12描述质点运动的物理量课件

ds
v
ds dt
et
速度方向 切线向前
速度大小 v ds
速度
v
的值
dt
速率
12
讨论 一运动质点在某瞬
时位于位矢 r(x, y) 的
y
y
端点处，其速度大小为
dr （A） dt
（B）ddrt o
r (t)
x
x
（C） d r dt
注意
（D） (dx)2 (dy )2
dt
dt
dr dr
dt dt
其中i 、j和k 分别是x、y和z方向的单位矢量。
位矢大小
r
r
x2 y2 z2
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
cos x , cos y , cos z
r
r
r
cos2 cos2 cos2 1
25
质点运动的轨道参量方程式 x x(t )
写成分量形式
y y(t)
速度表达式
13
例1 设质点的运动方程为
r(t) x(t)i y(t) j,
x(t) 1.0t 2.0，
其中
y(t) 0.25t 2 2.0，
式中x，y的单位为m(米)，t 的单位为s(秒)，
（1）求 t 3 s 时的速度．
（2）作出质点的运动轨迹图．
14
已知：x(t) 1.0t 2.0，y(t) 0.25t 2 2.0，
(1)经过多少时间后可以认为小球已 停止运动；
(2)此球体在停止运动前经历的路程 有多长？
o
v0
y
31
解 a dv 1.0v dt
v dv
t
dt
v v0
0
ln
vv v0
t t0,
ln v t, v0
解得：v v0et
y
t
0 dy v0 0
e
v
v t dt
v0
dy dt
et
j
l
dx v
o
dt vB
vtan
j
A
v x
当 60o时，vB 1.73v，vB沿 y 轴正向
19
五、加速度
1 平均加速度
在 t 时间内，质
点速度增量为
v vB vA a v
t
a 与v 同方向
y vA
vB
AB
O
x
vA v
vB
20
2 (瞬时)加速度
a
lim
t0
v t
dv dt
u
uxlv
u
dt
x2
x2
ux2 l(
l x
u
)
x
u
x3
x2 l2
u2
u2h2 -
.
x3
x3
36
例5：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平
方向成角
方向被抛出,
0
求物体运动的轨道方程、
射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。
解：首先必须建立坐标系, 取抛射点为坐标原点O,
x 轴水平向右, y 轴竖直向上, 如图。
x
பைடு நூலகம்
y
路程：质点在轨道上所经过的曲线长度Δs
s r r
lim
s
lim
r
ds
dr
t 0
t 0
位移矢量反映 t内质点位置的移动(大小、方位)
矢量的“差之模”和“模之差 ”一般是不相等的 8
路程s是一定时间内物体所经过路线的总长度。 t 时间内经过的路程是曲线AB的长度，是标量。
质点的位移和路程不同。位移运算遵从矢量运算
1
二、位置矢量 (position vector)
质点P在任意时刻的位置, 可用从原点O到质点P 所引的有向 线段OP 来表示，或用矢量 r 来代表， 这个矢量 r 就称为质点P的位置矢量, 简称位矢。
位矢包含两方面信息：质点P相 对参考系固定点O的方位；质点P 相对参考系固定点O的距离大小。
P r
的法则：平行四边形定则。
一般位移矢量的模不等于路程 , 只有在质点作
单方向直线运动时，它们才相等。
lim r lim s
t 0
t 0
位移和路程单位相同, 在国际单位制中为m (米)。
9
四、速度
1 平均速度
在 t 时间内，质点
y
r (t t)
B
s
位移为
r
r r (t t) r (t)
A
r (t)
5
路程 s
从P1到P2：
路程 s P1P2
位移与路程的区别
y
s'
P1
r (t1
s r
)
r
(t2
)
P2
(1) 两点间位移是唯
O
z
一的．
(2)
一般情况
Δr
s ．
x P1(x1, y1, z1)
P2 (x2 , y2 , z2 )
(3) 位移是矢量，路程是标量．
6
注意
r ， r ，r
y
P1 r
随时间变化, 该方向上分运动为匀变速直线运动,
在x方向的速度变化可根据速度公式求得:
vx vx0 ax (t t0)
vx vx0 axt
x
x0
vx0t
1 2
a
x
t
2
vx2 vx02 2ax (x x0 )
vx vx0 axt
x
x0
vx0 vx 2
t
29
运动学的两类问题
运动方程是运动学问题的核心
1. 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度
r r t
v dr dt
a
dv dt
d2r dt 2
2. 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以
及初始条件求质点的运动方程
v
t
dv adt , dv adt
v0
t0
r
t
dr vdt , dr vdt
r0
t0
30
直液下体例落中3的, 其加有初速一速度个度为球av体0在11某0.0液jv，j体，它中问在竖：
d
2
r
dt2
a
dvx
i
dv y
j
dvz
k
dt
dt
dt
a axi ay j azk
21
加速度大小
a
a
ax2
a
2 y
a
2 z
加速度方向
直线运动
a
//
v
曲线运动 指向凹侧
注a 意的：共物同理特量征r是，都r具，有v，
v1
a2
v2
a1
矢量性和相对性．
22
根据加速度的定义式 可得 dv a(t)dt
v x
行, 当 60 时, 物体B的速率为多少？
17
解 选如图的坐标轴 y
vA
vxi
dx dt
i
vi
vB
vy
j
dy dt
j
o
B
l
因 x2 y2 l2
两边求导得 2x dx 2 y dy 0 dt dt
A
v x
18
即 dy x dx
y
dt y dt
B
v B
x y
dx dt
z
z(t)
v
dr dt
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
vxi
vy
j
vzk
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
dz dt
vv
vx2 vy2 vz2
26
加速度的表达式
a
dv x
i
dv
y
j
dv z
k
dt dt dt
d2 x dt 2
i
d2 y dt 2
j
dz dt 2
抛体运动可以看作为x方向
y
的匀速直线运动和y方向的匀
B rB s
r
rA
A
L
4
位移 r
平 面运动 : rA xAi
rB xBi
yA yB
jj， ，
r rB rA
(xB xA)i ( yB yA) j
y
A
r
yB yA
B
rA
rB
o
