2018高考数学(理)复习 讲学案：考前专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形

第2讲 三角变换与解三角形
正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．三角形形状的判断． 3．面积的计算．
4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
例1 (1)(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sin α－2cos α＝10
2
，则tan 2α等于( ) A.43 B ．－34
C.34 D ．－43
答案 C
解析 ∵sin α－2cos α＝
102
， ∴sin 2α－4sin α·cos α＋4cos 2α＝5
2，
即1－cos 2α2－2sin 2α＋4×1＋cos 2α2＝52，
化简得4sin 2α＝3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝34
，故选C.
(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π
3 C.π
4 D.π6
答案 C
解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π
2.
又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝310
10
. 又sin α＝
55，所以cos α＝255
， 所以sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22
. 所以β＝π4
.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π
4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17
18
答案 C
解析 由3cos 2α＝sin(π
4－α)，
可得3(cos 2α－sin 2α)＝2
2(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝
22
， 所以1＋2sin αcos α＝1
18，
所以sin 2α＝－17
18
，故选C.
(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝1
3，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝_______. 答案 7
9
解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α－cos α＝12cos α－3
2sin α－cos α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1
3
. 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝79. 热点二 正弦定理、余弦定理 1．正弦定理：在△ABC 中，
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝
a 2R ，sin B ＝
b 2R ，sin C ＝c
2R
，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
.
例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.
在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π
3
， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.
(2)由题设可得∠CAD ＝π2，
所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π
6
.
故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π6
1
2AC ·AD ＝1.
又△ABC 的面积为1
2×4×2sin ∠BAC ＝23，
所以△ABD 的面积为 3.
思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝(2b －c )cos A . (1)求角A ；
(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值．
解 (1)由a cos C ＝(2b －c )cos A ， 得sin A cos C ＝(2sin B －sin C )cos A ， 即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A ， 即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即sin B ＝2sin B cos A . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，而0<A <π2，∴A ＝π
3.
(2)由S △ABC ＝103，得12bc sin π
3 ＝103，∴bc ＝40.
∵a ＝7，∴b 2＋c 2－2bc cos π
3＝49，即b 2＋c 2＝89，
于是(b ＋c )2＝89＋2×40＝169，∴b ＋c ＝13(舍负). 热点三 解三角形与三角函数的综合问题
解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．
例3 (2017届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f (x )＝cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＋3cos 2ωx －3
4(ω>0，x ∈R )，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π
4.
(1)求ω 的值及f (x )的对称轴方程；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c .若f (A )＝34，sin C ＝1
3
，a ＝3，求b 的值. 解 (1)f (x )＝cos ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx －3
2cos ωx ＋3cos 2ωx －34
＝12sin ωx cos ωx ＋32cos 2ωx －34 ＝14sin 2ωx ＋34(1＋cos 2ωx )－3
4 ＝14sin 2ωx ＋34cos 2ωx ＝1
2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π3， 由函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，得14T ＝π4，2π
2ω＝π，求得ω＝1.
当ω＝1时，f (x )＝1
2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3. 由2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，求得x ＝π12＋k π
2(k ∈Z )．
即f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π
2
(k ∈Z )．
(2)由(1)知f (A )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝34，即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝32. 所以2A ＋π3＝2k π＋π3或2A ＋π3＝2k π＋2π
3
，k ∈Z ，
解得A ＝k π或A ＝π6＋k π，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π
6
.
由sin C ＝13，C ∈(0，π)，sin A ＝12知，C <π
6，
求得cos C ＝22
3
.
所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
3＋22
6
， 又a ＝3，由正弦定理得b ＝a sin B
sin A
＝
3×
3＋22612
＝3＋26
3.
思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．
跟踪演练3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝⎛⎭⎫π12＝2.
(1)求m 的值；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝⎛⎭⎫
B 2＝3，△AB
C 的面积是3，求△ABC 的周长．
解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，
∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＋m sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝sin π2＋cos π3＋m 2＝2， 解得m ＝1. (2)由(1)知
f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6＋sin 2x ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π
6＋sin 2x
＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3， ∴f ⎝⎛⎭⎫B 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝ 3. ∵0<B <π，π3<B ＋π3<4π
3，
∴B ＋π3＝2π3，则B ＝π
3
.
