矩形的性质与判定第三课时ppt课件
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(3)求证：四边形AECF是菱形
4 求：折痕EF的长
AF CE
2 =
对角线互相平分
邻边+ AC EF+
菱形
3求菱形边长 RtCOF
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm， 将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕 2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
2 BC=2 3
S矩形ABCD =AB BC=4 3
2.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 过点A作BD的垂线，垂足为E 已知EAD=3BAE，求EAO的度数
分析：1 EAD=3BAE BAE=22.50 2 RtABE ABE=67.50 3等腰OAB OAE=450
2.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 过点A作BD的垂线，垂足为E 已知EAD=3BAE，求EAO的度数
7
S阴影
=
1 4
S
ACDB‘ 或S阴影 =
1 2
S
ACB’
1 4
SBCB'
8 四边形ACDB‘是矩形
9 AE是BB‘C中位线 AE
1 BC
2AOD 1200
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm， 将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕
2求证:ABE APF 分析：1 AAS
四边形BMDN是平行四边形 又 DMB=900 平行四边形BMDN是矩形
DN= 1 AD，BN AD 2
DMB=900 同理BM= 1 BC 2 DN=BM
连接MN
1 DNMC DN CM =
2 ANMB同理可得
3 DN BM =
解: 四边形ABCD是矩形 ABC=900，AC=BD=4 在RtABC中，ACB=300 AB= 1 AC=2
解: 四边形ABCD是矩形 BAD=900，OA=OB
EAD=3BAE 4BAE=900 ,即BAE=22.50 AE BD ABE 900 BAE 67.50 BAO 67.50 EAO BAO BAE 67.50 22.50 450
3.已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点， 四边形ABDE是平形四边形 求证：四边形ADCE是矩形
B
分析：
SDEG
=
1 2
DE
h
h 等面积思想
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，若D为边BC上 任意一点，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， BG⊥AC于G，则DE+DF=BG吗？请说明理由。
解：连结AD
∵ S△ABD+ S△ACD =S△ABC
A
1
1
1
∴ 2AB·DE+ 2AC·DF= 2AC·BG
2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
O
4 求：折痕EF的长
4设AE=CE=xcm，则BE= 8-x cm
在RtABC，AC=10
在RtABE，62 +8-x2 =x2
解得x= 25 4
S菱形AECF
CE
AB
1 2
AC
EF
即 25 6= 1 10 EF 42
EF= 15 2
AF=CF AB=AC,AD为BAC的平分线
BD CD
DF是ABC的中位线
DF AB，DF= 1 AB 2
分析：方法1：
1900 2等边三线合一 900 3 DN BM
=
证明: ABD和BCD是两个全等的等边三角形
AD=BD=AB=BC，ADB=CBD=600
DN BM 又 M为AD中点
AB=AC,AD为BAC的平分线
BD CD
AE BD, DE AB 四边形ABDE是平行四边形
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
1四边形ABDE是平行四边形
理由：由例题知，四边形ADCE为矩形 AE=CD,AC=DE
FAO=ECO AOF COE AAS
AF=CE
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕
2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
O
4 求：折痕EF的长
4设AE=CE=xcm，则BE= 8-x cm
在RtABC，AC=10
分析：1900 + 矩形
2等腰ABC 900 三线合一
3 AE CD =
3.已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点， 四边形ABDE是平形四边形 求证：四边形ADCE是矩形
证明：四边形ABDE是平行四边形
条件;将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B‘处，
则下列结论正确的是________
900 + ， 矩形
例4已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条 角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN， 垂足为E，求证：四边形ADCE是矩形。
证明：AD平分BAC，AN平分CAM
CAD= 1 BAC，CAN= 1 CAM
2
2
DAE=CAD+CAN
又 CE AN CEA=900
条件;将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B‘处，
若CDE是等边三角形
则下列结论：
1 AC BB'
2 AB AB ' CD, B'C BC AD
3 等腰AEC， DEB‘
4 ACDB' AB' CD AE ED, CE B'E
5 AE=ED=EC=B'E
6等边三角形AEB‘, BCB'
= 1 BAC+CAM
2 = 1 1800 =900
2
AB=AC,AD为BAC的平分线
AD BC，即ADC=900
四边形ADCE是矩形 三个角是直角的四边形是矩形
想一想
在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
求ＡＥ的长
BAD=90，AC=BD
AO=CO= 1 AC，BO=DO= 1 BD
2
2
AO=BO=DO= 1 BD
ED=3BE 2
ADB 900 ABO 300
在RtAED中，ADE=300
BE OE
又 AE BD
AE= 1 AD=3
AB=AO
2
AB=AO=BO
即ABO是等边三角形
分析：1 PE+PF=AG
2 RtABD的等面积思想
直 直=斜 斜上的高
G
C
1 请画出折痕
2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
4 求：折痕EF的长
3 证明：连接AC，CF
EF垂直平分AC
OA=OC,AF=CF 四边形ABCD是矩形
在AOF和COE中 FAO=ECO 四边形AECF是平行四边形 AOF=COE AF CF
AF CE
OA=OC
四边形AECF是菱形
由（3）四边形AECF是菱形
在RtABE，62 +8-x2 =x2 AC EF，OA= 1 AC=5
2
解得x= 25 4
在RtAOE，OE= AE2-OA2 = 15 4
