闭路定理及柯西积分公式，在圆周
3
:2
C z =
的内部分别以i 、i -为圆心作圆周1C 、2C （使得1C 、2C 互不相交也互不包含），则
1
2
22222111
()(4)()(4)
(1)(4)()()(4)C C C C dz
z i z z i z dz dz dz
z z z i z i z z i z i
++-+=
=
++++-+-+⎰⎰⎰
⎰
221
1
1122220()(4)
()(4)
2323
z i
z i
i
i
i
i z i z z i z i i ππππ==-=+=+=++-+- （或
22222211
11111(1)(4)3143134C C C C dz dz dz dz z z z z z z ⎛⎫=-=- ⎪++++++⎝⎭
⎰⎰⎰⎰ 2111111110313()()32C C C dz dz dz z z i z i i z i z i ⎛⎫=-==⋅-
⎪++--+⎝⎭
⎰⎰⎰ ()1
2206i i i
ππ=
-=） （7）因为
2
sin 2z
z π⎛⎫- ⎪⎝⎭
在积分曲线:2C z =内有一个奇点2
z π
=
，所以由高阶导
数公式，得
2
2
2
sin 2(sin )2cos 2cos
01!
2
2z z C
zdz
i
z i z
i z π
π
ππ
πππ=
=
'=
===⎛⎫- ⎪⎝⎭
⎰
（8）因为5z
e z
在积分曲线:1C z =内有一个奇点0z =，所以由高阶导数公
式，得
(4)050
2()
4!12
12
12
z z z
z z C e dz i i
i
i
e e e z ππππ====
=
=
⎰
计算下列各题：
（1）1
sin z zdz ⎰； （2）0
(1)i
z z e dz --⎰。

解：（1）
1
1
11100000sin cos cos cos cos1sin z zdz zd z z z zdz z ⎡⎤⎡⎤=-=--=--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ []cos1sin1sin1cos1=--=-；
（2）00
0(1)(1)(1)i
i
i
i
z
z
z
z z e dz z de
z e e dz ----⎡⎤-=--=---⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ []000
(1)cos(1)sin(1)sin1cos1
i i i z z z
i z e e z e ie i i i ----⎡⎤=--+=-=-=--+-=--⎢⎥⎣⎦。

计算积分12
3cos C C C zdz
z
=+⎰
，其中1:2C z =为正向，2:3C z =为负向。

解法一：因为
3cos z
z
在多连通区域{23}D z z =≤≤（此时，该多连通区域的边界曲线即为11112C C C ---=+（其中1:2C z =为正向，2:3C z =为负向）的反方向）内解析，所以
123cos 0C C C zdz
z =+=⎰
解法二：利用复变函数积分的性质，得
112121233333cos cos cos cos cos C C C C C C C zdz
zdz zdz
zdz zdz
z z z z z -=+=
+=
-⎰⎰⎰⎰⎰ 330
23cos cos 22(cos )(cos )02!
2!
z z z z zdz
zdz i
i
z z z
z ππ====''''=
-=-=⎰
⎰。

计算积分z n
C e dz
z ⎰，其中C 为正向圆周1z =，n 为整数。

解：因为n 为整数，所以
（1）当0n ≤时，z
n e z
在圆周1z =内解析，从而由柯西-古萨基本定理，得
0z n C e dz
z =⎰；
（2）当1n ≥时，z
n e z
在圆周1z =内只有一个奇点0z =，从而由高阶导数公
式，得
()
(1)0
222(1)!(1)!
(1)!
z n z z
n z C z e dz i i
i
e e z n n n πππ-====
=
---⎰。

如果在1z <内()f z 解析并且1
()1f z z
≤
-，证明 ()
1(0)(1)!1n
n f
n n ⎛
⎫≤++ ⎪⎝
⎭（1,2,...n =）。

