2024届河北省承德市3月高三年级第五次调研考试数学试题

2024届河北省承德市3月高三年级第五次调研考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的
值为（ ）
A ．24
7
-
B ．1731
-
C ．24
7 D ．1731
2．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若3
2
AD AB =，则CD CB ⋅=（ ）
A ．18-
B ．-
C ．18
D ．3．若不等式3
2
ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )
A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
B ．9
32,2ln 2ln 5⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．9
32,2ln 2ln 5⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．9,2ln 2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
4．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）
A ．1
B ．1或
1
2
C ．
2
D ．2
±
5．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：
如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2
B ．
32
C ．3
D ．4
7．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥
8．直线
经过椭圆
的左焦点，交椭圆于
两点，交轴于点，若
，则该
椭圆的离心率是（） A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
10．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+
-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523
x x x π
++=
，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．
2
π
B ．
23
π
C ．π
D ．
43
π 11．在边长为3ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．28πB．7π
C．14πD．21π
12．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )
A．60种B．70种C．75种D．150种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设x，y满足条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则23
z x y
=-的最大值为__________.
14．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是________（填序号）．
①0.045
a=；
②这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160；
③这800名学生数学成绩的中位数约为121.4；
④这800名学生数学成绩的平均数为125．
15．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB2OC，则△ABC面积的最大值为_______．
16．已知函数()()ln ()ln x
x e
ax e x f x x ax
--=
-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 个体经营户 100 50 150 合计
140
60
200
（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；
（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望值．
附：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=
++++ ()20P K k ≥ 0.10 0.010 0.001
0k
2.706 6.635 10.828
18．（12分）已知动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）设A ，B 是轨迹C 在()0x ≥上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变
化且3
π
αβ+=
时，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.
19．（12分）已知函数2
()x f x ae x =-.
（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围. （2）当1a ≥时，证明：2
3()12
f x x x +-
. 20．（12分）已知圆()2
2
1:18O x y ++=上有一动点Q ，点2O 的坐标为()1,0，四边形12QO O R 为平行四边形，线段1O R
的垂直平分线交2O R 于点P . （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点2O 作直线与曲线C 交于A B ，两点，点K 的坐标为()2,1，直线KA KB ，与y 轴分别交于M N ，两点，求证：线段MN 的中点为定点，并求出KMN △面积的最大值.
21．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50)
频数
2 b 20 10
（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在[10,20)(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
22．（10分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC
中点，G 为线段EC 中点．
(Ⅰ)求证：FG //平面PBD ； (Ⅱ)求证：BD FG ⊥．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解题分析】
根据三角函数定义得到4tan 3
α=，故24tan 27α=-，再利用和差公式得到答案.
【题目详解】
∵角α的终边过点(3,4)P --，∴4tan 3α=
，2
2tan 24
tan 21tan 7
ααα==--. ∴241
tan 2tan
1774tan 2244311tan 2tan 1147
π
απαπα-
++⎛⎫+=
==- ⎪⎝
⎭-⋅+⨯. 故选：B . 【题目点拨】
本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力. 2．C 【解题分析】
在直角三角形ABC 中，求得1
2
AC cos CAB AB ∠=
= ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量
积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值． 【题目详解】
在直角ABC ∆中，2
C π
∠=
，4AB =，2AC =，，
1
2
AC cos CAB AB ∠=
=， 若32AD AB =
，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+（）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+ 351
1642418222
=⨯-⨯⨯⨯+=． 故选C. 【题目点拨】
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题． 3．C 【解题分析】
由题可知，设函数()ln(1)f x a x =+，32
()2g x x x =-，根据导数求出()g x 的极值点，得出单调性，根据
32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转化为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集
中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数a 的取值范围. 【题目详解】
设函数()ln(1)f x a x =+，32
()2g x x x =-，
因为2
()34g x x x '=-， 所以()0g x '=，
0x ∴=或43x =
， 因为4
03
x << 时，()0g x '<，
4
3
x >
或0x <时，()0g x '>，(0)(2)0g g ==，其图象如下：
当0a 时，()()f x g x >至多一个整数根；
当0a >时，()()f x g x >在(0,)+∞内的解集中仅有三个整数，只需(3)(3)
(4)(4)f g f g >⎧⎨⎩
，
32
32
ln 4323ln 5424
a a ⎧>-⨯∴⎨-⨯⎩， 所以
932
2ln 2ln 5
a <. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力. 4．C 【解题分析】
由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【题目详解】
因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故2
34q =
，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以3
q = C. 【题目点拨】
一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；
（2）公比1q ≠时，则有n
n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；
（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .
5．D 【解题分析】
根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【题目详解】
由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=. 故选：D 【题目点拨】
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 6．C 【解题分析】
根据等差数列的求和公式即可得出． 【题目详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+
54
2
⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．D 【解题分析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【题目详解】
解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.
8．A 【解题分析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为
，且
，
再由
，求得
，代入椭圆的方程，求得
，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.
【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令
，解得，
所以
，即椭圆的左焦点为
，且
① 直线交轴于，所以，，
因为
，所以
，所以，
又由点在椭圆上，得 ② 由，可得
，解得
， 所以
，
所以椭圆的离心率为.
故选A. 【题目点拨】
本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公
式；②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式，转化为
的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范
围)． 9．A 【解题分析】
试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++
2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或11
2
d =-
（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质. 10．C 【解题分析】 根据题意，知当7π3x ω=
时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω
+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期.
【题目详解】
解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+
-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=
时，π5π
62
x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ
2662
x x ωω+
++=⨯， 即122π
3x x ω
+=
. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+
++=⨯，即238π3x x ω
+=， ∴12310π5π233
x x x ω++=
=，2ω=， 所以最小正周期为：2π
π2
T ==. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力. 11．A 【解题分析】
画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据
1OO =CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可
求半径从而求外接球表面积； 【题目详解】
如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.
法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =，
28S π=；
法二：13OO =7R =
28S π=；
法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，
7AE =AC 3
3=cos 27427
AEC ∠=
=⋅⋅
33sin 27
AEC ∠=，33227sin 3327
AC R AEC =
==∠7R =28S π=. 故选：A 【题目点拨】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目. 12．C 【解题分析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案． 【题目详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2
615C =种取法，
从5名女干部中选出1名女干部，有1
55C =种取法，
则有15575⨯=种不同的选法； 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
13
【解题分析】
作出可行域，由23z x y =-得233z y x =-，平移直线233
z
y x =-，数形结合可求z 的最大值. 【题目详解】 作出可行域如图所示
由23z x y =-得233
z y x =-，则3z
-是直线在y 轴上的截距.
平移直线233
z y x =
-，当直线经过可行域内的点M 时，3z
-最小，此时z 最大.
解方程组210x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得13
1
3x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，11,33M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭.
max 111
23333
z ⎛⎫⎛⎫∴=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故答案为：
13
. 【题目点拨】
本题考查简单的线性规划，属于基础题. 14．②③ 【解题分析】
由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=，解得0.035a =，故①不正确；这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为800⨯0.0100.01010)16(0+⨯=，故②正确；设这800名学生数学成绩的中位数为x ，则0.010100.010100.0251012()00.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得121.4x ≈，故③正确；④这800名学生数学成绩的平均
数为950.010101050.01010115⨯⨯+⨯⨯+⨯
0.025101250.035101350.015101450.00510120⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故④不正确．综上，说法正确的序号是②③．
15
．【解题分析】
先根据点共线得到OC OD =，从而得到O 的轨迹为阿氏圆，结合三角形ABC 和三角形BOD 的面积关系可求. 【题目详解】 设32
2
22
CO CD CA CB CE CB λ
λ
λλλ==
+
=
+ B ，O ，E 共线，则
3122
λλ+=，解得1
2λ=，从而O 为CD
中点，故OB ==.
