高中数学必修二 8 6 2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 练习(含答案)

8.6.2 直线与平面垂直
第2课时直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()
A．相交B．平行
C．异面D．相交或平行
【答案】B
【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。

2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
【答案】D
【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.
3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()
A．异面B．平行C．垂直D．不确定
【答案】C
【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.
同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.
∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C。

4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()
A．内心B．重心C．外心D．垂心
【答案】C
【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴P A＝PB＝PC.
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA＝OB＝OC，
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．
5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()
A．垂直B．相交C．不相交D．不垂直
【答案】AC
【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选AC.
6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有()
A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；
B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；
C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；
D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.
【答案】BD
【解析】 A 正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选BD.
二、填空题
7．已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，如图所示，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝ .
【答案】6
【解析】因为AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以AF ∥DE ，又AF ＝DE ，所以AFED 是平行四边形，所以EF ＝AD ＝6.
8．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，P A ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．
【答案】4
【解析】∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC . 综上知： △ABC ，△P AC ，△P AB ，△PBC 都是直角三角形，共有4个．
9.若直线AB ∥平面α，且点A 到平面α的距离为2，则点B 到平面α的距离为________.
【答案】 2
10.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，
过EB 作平面α分别与线段P A 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PM PA =________；四边形EMBN 的面积
为________. 【答案】
23
【解析】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ，即平面α平面ABCD RS =，
又B ∈平面α平面ABCD ， B RS ∴∈，即,,R S B 三点共线，
又//AC α，由线面平行的性质定理可得//AC RS ， 则4ARB ABR π
∠=∠=，即AR AB =，
∴点A 为RD 的中点，又E 为PD 中点，
则6,3,2PD RD DA DE PDA ADP π
====∠=∠=，
PAD RED ∴≅，
MPE MRA ∴∠=∠，又,PME RMA PE RA ∠=∠=，
PME RMA ∴≅，则ME MA =，
过M 作MK PD ⊥交PD 于点K ，
222PM MK MK ME MA PA AD DR RE PA
∴==⋅=⋅=⋅， 则2PM MA =， 2233PM MA PA MA ∴
==； 连接MN ，BD 由23
PM PA =同理可得23PN PC =， //MN AC ∴，
又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
PD AC ∴⊥，又,BD AC BD PD D ⊥=，
AC ∴⊥面PBD ，又BE ⊂面PBD ，
AC BE ∴⊥，MN BE ∴⊥，
23MN PM AC PA ==， 22
33
MN AC ∴==⨯=
又EB ===
所以四边形EMBN 的面积为
1122MN EB ⋅=⨯=.
故答案为：23
；
三、解答题
11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.
【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.
12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．
【答案】见解析
【解析】
证明：(1）如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD
且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.
(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，
又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.。