分析：从要证明的不等式可以看出，要利用解析函数的高阶导数公式
()
010!()
()2()n n C n f z f
z dz i
z z π+=
-⎰（其中C 为正向简单闭曲线，且C 的内部既要包
含点0z ，并且()f z 在C 的内部要解析），从而
()
111
1
1
1
1
1()
!()!
()!
!
1(0)2222n n n n n z z z z f z n f z n f z n n f
dz ds ds ds
i
z z ξ
ξξξξ
ππ
π
ξπ
ξ++++==<=<=<-=
≤=≤
⎰
⎰
⎰
⎰
11!!122(1)n n
n n ξπξπξξξ
+-==- 而要证明的是
()11!!
(0)(1)!1=!(1)=1(1)1111n
n
n n
n
n n n f n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫≤+++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
⎛⎫
- ⎪
⎪++++⎝⎭
⎝⎭
，
所以可取1n n ξ=
+（而11
n
n ξ=
<+满足条件）。

证： 由高阶导数公式及已知条件，得
()
111111
1
1
1!()!
()!1(0)22221
1n n n
n n n z z n n n
n f z n f z n n n f
dz ds i
z z n n n πππ
π+++=
<=
<++-
+=
≤≤+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
⎰
⎰
1
11!(1)!(1)!11n
n
n
n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛
⎫==+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎪+⎝⎭。

所以 ()1(0)(1)!1n
n f n n ⎛
⎫≤++ ⎪⎝⎭（1,2,...n =）。

证明：22u x y =-和22
y
v x y =
+都是调和函数，但是u iv +不是解析函数。

证：（1）先证22u x y =-和22
y
v x y =
+都是调和函数。

对2
2
u x y =-，有2u x x ∂=∂，2u y y ∂=-∂，则222u x ∂=∂，222u y
∂=-∂，从而2222
0u u
x y ∂∂+=∂∂； 所以22u x y =-是调和函数。

对22y v x y =+，有2222()v xy x x y ∂=-∂+，2222
2222
22
1()2()()
v x y y y x y y x y x y ∂+--==∂++， 则
222222222222224223()1()2()22(3)22()()x
x y v x y x x y x y x y y y x x x y x y ⎡⎤∂⎢⎥+∂+-+-⎣⎦=-=-=
∂∂++， 22222222222224223
2()()2()22(3)
()()v y x y x y x y y y x y y x y x y ∂-+--+-==-
∂++， 从而22220v v
x y
∂∂+=∂∂，所以22
y v x y =+是调和函数。

（2）下面证明u iv +不是解析函数。

由（1）的过程知，
2u x x ∂=∂，2u y y ∂=-∂，222
2()v xy x x y ∂=-∂+，22
2
22
()
v x y y x y ∂-=∂+； 显然函数u iv +不满足C R -方程，故u iv +不是解析函数。

由下列各已知调和函数求解析函数()f z u iv =+： （1）22()(4)u x y x xy y =-++； （2）22
y
v x y
=
+，(2)0f =；
（3）2(1)u x y =-，(2)f i =-； （4）arctan
y
v x
=，0x >。

解：（1）先验证函数22()(4)u x y x xy y =-++是一个调和函数。

因为
2222(4)()(24)3(2)u
x xy y x y x y x xy y x
∂=+++-+=+-∂， 2222(4)()(42)3(2)u
x xy y x y x y x xy y y
∂=-+++-+=--∂； 所以 223(22)6()u x y x y x ∂=+=+∂，223(22)6()u
xy y x y y
∂=--=-+∂；
故 22220u u
x y
∂∂+=∂∂，即22()(4)u x y x xy y =-++是一个调和函数。

下面求解析函数()f z u iv =+： 方法一：因为()f z u iv =+解析，所以
22222()3(2)3(2)3(1)u u
f z i x xy y i x xy y i z x y
∂∂'=
-=+----=-∂∂ 从而23()3(1)(1)f z i z dz i z C =-=-+⎰（C 为任意复常数）。