x xA xB xA xB
三维运动:
r (xB xA )i ( yB yA ) j (zB zA )k
v/m s-1 v0
y/m
10
O
t/s
O
t/s
v
v0/10 v0/100 v0 /1 000 v0 /10 000
t / s 2.3
4.6
6.9
9.2
y / m 8.997 4 9.899 5 9.989 9 9.999 0
t 9.2 s, v 0, y 10 m
33
例4：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如 果绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面 的高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。
若求在t0到t 时间内速度的变化, 可对上式积分：
t
v v0
a(t)dt t0
t
v v0 t0 a(t)dt
速度公式
位矢的一般表达式
t t
r r0 t0[v0 t0 a(t)dt]dt
23
§1-3 描述质点运动的坐标系
一、直角坐标系 (rectangular coordinate)
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x2 x 3.0
轨迹图
y/m
t 4s 6
t 4s
t 2s 4 t 0
2
t 2s
x/m
-6 -4 -2 0 2 4 6
16
例2 如图A、B y
两物体由一长为 l 的
B
刚性细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道
l
A
上滑行．如物体 A以 o 恒定的速率 v 向左滑
解 (1) 由题意可得
t
vx
dx dt
3s 时速度为
1.0， vy dy
dt
v 1.0i 1.5
j
0.5t
速度 v的值 v 1.8m s，1 它与x轴之间的夹角
arctan 1.5 56.3o
1.0
15
（2）运动方程
x(t) 1.0t 2.0， y(t) 0.25t 2 2.0，
在参考系上取一固定点作为坐标原点O, 过点O画
三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, 即x轴、y轴和z
轴, 就构成了直角坐标系 O-xyz。 通常采用的直角坐标系
属右旋系, 当右手四指由x轴
z
P(x,y,z
) r
方向转向y轴方向时, 伸直的
O
y
拇指则指向z轴的正方向。
x
24
位置矢量可表示为 r xi yj zk
质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴方 向上各自独立进行的直线运动。
运动叠加原理在直角坐标系中的表现。 如果质点在某个方向(如x方向)上的速度不随时 间变化, 即质点在该方向上的分运动为匀速直线运 动, 则在该方向上的位移可由位移公式求得
x x x0 vx (t t0 )
28
如果质点在某个方向(如x方向)上的加速度不
k
axi +a y j+azk
ax
dv x dt
d2x ,
dt 2
ay
dv y dt
d2y dt 2
,
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度大小
a
a
ax2 ay2 az2
任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的 分量有关, 而与其它方向的分量无关。
27
质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向上 各自独立进行的直线运动所合成的。
解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向
右, y 轴竖直向下, 如图所示。
u
o x
l
h
h
l
x
x
y
34
设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到
岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2
两边对时间t 求导数, 得
dx 2x
2l
dl
dt dt
dl u绞车拉动纤绳的速率, 纤绳随时间在缩
xi yj o
x
v
r t
x t
i
y t
j
vxi
vy
j
10
2
v
瞬时速度 （简称速度） lim r dr
t0 t dt
y
v
d
x
i
d
y
j
v y
dt dt
v v x
vxi vy j
o
x
若质点在三维空间中运动，其速度 v vxi vy j vzk
11
当
t
0
时,
dr
P2
的意义不同．
r xi yj zk
r1
r2
r
O
r x2 y2 z2 z
x
Δr x22 y22 z22 x12 y12 z12
7
在直角坐标系中
r rB rA AB
r xi yj zk
z A s
B
rA
r
rB
O
r
x 2 y 2 z 2
.
v0
e
t
o
v0
y
y e y 0 v0
t t
0
y v0 (1 et )
解得：y 1（ 0 1 et）
v0 10 j
32
v v0e ， 1.0t y0 10(1 e100 ) 10(11) 0
y 10（1 e ） 1.0t y 10(1 e10 ) 10(1 0) m 10 m
3
三、位移(displacement)和路程(distance, path ) 位移：质点在一段时间内位置的改变 。
r rB (t t) rA (t)
质点从点A到点B所完成的位移等于点B的位置
矢量与点A的位置矢量 之差。
位移是矢量，既表示质点位 置变更的大小(点A与点B之间的 O 距离)，又表示这种变更的方向( 点B相对于点A 的方位)。
§1-2 描述质点运动的物理量
一、时间和时刻(time and moment) 表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物理量
，国际单位制（SI）中七个基本物理量之一。时间 具有单方向性，是标量，单位是s (秒)。
某一瞬时称为，质点运动时，与质点某一位置对 应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。
在坐标系中考察质点的运动时, 质点位置与时刻相 对应, 质点运动所经过的路程与时间相对应。
用黑体字母或带箭头的字母表
O
示矢量。
2
质点在运动, 位置在变化, 位置矢量必定随时间
改变。 位置矢量是时间的函数： r r (t)
上式称为质点运动的轨道参量方程，即质点的运 动学方程，它给出了质点运动的轨迹, 也给出了 质点在任意时刻所处的位置。
在直角坐标系中 r xi yj zk
dt
短, 故 dl 0 ; dx v是小船向岸边移动的速率