2018学年高中数学新课标人教A版必修4同步学案：1.1.2

第1章1.1第2课时1.1.2弧度制
课前准备
温故知新：过去我们学习过用角度制来度量角，这种度量角的方法很好理解，但给出的弧长公式较繁杂，不是很简洁。

既然长度和重量等都有多种度量制，那么角度是不是会有更简洁的度量方法呢？研究发现，圆的弧长与半经的比值的大小只与所对圆心角的大小直接相关，而与圆的半经和弧长不直接相关。

这就为我们设计度量角的新方法提供了方便。

学习目标：了解弧度制.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.同时要求同学们熟记特殊角的弧度数掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养同学们运用弧度制解决具体问题的意识和能力．
课前思索：如何解决角度制下公式的烦琐问题？弧度制的引入对解决与角相关问题的优越性在那里？角度制下的角与弧度制下的角如何互化？ 课堂学习
一、学习引领
1．角度制：过去同学们研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定
义的？实际上是规定周角的
360
1
作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180
r
n l π=．这种度量角的方法便于理解，但在使用时还是
有不方便的地方，这就导致能不能用更为简洁的形式度量角的思考。

2．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为零。

弧度制的建立将角度与实数建立起一一对应关系。

3．为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的
半径大小有关呢？ 如图，设α∠为()0>n n 的角，圆弧
和
的长
分别为和1l ，点M 和1M 到点O 的距离（即圆半径）分别为r ()0>r 和
1r ()01>r ，由己学过的弧长公式可得：r n l 180π=
，11180
r n l π
=，于是180
11π
n r l r l ==．上式表明，以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由α∠的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关． 4．扇形的弧长与面积公式：弧长公式为l r α=)0(>α，面积为211
22
S lr r α=
=，其中
r 为扇形所对应圆的半径；(02)ααπ<<为扇形的中心角。

另外任一已知角α的弧度数的绝
对值l
R
α=
，其中为以角α为圆心角时所对应的的圆弧长，R 为圆的半径。

5．弧度制与角度制相比，是否具有优点呢?同学们知道在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制并用的．比如角α＝33°35′2″，其中33、35、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的．所以，为了找出与角对应的实数，要经过复杂的计算，这就不是很方便了．在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以容易找出与角对应的实数．另外，弧度制下的弧长公式l ＝|α|r ，比角度制下的弧长公式 ，具有更为简洁的形式．还有，如果已知圆心角等于α弧度，那么用弧度制下扇形面积公式S ＝
2
1|α|r 2
求扇形面积，也比用角度制下的公式S ＝2
360
n r π更为简洁．
6．弧度制下象限角的表示：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角；弧度制下各象限的角的范围如下： ①第一象限角表示为{22,}2
k k k π
απαπ<<+
∈Z （或(2,2)()2k k k π
ππ+∈Z ）
； ②第二象限角表示为{22,}2
k k k π
απαππ+
<<+∈Z （或(2,2)()2k k k ππππ++∈Z ）
； ③第三象限角表示为3{22,}2
k k k π
αππαπ+<<+
∈Z （或3(2,2)()2k k k ππππ++∈Z ）
；④第四象限角表示为3{222,}2
k k k π
απαππ+
<<+∈Z （或3(2,22)()2k k k ππππ++∈Z ）。

弧度制下的轴线角：角的终边落在坐标轴上称为轴线角（轴上角），这个角不属于任何象限。

①终边在x 轴的非负半轴上的角α可表示为2()k k απ=∈Z ； ②终边在x 轴的非正半轴上的角α可表示为2()k k αππ=+∈Z ； ③终边在y 轴的非负半轴上的角α可表示为2()2k k π
απ=+
∈Z ；
④终边在y 轴的非正半轴上的角α可表示为32(2)22
k k k k ππ
απαπ=+∈=-∈Z Z 或（）（）⑤
终边在x 轴上的角α可表示为()k k απ=∈Z ；
⑥终边在y 轴上的角α可表示为()2
k k π
απ=+∈Z ；
⑦终边在坐标轴上的角α可表示为()2
k k π
α=
∈Z 。