EF=2OE= 15
2
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，对角线Ａ Ｃ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＥ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ， ＥＤ＝３ＢＥ 求ＡＥ的长
分析：1 DE=3BE OE=BE 2 易证OAB等边三角形 3 ADE=300
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，对角线Ａ
Ｃ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＥ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ，
ＥＤ＝３ＢＥ
解： 四边形ABCD是矩形
关系 数量：DF=
1 2
AB
1 D是BC中点等腰ABC三线合一
2 F是AC中点矩形对角线互相平分
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
1四边形ABDE是平行四边形
理由：由例题知，四边形ADCE为矩形 AE=CD,AC=DE
又∵AB=AC
1
1
∴ 2AC（DE+DF）= 2AC·BG
G E
F
B
DC
∴DE+DF=BG
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上高 (需用等面积法证明)
重点5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4
P是AD上不与A和D重合的一个动点，
过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F
求：PE+PF的值
AB=AC,AD为BAC的平分线
BD CD
AE BD, DE AB 四边形ABDE是平行四边形
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
2 DF AB, DF 1 AB
2
四边形ABCD为矩形
4 求：折痕EF的长
1证明： 四边形ABCD是矩形
AB=CD，BAD=C=900 折叠
AP=CD，P=C=900，C=EAP=900 AB=CD，BAD=C=900 AP AB,BAE PAF
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
分析：方法1：ABDE
=，=
1 ADCE+AB=AC DE=AC=AB
2 ADCE AE=CD=BD
方法2
AE BD
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
2 分析：
位置：DF AB
ABO=600
例4已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条 角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN， 垂足为E，求证：四边形ADCE是矩形。
分析：1 2个角平分线 DAE=900
2等腰ABC ADC=900 三线合一
3 3个900的四边形是矩形
方法2
1 AC BB'
2 AB AB ' CD, B'C BC AD
3等腰AEC，
4 ACDB' AB' CD AE ED, CE B'E
5 AE=ED=EC=B'E 6等腰三角形ECD，AEB‘, BCB'
பைடு நூலகம்
7
1 S阴影 = 4 S
ACDB‘
或S阴影
=
1 2
S ACB’
8四边形ACDB‘是矩形 9 AE是BB‘C中位线 AE 1 BC
4 求：折痕EF的长
AF CE
2 =
对角线互相平分
邻边+ AC EF+
菱形
3求菱形边长 RtCOF
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm， 将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕 2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
2 BC=2 3
S矩形ABCD =AB BC=4 3
2.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 过点A作BD的垂线，垂足为E 已知EAD=3BAE，求EAO的度数
分析：1 EAD=3BAE BAE=22.50 2 RtABE ABE=67.50 3等腰OAB OAE=450
2.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 过点A作BD的垂线，垂足为E 已知EAD=3BAE，求EAO的度数
7
S阴影
=
1 4
S
ACDB‘ 或S阴影 =
1 2
S
ACB’
1 4
SBCB'
8 四边形ACDB‘是矩形
9 AE是BB‘C中位线 AE
1 BC
2AOD 1200
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm， 将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕
2求证:ABE APF 分析：1 AAS
四边形BMDN是平行四边形 又 DMB=900 平行四边形BMDN是矩形
DN= 1 AD，BN AD 2
DMB=900 同理BM= 1 BC 2 DN=BM
连接MN
1 DNMC DN CM =
2 ANMB同理可得
3 DN BM =
解: 四边形ABCD是矩形 ABC=900，AC=BD=4 在RtABC中，ACB=300 AB= 1 AC=2
解: 四边形ABCD是矩形 BAD=900，OA=OB
EAD=3BAE 4BAE=900 ,即BAE=22.50 AE BD ABE 900 BAE 67.50 BAO 67.50 EAO BAO BAE 67.50 22.50 450
3.已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点， 四边形ABDE是平形四边形 求证：四边形ADCE是矩形
B
分析：
SDEG
=
1 2
DE
h
h 等面积思想
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，若D为边BC上 任意一点，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， BG⊥AC于G，则DE+DF=BG吗？请说明理由。
解：连结AD
∵ S△ABD+ S△ACD =S△ABC
A
1
1
1
∴ 2AB·DE+ 2AC·DF= 2AC·BG
2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
O
4 求：折痕EF的长
4设AE=CE=xcm，则BE= 8-x cm
在RtABC，AC=10
在RtABE，62 +8-x2 =x2
解得x= 25 4
S菱形AECF
CE
AB
1 2
AC
EF
即 25 6= 1 10 EF 42
EF= 15 2
AF=CF AB=AC,AD为BAC的平分线
BD CD
DF是ABC的中位线
DF AB，DF= 1 AB 2
分析：方法1：
1900 2等边三线合一 900 3 DN BM
=
证明: ABD和BCD是两个全等的等边三角形
AD=BD=AB=BC，ADB=CBD=600
DN BM 又 M为AD中点
AB=AC,AD为BAC的平分线