又∵S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4ac ＝3，
∴ac ＝4.
∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝4， ∴(a ＋c )2＝4＋12＝16，∴a ＋c ＝4，
∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6.
真题体验
1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号) ①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A . 答案 ①
解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ， 等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ， ∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .
2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，
cos(α－β)＝________. 答案 －7
9
解析 由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )，又sin α＝1
3，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79
.
3．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1
6，则tan α＝________. 答案 7
5
解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π
4＝tan α－tan
π
41＋tan αtan
π4＝tan α－11＋tan α＝16
. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝7
5
.
方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4
＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4
＝16＋11－16＝7
5.
4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________. 答案
152
104
解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .
由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝
154，cos ∠ABC ＝14
， 所以S △BDC ＝1
2BC ·BD ·sin ∠DBC
＝12×2×2×154＝152
. 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14
＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，
所以CD ＝10.
由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10
＝10
4.
押题预测
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2
3，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC
的面积为________．
押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点． 答案
52
解析 因为0<A <π，cos A ＝2
3，
所以sin A ＝1－cos 2A ＝
53
. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝
53cos C ＋2
3
sin C ， 结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝
56，cos C ＝1
6
.
于是sin B ＝5cos C ＝
56
. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝ 3.
故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝5
2
.
2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π
3.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．
押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高． 解 (1)f (x )＝
32sin 2ωx －1
2
(cos 2ωx ＋1)＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π
3，
所以ω＝3
2
.
(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝
⎛⎭⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2A ＝sin B sin C ， 所以a 2＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝1
2(当且仅当b ＝c 时取等号)．
因为0<A <π，
所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π
6，
所以－1
2<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6≤1， 所以－1<sin ⎝⎛⎭⎫3A －π6－12≤12， 所以函数f (A )的值域为⎝
⎛⎦⎤－1，1
2.
A 组 专题通关
1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c ＝3，
cos A ＝1
4，则b 等于( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
答案 C
解析 由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14 , b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b ＋1
2)＝0，
解得b ＝2(舍负)，故选C.
2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3 B.33
C ．－
3
3
D ．－ 3
答案 D
解析 因为tan 120°＝
tan 70°＋tan 50°
1－tan 70°tan 50°
＝－3，
即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.
3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α
2的值为( )
A ．－12 B.12 C ．－13 D.1
3
答案 C
解析 由sin α＋cos α＝15平方，得1＋2sin αcos α＝125⇒2sin αcos α＝－24
25⇒(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝
49
25
. 因为α为第四象限角，
所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－7
5，
因此sin α＝－35，cos α＝4
5
，
tan α2＝sin
α2cos α2＝sin α2cos α2cos 2α2＝sin α1＋cos α
＝－351＋
45
＝－1
3，故选C.
4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝22
3，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC
的外接圆的面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π
答案 C
解析 ∵b cos A ＋a cos B ＝2， ∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2，
∴c ＝2，由cos C ＝22
3
，
得sin C ＝13，∴2R ＝c sin C ＝2
1
3＝6，R ＝3，
S ＝π×32＝9π，故选C. 5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝10
10
，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π
4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4
答案 A 解析 ∵sin 2α＝
5
5
，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π， ∴cos 2α＝－25
5且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝
10
10
，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴cos(β－α)＝－310
10，
∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝
1010×⎝⎛⎭⎫－255＋⎝⎛⎭⎫－31010×55
＝－22， cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010
×55＝22，
又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π
4
，故选A. 6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π
4＝________. 答案
310
10
解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝2
2(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55
，
∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22×⎝⎛⎭
⎫55＋255＝31010. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为____平方千米. 答案 21
解析 设△ABC 的对应边边长分别为a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，
cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513⇒sin C ＝1213⇒S ＝12×13×14×1213×250 000＝21×106(平方米)
＝21(平方千米)．
8. (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos ∠BAD ＝－
714，sin ∠CBA ＝21
6
，则BC 的长为________．
答案 3
解析 因为cos ∠BAD ＝－7
14
， 故sin ∠BAD ＝
1－⎝
⎛⎭
⎫－
7142＝32114，
在△ADC 中运用余弦定理，可得
cos ∠CAD ＝1＋7－427＝27
7，
则sin ∠CAD ＝
1－⎝⎛⎭
⎫2772
＝217，
所以sin ∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD ) ＝32114×277＋714×217＝63＋314＝3
2，
在△ABC 中运用正弦定理，可得
BC sin ∠BAC ＝7sin ∠CBA ⇒BC ＝32×7×6
21
＝3.