方法二：因为()f z u iv =+解析，所以()f z u iv =+满足C R -方程
u v
x y u v y x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩， 由
223(2)u x xy y x ∂=+-∂，223(2)u
x xy y y
∂=--∂，得22223(2)............(*)3(2)............(**)v
x xy y x
v x xy y y
∂⎧=---⎪∂⎪⎨
∂⎪=+-⎪∂⎩， 由（*）式，得
223223(2)33()v x xy y dx x x y xy C y =---=-+++⎰（其中()C y 是y 的一元实函数）， 则
236()v
x xy C y y
∂'=++∂，结合（**）式，得2()3C y y '=-； 故3()C y y C =-+（其中C 任意实常数）；从而
322333v x x y xy y C =-++-+； 所以所求解析函数()f z u iv =+即为
2232233()()(4)(33)(1)f z x y x xy y i x x y xy y C i z iC
=-+++-++-+=-+（其中C 为任意实常数）。

（2）先验证函数22
y
v x y
=
+是一个调和函数。

因为2222()v xy x x y ∂=-∂+，2222
2222
22
1()2()()v x y y y x y y x y x y ∂+--==∂++， 所以222222222224223
2()22()22(3)()()v y x y xy x y x y x y x x y x y ∂+-+-=-=∂++， 22222222222224223
2()()2()22(3)
()()
v y x y x y x y y y x y y x y x y ∂-+--+-==-∂++， 故22220v v
x y
∂∂+=∂∂，即22y v x y =+是一个调和函数。

下面求解析函数()f z u iv =+： 方法一：因为()f z u iv =+解析，所以
22222222221
()()()v v x y xy f z i i y x x y x y z ∂∂-'=+=-=
∂∂++； 从而211
()f z dz C z z
==-+⎰
（C 为任意复常数）； 又(2)0f =，所以102C =-
+，解得1
2C =；故11()2f z z
=-。

方法二：因为()f z u iv =+解析，所以()f z u iv =+满足C R -方程
u v x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩， 由2222()v xy x x y ∂=-∂+，22222
()v x y y x y ∂-=∂+，得22
222
222..........(*)()2..........(**)()u x y x x y u xy y x y ⎧∂-=⎪∂+⎪
⎨∂⎪=⎪∂+⎩， 由（**）式，得
2
2222222221()()()()xy x u dy x d y C x x y x y x y
===-++++⎰
⎰（其中()C x 是x 的一元实函数）；
则2222
222222
1()2()()()()
u x y x x x y C x C x x x y x y ∂+--''=-+=+∂++， 结合（*）式，得()0C x '=，即()C x C =（其中C 为任意实常数）； 从而22
x
u C x y
=-
++（其中C 为任意实常数）； 所以所求解析函数()f z u iv =+即为 2222
1
()x y f z C i C x y x y z
=-
++=-+++（其中C 为任意实常数）； 又(2)0f =，所以102C =-
+，解得1
2C =；故11()2f z z
=-。

（3）先验证函数2(1)u x y =-是一个调和函数。

因为2u y x ∂=∂，2(1)u x y ∂=-∂；所以220u x ∂=∂，220u
y
∂=∂； 故22220u u
x y
∂∂+=∂∂，即2(1)u x y =-是一个调和函数。

下面求解析函数()f z u iv =+：
方法一：因为()f z u iv =+解析，所以
()22(1)22u u f z i y x i iz i x y
∂∂'=
-=--=-+∂∂； 从而2()(22)2f z iz i dz iz iz C =-+=-++⎰（C 为任意复常数）； 又(2)f i =-，所以44i i i C -=-++，解得C i =-；故
22()2(1)f z iz iz i i z =-+-=--。

方法二：因为()f z u iv =+解析，所以()f z u iv =+满足C R -方程
u v
x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩， 由2u y x ∂=∂，2(1)u x y ∂=-∂，得2(1)............(*)2............(**)v
x x
v y y
∂⎧=--⎪∂⎪⎨
∂⎪=⎪∂⎩， 由（*）式，得 22(1)2()v x dx x x C y =--=-++⎰（其中()C y 是y 的一元实函数）， 则
()v
C y y
∂'=∂，结合（**）式，得()2C y y '=；故2()2C y ydy y C ==+⎰（其中C 任意实常数）；
从而222v x x y C =-+++（其中C 任意实常数）； 所以所求解析函数()f z u iv =+即为
222()2(1)(2)(2)f z x y i x x y C i z z C =-+-+++=-++（其中C 为任意
实常数）；
又(2)f i =-，所以(44)i i C -=-++，解得1C =-；故
22()(21)(1)f z i z z i z =-+-=--。

