高考数学D单元 数列

高中数学学习材料

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1 数 学

D 单元 数列

D1 数列的概念与简单表示法

D2 等差数列及等差数列前n 项和

13．D2[2015·安徽卷] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1

2

(n ≥2)，则数列{a n }的前9

项和等于________．

13．27 [解析] 由a n ＝a n －1＋12(n ≥2)得，数列{a n }是以1为首项，以1

2

为公差的等差数

列，因此S 9＝9×1＋9×82×1

2

＝27.

19．D2，D3[2015·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝3

2，a 3

＝5

4

，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；

(2)证明：⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；

(3)求数列{a n }的通项公式． 19．D2、D3、D4、D5[2015·湖北卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)当d >1时，记c n ＝a n

b n ，求数列{

c n }的前n 项和T n .

19．解：(1)由题意有，

⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1

d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，

d ＝2

9

.

故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，

b n ＝2n －1或⎩

⎨⎧a n ＝1

9（2n ＋79），

b n ＝9·⎝⎛⎭

⎫29n －1

. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －

1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋

2n －1

2n －1

， ① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋9

25＋…＋2n －12n . ② ①－②可得

12T n ＝2＋12＋122＋…＋1

2n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32

n －1.

7．D2[2015·全国卷Ⅰ] 已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8

＝4S 4，则a 10＝( )

A.172

B.192 C ．10 D ．12

7．B [解析] 由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋(10－1)×1＝192

. 5．D2[2015·全国卷Ⅱ] 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11

5．A [解析] 因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，所以a 3＝1，于是S 5＝5（a 1＋a 5）

2

＝5a 3＝5. 16．D2，D3[2015·北京卷] 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式．

(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 16．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.

又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4.

所以b 6＝4×26－

1＝128. 由128＝2n ＋2得n ＝63.

所以b 6与数列{a n }的第63项相等．

19．D2、D4[2015·山东卷] 已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

1a n ·a n ＋1的

前n 项和为n

2n ＋1

.

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和 T n . 19．解：(1)设数列{a n }的公差为d . 令n ＝1，得1a 1a 2＝1

3，

所以a 1a 2＝3.

令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝2

5

，

所以a 2a 3＝15.

解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.

(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －

1＝n ·4n ， 所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ·4n ，

所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ·4n ＋

1，

两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋

1 ＝4（1－4n ）1－4－n ·4n ＋1

＝

1－3n 3×4n ＋1－4

3

， 所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋

1

9

.

13．D2[2015·陕西卷] 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数

列的首项为________．

13．5 [解析] 设首项为a 1，则a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5. 16．D2，D3，D4[2015·四川卷] 设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n

－a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的前n 项和为T n ，求T n .

16．解：(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．

从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.

又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，

所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝1

2

n ，