集合习题

题型一：集合交,并，补的运算
例1、已知求a、b的值。

解：
知所以x1=-1,x2=2,a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2
练习：已知向量，，则（）
A. B. C. D.
分析：集合均是坐标形式的向量的集合，两个集合中的并非同一个值．两个集合的代表元素均是有序实数对．
解：令得方程组
解得，故．选Ｃ
题型二：集合与不等式的联系
例2.已知全集I＝R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x>a}，并且M ∁IP，那么a的取值集合是 ( )
A．{2} B．{a|a≤2}
C．{a|a≥2} D．{a|a<2}
解析：∵M＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}　∁IP＝{x|x≤a}
M ∁IP，∴a≥2，如下图数轴上所示．
　故选C.
练习1 已知集合A={x | x2-x-6<0}, B={x | 0<x-m<9}.
(1)若A∪B=B, 求实数m 的取值范围;
(2)若A∩B, 求实数m 的取值范围.
注： (1)注意下面的等价关系: ①A∪B=B AB; ②A∩B=A AB; (2)用“数形结合思想”解题时, 要特别注意“端点”的取舍.
[-6, -2]
(-11, 3)
练习2 设P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数都成立}则下列关系成立的是 ( C )
A、P
Q B、Q
P C、P=Q D、
注意：本例容易忽略对m=0的讨论；
题型三.集合与解析几何的联系
[例3]　已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中 ( ) A．不可能有两个元素 B．至多有一个元素
C．不可能只有一个元素 D．必含无数个元素
解析：y－1＝k(x－1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括通过(1,1)与x轴垂直的直线即x＝1.
x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋(y－1)2＝1，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，
∴直线与圆有两个交点，故选C.
点评：集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义．
练习：已知且PQ，求a的取值范围。

(答案：)
题型四.信息给予题
[例4]　设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A、B都是U的子集，若A∩B＝{1,3,5}，则称A、B为“理想配集”，记作(A，B)．这样的“理想配
集”(A，B)共有 ( )
A．7个 B．8个 C．27个 D．28个
解析：由A∩B＝{1,3,5}，可按A∪B分成以下四类求解：①若A∪B＝{1,3,5}，则“理想配集”(A，B)只有一个；②若A∪B＝{1,3,5,2}或A∪B＝{1,3,5,4}或A∪B＝{1,3,5,6}，则“理想配集”(A，B)各有2个，共计6个；
③若A∪B＝{1,3,5,4,6}或A∪B＝{1,3,5,2,4}或A∪B＝{1,3,5,2,6}，则“理想配集”(A，B)各有22个，共计3×22＝12个；④若A∪B＝{1,3,5,2,4,6}，则“理想配集”(A，B)有23＝8个．所以“理想配集”(A，B)共有1＋6＋12＋8＝27个，故应选C.
点评：该题立意新颖，背景公平．考查集合的概念及运算，运用数学中分类讨论思想解题．
练习设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a ＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b |a，b∈Q}也是数域．有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
解析：①整数a＝2，b＝4，不是整数；
②如将有理数集Q，添上元素，得到数集M，则取a＝3，b＝，a ＋b∉M；
③由数域P的定义知，若a∈P，b∈P(P中至少含有两个元素)，则有a
＋b∈P，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈P，∴P中必含有无穷多个元素，∴③对．
④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈Q，则由数域定义知，F＝{a＋b |a、b∈Q}必是数域，这样的数域F有无穷多个．
答案：③④
四、作业：
1.已知集合A={x|m+1≤x≤2m-1}, B={x|x2-3x-10 ≤0}
,若A∩B=A，求m的取值范围（m≤3）
2.已知集合A={x∈R |x2+2x+p=0}. A∩{x∈R|x>0}= ф,求p的取值范围；(P∈[0，+∞）)
3.设若求所有满足条件的a的集合。

{0，-1，1/3}
4．已知集合，，若，求实数的取值范围．
【分析】可能误以为集合是一个一元二次方程的解集导致失误，也可能不考虑集合中对的限制从而在整个实数集上解决这个问题．实际上本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．
【解析】
方法一：由得①
∵，∴方程①在区间上至少有一个实数解，
首先，由，解得：或．
设方程①的两个根为、，
（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；
（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，
故、必有一个在区间内，从而知方程①在区间上至少有一个实数解，
综上所述，实数的取值范围为．
解法二：问题等价于方程组
在，即在上有解，
令，则由知抛物线过点，∴抛物线在上与轴有交点等价于　①　或
②
由①得，由②得，∴实数的取值范围为．
题型四.集合与方程的联系
典型例题
题型一.元素与集合之间的关系
例1.已知集合A={y|y=x2+2x+1,x∈R},
B={x|y=x2+2x+1,x∈R},
C={(x,y）|y=x2+2x+1,x ∈R}, 求A∩B A∩C
解：A={y|y≥0}，B=R，C是一个点集 A∩B=A，A∩C=
例2。

设S为满足下列两个条件的实数所构成集合：
（1）S内不含1；（2） ,
解答下列问题：
（1）2∈S，S中必有其它两个元素，求出这两个元素。

（2）求证：若。

（3）在集合S中元素的个数能否只有一个？请说明理由。

解：（1）为-1，1/2；（2）∵，则∴
（3），在集合S中元素的个数能否只有一个，
但此方程无实数解，因此在集合S中元素的个数不可能只有一个。

练习1：设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.
.w 解：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：
因此，符合题意的集合是：共6个.
故应填6.
练习2：已知 ,求a的值。

解：，
检验：
题型二：集合与集合之间的关系
例3．设集合M={x|x ，k N}，N={x|x ，k Z}，则（ B ）
A. M=N
B. M N
C.N M
D. M∩N=Φ
例4．已知集合A={ x | |x-a|=4},B={1,2,b}
(1)是否存在实数a，使得对于任意的实数b都有A B？若存在，求出对应的a；若不存在，试说明理由?
(2)若A B成立，求出对应的实数对（a,b)
解：A={a+4，a-4}
（1）要使得对于任意的实数b都有A B，则或中至少一个有解。

但这不存在。

所以不存在实数a，使得对于任意的实数b都有A B。

（2）由（1）知a+4=1则b=a-4得（a,b)=（-3，-7）；a+4=2则b=a-4得（a,b)=（-2，-6）；
a-4=1则b=a+4得（a,b)=（5，9）；a-4=2则b=a+4得（a,b)=（6，10）
题型三：集合元素的个数
例5 已知集合{1、2、3、…、100}的两个子集A、B满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集，若n∈A时，总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为。

练习：向50名学生调查对A.B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数30。

赞成B的人数为33。

另外对AB都不赞成的人数比对AB都赞成的人数的3分之一多一人。

问AB都赞成的学生和都不赞成的学生个多少人？（用韦恩图都赞成21人,都不赞成8人）。