BD CD
AE BD, DE AB 四边形ABDE是平行四边形
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
1四边形ABDE是平行四边形
理由：由例题知，四边形ADCE为矩形 AE=CD,AC=DE
FAO=ECO AOF COE AAS
AF=CE
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕
2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
O
4 求：折痕EF的长
4设AE=CE=xcm，则BE= 8-x cm
在RtABC，AC=10
分析：1900 + 矩形
2等腰ABC 900 三线合一
3 AE CD =
3.已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为BC的中点， 四边形ABDE是平形四边形 求证：四边形ADCE是矩形
证明：四边形ABDE是平行四边形
条件;将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B‘处，
则下列结论正确的是________
900 + ， 矩形
例4已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条 角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN， 垂足为E，求证：四边形ADCE是矩形。
证明：AD平分BAC，AN平分CAM
CAD= 1 BAC，CAN= 1 CAM
2
2
DAE=CAD+CAN
又 CE AN CEA=900
条件;将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B‘处，
若CDE是等边三角形
则下列结论：
1 AC BB'
2 AB AB ' CD, B'C BC AD
3 等腰AEC， DEB‘
4 ACDB' AB' CD AE ED, CE B'E
5 AE=ED=EC=B'E
6等边三角形AEB‘, BCB'
= 1 BAC+CAM
2 = 1 1800 =900
2
AB=AC,AD为BAC的平分线
AD BC，即ADC=900
四边形ADCE是矩形 三个角是直角的四边形是矩形
想一想
在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
求ＡＥ的长
BAD=90，AC=BD
AO=CO= 1 AC，BO=DO= 1 BD
2
2
AO=BO=DO= 1 BD
ED=3BE 2
ADB 900 ABO 300
在RtAED中，ADE=300
BE OE
又 AE BD
AE= 1 AD=3
AB=AO
2
AB=AO=BO
即ABO是等边三角形
分析：1 PE+PF=AG
2 RtABD的等面积思想
直 直=斜 斜上的高
G
C
1 请画出折痕
2求证:ABE APF
(3)求证：四边形AECF是菱形
4 求：折痕EF的长
3 证明：连接AC，CF
EF垂直平分AC
OA=OC,AF=CF 四边形ABCD是矩形
在AOF和COE中 FAO=ECO 四边形AECF是平行四边形 AOF=COE AF CF
AF CE
OA=OC
四边形AECF是菱形
由（3）四边形AECF是菱形
在RtABE，62 +8-x2 =x2 AC EF，OA= 1 AC=5
2
解得x= 25 4
在RtAOE，OE= AE2-OA2 = 15 4
EF=2OE= 15
2
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
1 请画出折痕
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，对角线Ａ Ｃ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＥ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ， ＥＤ＝３ＢＥ 求ＡＥ的长
分析：1 DE=3BE OE=BE 2 易证OAB等边三角形 3 ADE=300
如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，对角线Ａ
Ｃ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＥ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ，
ＥＤ＝３ＢＥ
解： 四边形ABCD是矩形
关系 数量：DF=
1 2
AB
1 D是BC中点等腰ABC三线合一
2 F是AC中点矩形对角线互相平分
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
1四边形ABDE是平行四边形
理由：由例题知，四边形ADCE为矩形 AE=CD,AC=DE
又∵AB=AC
1
1
∴ 2AC（DE+DF）= 2AC·BG
G E
F
B
DC
∴DE+DF=BG
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上高 (需用等面积法证明)
重点5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4
P是AD上不与A和D重合的一个动点，
过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F
求：PE+PF的值
AB=AC,AD为BAC的平分线
BD CD
AE BD, DE AB 四边形ABDE是平行四边形
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
2 DF AB, DF 1 AB
2
四边形ABCD为矩形
4 求：折痕EF的长
1证明： 四边形ABCD是矩形
AB=CD，BAD=C=900 折叠
AP=CD，P=C=900，C=EAP=900 AB=CD，BAD=C=900 AP AB,BAE PAF
重点4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合
分析：方法1：ABDE
=，=
1 ADCE+AB=AC DE=AC=AB
2 ADCE AE=CD=BD
方法2
AE BD
想一想 在例4中，连接DE，交AC于点F （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论 （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论
2 分析：
位置：DF AB
ABO=600
例4已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条 角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN， 垂足为E，求证：四边形ADCE是矩形。
分析：1 2个角平分线 DAE=900
2等腰ABC ADC=900 三线合一
3 3个900的四边形是矩形
方法2
1 AC BB'
2 AB AB ' CD, B'C BC AD
3等腰AEC，
4 ACDB' AB' CD AE ED, CE B'E
5 AE=ED=EC=B'E 6等腰三角形ECD，AEB‘, BCB'
பைடு நூலகம்
7
1 S阴影 = 4 S
ACDB‘
或S阴影
=
1 2
S ACB’
8四边形ACDB‘是矩形 9 AE是BB‘C中位线 AE 1 BC