9．(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B
2.
(1)求cos B ；
(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .
解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B
2，
故sin B ＝4(1－cos B )．
上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝15
17.
故cos B ＝15
17
.
(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝8
17，
故S △ABC ＝12ac sin B ＝4
17ac .
又S △ABC ＝2，则ac ＝17
2.
由余弦定理及a ＋c ＝6，
得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×17
2×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4， 所以b ＝2.
10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π
6个单位长度后得到的函数为奇函数． (1)求f (x )的解析式；
(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围． 解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2＝－f (x )， ∴f (x ＋π)＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2＝f (x )， ∴T ＝π，∴ω＝2，
则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π
3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π
3，
从而f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3. (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，
由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，
又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，∴sin C ≠0， ∴cos B ＝12，∴B ＝π
3
.
∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π
2，
∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π
3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π
3∈(0,1]， ∴f (A )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2A －π
3∈(0,1]． B 组 能力提高
11．(2017届合肥教学质量检测)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A.(]3，6 B.()3，5 C.(]5，6 D.[]5，6 答案 C
解析 ∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π
3.又△ABC 为锐角三角形，
∴⎩
⎨⎧
0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，
∴π6<B <π2， 由正弦定理
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝3
3
2
＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，
∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎡⎦⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎫2π3－B
＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3，又π6<B <π
2， 可得b 2＋c 2∈(5,6]．故选C.
12．(2017·湖北省黄冈市质量检测)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( ) A ．－4
3或0
B.4
3或0 C ．－43
D.43
答案 A
解析 因为2sin θ＝1－cos θ，
所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ
2
，
解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ
2＝0或2，
又tan θ＝2tan
θ
2
1－tan 2θ2
，
当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43，
故选A.
13．(2017届河南省新乡市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝1
9，且a cos B ＋b cos
A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 答案
52
解析 由题设及余弦定理，可得 a a 2＋c 2－b 22ac ＋b b 2＋c 2－a 22bc ＝2⇒c ＝2，
又由余弦定理可得22＝a 2＋b 2－2ab ×19，
即a 2＋b 2＝2
9ab ＋4，
又因为a 2＋b 2≥2ab ，
所以29ab ＋4≥2ab ⇒ab ≤9
4，当且仅当a ＝b 时取等号，
由cos C ＝1
9
，可得sin C ＝
1－192＝1980＝4
9
5， 所以三角形的面积S △ABC ＝1
2ab sin C
＝12×495ab ＝259ab ≤259×94＝52
. 14．(2017届南京市、盐城市模拟)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.
(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)若∠ABC ＝π
4，求△ADC 的面积．
解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β. 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，
所以tan α＝12，tan β＝1
3，
所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β) ＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝12＋1
31－12×13＝1.
又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π
4.
(2)设∠BAD ＝α.
在△ABD 中，∠ABC ＝π
4，AD ＝6，BD ＝3.
由正弦定理得AD sin
π4＝BD
sin α，
解得sin α＝
24
. 因为AD ＞BD ，所以α为锐角， 从而cos α＝1－sin 2α＝
144
. 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝sin αcos π4＋cos αsin π
4
＝
22⎝⎛⎭
⎫24＋144＝1＋7
4. △ADC 的面积S ＝1
2×AD ×DC ·sin ∠ADC
＝1
2×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。