（4）先验证函数arctan
y
v x
=是一个调和函数。

因为22221y v y x x x y y x -
∂==-∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222
11v x x y x y y x ∂==∂+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
， 所以2222222222()()v
x xy y
x
x y x y ⎡⎤∂=--=⎢⎥∂++⎣⎦
，22222222
22()()v y xy
x y x y x y ⎡⎤∂=-=-⎢⎥∂++⎣⎦
， 故22220v v
x y
∂∂+=∂∂，即arctan y v x =是一个调和函数。

下面求解析函数()f z u iv =+： 方法一：因为()f z u iv =+解析，所以
22221
()v v x y f z i i y x x y x y z
∂∂'=
+=-=
∂∂++， 从而1
()ln f z dz z C z
==+⎰（C 为任意复常数）；
方法二：因为()f z u iv =+解析，所以()f z u iv =+满足C R -方程
u v x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩， 由22v y x x y ∂=-∂+，22v x y x y ∂=∂+，得2222
..........(*)..........(**)u
x x x y
u y y x y ∂⎧=⎪∂+⎪⎨∂⎪=⎪∂+⎩， 由（*）式，得
2
222222111()ln()()22
x u dx d x x y C y x y x y ===++++⎰
⎰（其中()C y 是y 的一元实函数）； 则
2222
12()()2u y y
C y C y y x y x y
∂''=+=+∂++，
结合（**）式，得()0C y '=，即()C y C =（其中C 为任意实常数）； 从而221
ln()2
u x y C =
++（其中C 为任意实常数）； 所以所求解析函数()f z u iv =+即为
221()ln()arctan arctan ln arctan 2y y y f z x y C i C i z i C x x x ⎛⎫=
+++=+=++ ⎪⎝⎭
（其中C 为任意实常数）； 因为0x >，所以arctan
arg()y
z x
=； 故()()ln arctan ln arg ln y f z z i C z i z C z C x ⎛
⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭（其中C 为任意
实常数）。

如果()f z u iv =+为解析函数，试证u -是v 的共轭调和函数。

证：要证u -是v 的共轭调和函数，即证函数()f z v iu =-是解析函数，也
即证函数()f z v iu =-满足C R -方程()()v u x y v u y x ∂∂-⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂-⎪=-⎪∂∂⎩，也即为v
u x y v u y x ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪
⎨∂∂⎪=⎪∂∂⎩………
（*）。

因为()f z u iv =+为解析函数，所以()f z u iv =+满足C R -方程
u v
x y u v y
x ∂∂⎧=⎪∂∂⎪
⎨
∂∂⎪=-⎪∂∂⎩……….（**）； 则由（**）可知，（*）显然成立。

结论得证。

第四章 级数 习题四（P67）
下列序列是否有极限？如果有极限，求出其极限。

（1）11n ni ni α+=-； （2）(1)1n
n i n α=-++； （3）21n i n e n
π
α-=。

解：（1）因为1111n i ni n ni i n α++==--，所以10lim lim 110n n n i
i
n i
i n α→∞→∞++===---。

（2）因为lim(1)n n →∞
-不存在，1lim
01n n →∞=+，所以lim lim (1)1n n n n i n α→∞→∞⎡
⎤=-+
⎢⎥+⎣⎦
不存在。

（3）因为21111cos sin cos sin
2222
n i n n n n n e i i n n n n π
ππππ
α-⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦， 而1lim cos
02n n n π→∞=，1lim sin 02n n n π→∞=，所以2
1lim lim 0n i n n n e n
π
α-→∞→∞==。

