空间直角坐标系

§1.3.1 空间直角坐标系

一、学习目标

1.了解空间直角坐标系的建立过程(必考点);

2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定(常考点);

3．掌握空间向量的坐标表示(常考点).

二、预习案

1、空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系的定义：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }．以点O 为原点，分别以 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做 ．这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ，O 叫做原点， 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分．

(2)画法：画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝ ，∠yOz ＝ ．

(3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 指向x 轴的正方向， 指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标轴为右手直角坐标系．

(4)空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，

且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝ ．在

单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的 ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其

中x 叫做点A 的 坐标，y 叫做点A 的 坐标，z 叫做点A 的 坐标．

(5)空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a ，由空间向量基本定理，存在唯一

的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝ ．有序实数组 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记为

2.空间直角坐标系中点的坐标表示

在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标为 ;

三、训练案

[母题1]如图，在长方体OABC −D ,A ,B ,C ,中，OA =3,OC =4,OD ,=2,以{13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，12

OD ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

(1)写

出D ,,C,A ,,B ,四点的坐标；(2)写出向量A ,B ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B ,B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A ,C ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.

[变式训练1]如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的

中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．

(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标；

(2)求点N 的坐标．

[母题2]已知A (2，3－μ，－1＋ν)关于x 轴的对称点是A ′(λ，7, －6)，则λ，μ，ν的值为( )

A ．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5

B ．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5

C ．λ＝－2，μ＝10，ν＝8

D ．λ＝2，μ＝10，ν＝7

[变式训练2]在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)．

(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标；

(2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；

(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标．

四、探究案

1.点P (－3,2，－1)关于平面xOz 的对称点是________，关于z 轴的对称点是________，关于M (1,2,1)的对称点是 ．

2.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1

→的坐标为______________，AC 1→的坐标为________________．

3.设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐

标分别是 ．

4.已知B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，求OB

⃗⃗⃗⃗⃗

五、思维导图

第2题图