7．终边与角α终边对称的角的表示：
①终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为2()k k ππα++∈Z ； ②终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为2()k k πα-∈Z ； ③终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为2()k k ππα+-∈Z ； 二、合作探究
例1已知下列各个角：πα7111-
=，πα6
5112=，93=α，︒-=8554α. 将它们化为另一种度量制下的角分别是多少？
解 ︒-≈︒⨯-=-
=86.2821807117111πα；︒=︒⨯==153301806511
65112πα； ︒≈︒⨯==7.515180993πα；ππα4
19
1808558554-=⨯-=︒-=. 点评：弧度制与角度制下角的转换是后续学习三角函数常用的知识．要求同学们必须熟练掌握．
例2用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不含边界)．
解：⑴ OB 的终边上找到一个角－30°＝－6
π，而OA 的终边上的角75°＝512π．故所求
的区域角的集合为：
{θ|2k π－
6
π＜θ＜2k π＋512π，k ∈Z }．
⑵所求的区域角的集合为： {θ|2k π－
34π＜θ＜2k π＋34
π
，k ∈Z }． 点评：对于角的范围的表示一要注意边界角的正确表示，二要注意不等式两边的角的大小，还不能忘记Z k ∈．
例3已知扇形的周长为30cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l+2r=30 ∴l=30-2r,从而S=
12l ·r=12 (30-2r)·r=-r 2
+15r=-(r-152)2+2254
∴当半径r=
152cm 时，扇形面积的最大值是2254cm 2，这时α=r
l =2弧度 点评：要求扇形的面积的最大值，就应建立扇形面积的函数，而建立函数时，可以将半径r 选作自变量.上面解法是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值．此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用这种法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题．这就是一题多变，你想了吗？ 三、课堂练习
1．已知3α=-，则α是（
）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角 2．
200
π9
是第（ ）象限的角。

A ．一 B ．二 C ．三 D ．四
3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________。

4．判断10
3
π-
是第几象限的角. 5．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.
6．如图，单位圆上一点A 从点(1,0)P 知点A 每秒转过θ角，πθ≤<0，经过2秒钟到达第三象限，经过14来的位置，求θ角的大小. 四、课后作业
1．已知集合{}Z k k k M ∈+≤≤=,)12(2|παπα，{}66|≤≤-=ααN ，则=N M （ ）.
A ∅
B {}παπαα260|≤≤≤≤或
C {}παα≤≤0|
D {}παπαα-≤≤-≤≤60|或
2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．
1
sin 2
C ．2sin1
D ．sin2 3．把0
570化成2,,02k k Z πααπ+∈≤
2<的形式为 4．若小于0
360的正角的6倍的终边与x 轴的正半轴重合，求满足条件的所有角的集合。

5．已知扇形的周长为6cm ，面积为2cm 2
，求扇形圆心角的弧度数． 学后反思自我总结 知识归纳 方法总结 错误总结 答案与详解 三、课堂练习 1．C 提示：()23,παπ=-∈--。

2．Ａ解析：∵2002π
π22π99
=+
， ∴
200π9与
2π
9终边相同， ∴
200
π9
的终边在第一象限． 3．2k αβππ+=+Z k ∈提示：α与απ-关于y 轴对称，所以
Z k k ∈+-=,2παπβ。

4．解：∵102433πππ-
=-+，∴103π-与23π终边相同，而23π是第二象限的角，故10
3
π-是第二象限的角.
5．解：设扇形的半径为r ，弧长为，则有
⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+221
62l r r
l l r ∴ 扇形的面积2
)(221cm rl S == 6．解：设经过14秒钟A 转过了k 圈，设1=OA ，由弧长公式及已知条件，得
142()k k N θπ+=∈，即().7
k k N π
θ+=
∈ πθ≤<0，且已知θ2在第三象限，∴2
32πθπ<
<， 故
432πθπ
<
<，4372πππ<<k ，解得.4
21
27<
<k 由于Z k ∈，∴4=k 或5，故74πθ=，或
.7
5π
四、课后作业
1．D 解 集合M 表示第一、二象限和x 轴上的角及y 轴非负半轴上的角，由于
6345rad ≈︒，所以集合{}|345345N αα=-︒≤≤︒（因为最终结果是找交集的，所以可以
用近似值表示），从而借助于坐标系得到=
N M {}παπαα-≤≤-≤≤60|或，选择D.
当然也可以对k 取值直接找它们的公共区域内的范围． 2．B 解析：∵圆的半径r =1
sin 1
,α =2 ∴弧长=α∙r =
1
sin 2
3．解：0
1975705702,180
66
rad rad π
πππ=⨯
=
=+ 4．解：设正角为x ，由题意得：π20<<x 且Z k k x ∈=,26π，即Z k k x ∈=,3
π
，由此可得：ππ230<<
k ，即60<<k ，故5,4,3,2,1=k ，所以3
5,34,,32,3πππππ=x ，故所求满足条件的所有角的集合为}3
5,34,,32,
3{π
ππππ。

5．解：设扇形所在的圆弧的长为，所在圆的半径为r ，由题意得26,
1 2.2
l r lr +=⎧⎪
⎨=⎪⎩
消去得2
320r r -+=， 解得1r =或2r =．
当1r =时，4l =，中心角4
41
l r α=
==；
当2r =时，2l =，中心角2
12
l r α=
==． 答：扇形的圆心角为弧度或4弧度．。