在△BOD 中，BD ＝2
，OB =
，易知O
的轨迹为阿氏圆，其半径r =
故42ABC BOD S S BD r =≤⋅=△△．
故答案为：【题目点拨】
本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 16．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解题分析】
根据指数函数x
y e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为(
)()ln 0x
e ax
x ax --<恒成立问题，凑而可知y ax
=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围. 【题目详解】
由指数函数x
y e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ，
()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax
-<-恒成立，即()
()ln 0x
e ax x ax --<恒成立，ln x e ax x ∴>>，即y ax =是
夹在函数x
y e =与ln y x =的图象之间，
y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.
设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ，
则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m e
k e =⎧⎪⎨=⎪⎩
；
设过原点且与x
y e =相切的直线与函数相切于点(
),n
n e
，
则切线斜率2n
n
e k e n ==，解得：2
1n k e =⎧⎨=⎩；
当1
a e =
时，1ln 0x x e -≤，又ln 0x ax -≠，1a e
∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1
,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【题目点拨】
本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析，()2E X = 【解题分析】
（1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法. （2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果. （3）由已知条件计算出X 的分布列，进而求出X 的数学期望. 【题目详解】
（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）． （2）将列联表中的数据代入公式计算得
222
()200(405010010) 3.175 2.706()()()()1406050150
n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯
所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． （3）以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为2
3
．X 可取0，1，2，3，计算可得X 的分布列为：
()323
E X =⨯
= 【题目点拨】
本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算2k 以及数据的分布列和数学期望，需要正确
运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.
18．（1）2
4y x =或()00y x =<；（2
）证明见解析，定点4,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）设(,)M x y
||1x =+，对x 的正负分情况讨论，从而求得动点M 的轨迹C 的方程； （2）设其方程为y kx b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到4tan
3
4b k π
=
-
，所以443b k k =+=+，
所以直线AB
的方程可表示为43
y kx k =++
，即(4)y k x =+，所以直线AB
恒过定点(-． 【题目详解】 （1）设(),M x y ，
动点M 到定点()1,0的距离比到y 轴的距离多1，
1x =+，0x ≥时，解得2
4y x =，
0x <时，解得0y =.
∴动点M 的轨迹C 的方程为24y x =或()00y x =<
（2）证明：如图，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且120x x ≠， 所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+， 将y kx b =+与2
4y x =联立消去x ，得2
440ky y b -+=，
由韦达定理知124
y y k
+=
，124b y y k =，①
显然2
114
y x =，2
224y x =，
3
π
αβ+=
，()()12124tan tan tan
tan 3
1tan tan 16y y y y π
αβαβαβ++∴=+=
=--，
将①式代入上式整理化简可得：4
tan
3
4b k
π
=
-，
所以4434433
b k k =
+=+，
此时，直线AB 的方程可表示为43
43
y kx k =+
+， 即()43
43
y k x =++
， 所以直线AB 恒过定点434,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
.
【题目点拨】
本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题． 19．（1）2
a
e
（2）证明见解析 【解题分析】
（1）()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，2x x a e =
，设2()x
x
g x e
=，求导根据函数的单调性得到最值，得到答案. （2）证明23()12f x x x +-
，只需证223
12
x e x x x -+-，记21()12x h x e x x =+--，求导得到函数的单调性，得
到函数的最小值，得到证明. 【题目详解】
（1）由题可得，()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解， 则2x x a e =
，令2()x x g x e =，22()x
x
g x e
-'=， 当1x <时，()0,()'>g x g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减. 所以1x =是()g x 的最大值点，所以2
a
e
. （2）由1,x
x a ae
e ∴，所以2()x
f x e x -，
要证明23()12f x x x +-
，只需证22312x e x x x -+-，即证21
102
x e x x +--. 记2
1()1,()1,()2
x
x h x e x x h x e x h x ''=+
--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '
<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '
>单调递增.
所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =，则2
1102
x
e x x +
--， 故23()12
f x x x +-. 【题目点拨】
本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.
