山东省临沂市苍山县高二数学下学期期中质量检测试题

山东省临沂市苍山县2012-2013学年高二数学下学期期中质量检测
试题理（扫描版）
苍山县2012-2013学年第二学期期中质量检测
高二数学（理）答案
一、选择题
1 C
2 A
3 B
4 C
5 B
6 A
7 D
8 A
9 C 10 A 11 D 12 B
二、填空题
13 2 14 1 15 ln2 16 ②③④
三、解答题
17．解：)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，……………4分
令0)(='x f ，得11-=x ，32=x ．……………5分
x 变化时，)(x f '的符号变化情况及)(x f 的增减性如下表所示：
……………8分
(1)由表可得函数的递减区间为)3,1(-．……………10分
(2)由表可得，当1-=x 时，函数有极大值为16)1(=-f ；
当3=x 时，函数有极小值为16)3(-=f ．……………12分
18．解：设虚数yi x z +=(R y x ∈、，且0≠y )，……………2分
z z 5+yi x yi x +++=5
i
y x y y y x x
x )5(52222+-+++=，……………6分
由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-.3,
0522y x y x y
y ……………10分
∵0≠y ，⎩⎨⎧
-=+=+,3,522y x y x 解得⎩⎨⎧
-=-=,2,1y x 或⎩⎨
⎧-=-=.1,
2y x
∴存在虚数i z 21--=或i z --=2满足以上条件．……………12分
19．解：(1)∵0≥+b a ，∴b a -≥．……………1分
由已知函数的单调性，得)()(b f a f -≥．……………4分
又0≥+b a )()(a f b f a b -≥⇒-≥⇒．……………5分
两式相加，得)()()()(b f a f b f a f -+-≥+．……………6分
(2)逆命题：)()()()(b f a f b f a f -+-≥+⇒0≥+b a ．……………7分 下面用反证法证之．
假设0<+b a ，那么 ……………8分
⎩⎨⎧-<⇒-<⇒<+-<⇒-<⇒<+)()(0)
()(0a f b f a b b a b f a f b a b a
)()()()(b f a f b f a f -+-<+⇒．……………10分
这与已知矛盾，故只有0≥+b a ．逆命题得证．……………11分
综上所述，可知0≠bc ．……………12分
20. 解：设参加旅游的人数为x ，旅游团收费为y 则依题意有
()f x =1000x-5（x-100）x （100≤x ≤180）……………4分
令()1500100f x x '=-=得x=150……………8分
又(100)100000f =， (150)112500f =，(180)108000f =……………10分
所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。

……………12分
21. 解：
（1）()f x 的定义域是(0,+∞), ……………2分
因为a = 3所以()f x =)
ln 2(32
x x x -+-
2222)
2)(1(23321)(x x x x x x x x x f --=+-=-+='……………4分
当)(x f '>0 即x >2或0<x <1 时()f x 为增函数
当)(x f '<0 即1<x < 2时()f x 为减函数
所以()f x 的单调递增期间为（0，1），（2，＋∞）
单调递减区间为（1 , 2）……………6分
（2）22222
()1.a x ax f x x x x -+'=+-=……………7分
依题意0≤')(x f （等于零的点是孤立的）即022≤+-ax x 在[1，2]上恒成立
故 x x a 2
+≥ 在[1，2]上恒成立。

……………9分
令x x y 2
+= x ∈[1，2]，由02
12=-='x y 得
x =2或2-（舍去） ……………10分
又3)1(=f ，3)2(=f ，22)2(=f 所以x x y 2
+= x ∈[1，2] 的最大值为3
因此a ≥3
满足题意的实数a 的取值范围为],3[+∞。

……………12分
22．解： (1) a1＝23, a2＝47, a3＝815
, ……………2分
猜测 an ＝2－n 21
…………… 4分
(2) ①由（1）已得当n ＝1时，命题成立； ……………5分
②假设n ＝k 时,命题成立，即 ak ＝2－k 21
, …………… 7分
当n ＝k ＋1时, a1＋a2＋……＋ak ＋ak ＋1＝2(k ＋1)＋1, ……………9分
且a1＋a2＋……＋ak ＝2k ＋1－ak ……………10分
∴2k ＋1－ak ＋2ak ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3,
∴2ak ＋1＝2＋2－k 21, ak ＋1＝2－121
k , ……………12分
即当n ＝k ＋1时,命题成立. ……………13分
根据①②得n ∈N+ , an ＝2－n 21
都成立 ……………14分。