下列级数是否收敛是否绝对收敛
（1）1n n i n ∞
=∑； （2）0
(65)8n
n
n i ∞
=+∑； （3）0cos()2n n in ∞=∑。

解：（1）因为111111111111
...23456789101112n n i i i i i i i n
∞
==--++--++--++∑
（或因为cos sin cos sin
2222n
n n n i i i ππππ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，则 1111
11111cos
sin (1)(1)(1)(1)22221221
n
k k n n n n n k k n n n n i
i i i n n n k k n n ππ
--∞
∞
∞∞∞∞∞
=======----=+=+=+--∑∑∑∑∑∑∑）
所以1n
n i n
∞
=∑的实部与虚部构成的级数分别为1(1)2n n n ∞=-∑，11(1)21n n n -∞
=--∑；
而级数1(1)2n n n ∞
=-∑与11(1)21n n n -∞=--∑都是条件收敛，所以1n
n i n
∞
=∑收敛，但非绝对收
敛。

（2
）因为00
0(65)
6588n
n
n n n n n i i
∞
∞
∞
===⎛++== ⎝⎭
∑
∑∑
是公比1q =<的等比级数，
故00(65)88n
n
n n n i ∞
∞
==⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
∑
∑收敛，从而0(65)8n
n n i ∞=+∑绝对收敛。

（3）因为()()
cos()11122222222i in i in n n n n n n n
e e in e e e e --+⎡⎤+⎛⎫⎛⎫===+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 方法一：0000cos()11111+22(2)22222n n n n n
n n n n in e e e e ∞
∞∞∞====⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑， 而012n n e ∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是公比112q e =<的等比级数，故收敛；02n
n e ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑是公比12e q =>的等比级数，故发散； 从而0
cos()
2n
n in ∞
=∑
发散。

方法二：由于cos()1lim lim 222n n n n n n in e e -→∞→∞+==∞，所以0
cos()
2n n in ∞
=∑发散。

试确定下列幂级数的收敛半径。

（1）1n p n z n ∞
=∑（p 为正整数）； （2）21(!)n
n n n z n
∞
=∑；
（3）0
(1)n n n i z ∞
=+∑； （4）1ln()n
n z in ∞
=⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑。

解：（1）收敛半径为：1
(1)lim lim 11(1)p p p n n p
n n R n n →∞→∞+===+。

（2）收敛半径为：[]2
1121(!)
(1)11lim lim lim (1)
0(1)!(1)
n n n n n n n n n n n R n n n n n --→∞→∞→∞++===+=++。

（3）收敛半径为：11n
R i ==
==
+。

（4）因为ln()ln arg()ln ln 2
2
in in i in n i n i π
π
=+=+=+
，
所以收敛半径为：
lim ln()lim ln 2
n n n n R in n i π
→∞
→∞
===+
==+∞。

将下列各函数展开为z 的幂级数，并指出其收敛区域。

（1）
311z +； （2）1()()z a z b --（0a ≠，0b ≠）； （3）22
1
(1)
z +； （4）2
sin z ； （5）1
z
z e
-。

解：（1）3333
00
11()(1)11()n
n n n n z z z z ∞∞
====-=-+--∑∑（1z <）。

（2）因为0a ≠，0b ≠，所以
①当a b =时，2111()()()z a z b z a z a '
⎛⎫==- ⎪----⎝⎭
， 而10011
1
111n
n n n n z z z z a a
a a a a
∞∞
+==⎛⎫=-=-=- ⎪-⎝⎭-∑∑（1z
a <）， 所以 2101111()()()n n n z z a z
b z a z a a ∞+='
'⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
∑ 1
11011n n n n n n n z z a
a ∞
∞-++=='⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑（z a <）。

②当a b ≠时，111111111()()11z z z a z b a b z a z b a b a b a b ⎛⎫
⎪
⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪------⎝⎭ ⎪
--⎝
⎭ 11000111111n n
n n n n n n z z z a b a a b b a b b
a ∞∞∞++===⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑（min(,)z a
b <）
（3）因为222
121(1)z z z '
⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
， 而
222468222
00
11()(1)1...(1)...11()n
n n n n n n z z z z z z z z z ∞∞
====-=-=-+-+++-++--∑∑（1z <）。