20．（Ⅰ）2
21(0)2
x y y +=≠；
（Ⅱ）4. 【解题分析】
（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得121PO PO QO +==22a c >，故可确定点P 轨迹为椭圆（0y ≠），进而求解；
（Ⅱ）设直线方程为1x my =+，点A B ，坐标分别为()()1122,,x y x y ，，联立直线与椭圆方程得122
22
m
y y m -+=
+，1221
2y y m -=+，分别由点斜式求得直线KA 的方程为()111122y y x x --=--，令0x =得()11211M m y y my -+=-，同理得
()2221
1
N m y y my -+=
-，由
2
M N
y y +结合韦达定理即可求解，而()1
2212
KMN
M S MN MN y ⎡⎤=
⋅==--⎣⎦，当,A M 重合交于()0,1点时，可求最值； 【题目详解】
（Ⅰ）12221PO PO PR PO RO QO +=+=
== 所以点P 的轨迹是一个椭圆，且长轴长2a =，半焦距1c =，
所以2
2
2
1b a c =-=，轨迹C 的方程为2
21(0)2
x y y +=≠.
（Ⅱ）当直线AB 的斜率为0时，与曲线C 无交点.
当直线AB 的斜率不为0时，设过点2O 的直线方程为1x my =+，点A B ，坐标分别为()()1122,,x y x y ，.
直线与椭圆方程联立得22
1,
1,2
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()22
2210m y my ++-=. 则122
22
m y y m -+=
+，1221
2y y m -=+. 直线KA 的方程为()111
122
y y x x --=
--. 令0x =得()1121
1
M m y y my -+=
-.
同理可得()2221
1
N m y y my -+=
-.
所以
()()()()()()
122112*********M N m y my m y my y y my my -+-+-+-⎡⎤⎡⎤+⎣⎦⎣⎦=-- ()()()121221212211m m y y y y m y y m y y -++-=
-++
()()22
2
2
22222
m m m m m m m ----+=
-+++
1=-.
所以MN 的中点为()0,1-. 不妨设M 点在N 点的上方， 则()()1
22121142
KMN
M S
MN MN y ⎡⎤=
⋅==--≤⨯+=⎣⎦.
【题目点拨】
本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题 21．（1）0.01,5a b ==，乙公司影响度高；（2）见解析，()2E X = 【解题分析】
（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a ，由导游人数为40人可得b ，再由总收人不低于40可计算出优秀率； （2）易得总收入在[10,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数X 的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可. 【题目详解】
（1）由直方图知，(0.0250.0350.02)101a a ++++⨯=，解得0.01a =， 由频数分布表中知：22010340b ++++=，解得5b =.
所以，甲公司的导游优秀率为：(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=， 乙公司的导游优秀率为：
103
100%32.5%40
+⨯=， 由于32.5%30%>，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在[10,20)中的有0.0110404⨯⨯=人，
乙公司旅游总收入在[10,20)中的有2人，故X 的可能取值为1，2，3，易知：
12423641(1)205C C P X C ====，214236123
(2)205C C P X C ====;
343641
(3)205
C P X C ====.
所以X 的分布列为：
X
1 2 3
P
15 35 15
()1232555
E X =⨯+⨯+⨯=.
【题目点拨】
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题. 22．（1）见解析；（2）见解析．
【解题分析】
分析：（1）先证明FG//PE，再证明FG//平面PBD. （2）先证明BD⊥平面PAC，再证明BD⊥FG．
详解：证明：（1）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，
FG//PE,FG PBD PE PBD
平面，平面，FG||PE，
∴⊄⊂∴
又FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，所以FG||平面PBD
⊥，
（II）因为菱形ABCD，所以BD AC
⊥，
又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD PA
⋂=，
因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA AC A
∴⊥平面PAC，
BD
FG⊂平面PAC，∴BD⊥FG .
点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)证明空间位置关系，一般有几何法和向量法，本题利用几何法比较方便.。