2019年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题 第141—145题 含答案解析

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在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线221x y -=右支上一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 .
解法一：代数解法
d ===
y =关于y 单调递减，故当y →+∞
0y →
故min d =
，故max c = 这里用到了分子有理化，可以有效解决两个根号相减无法判断单调性的问题. 解法二：本题的几何意义就是双曲线的渐近线，是考查双曲线渐近线的一道好题.
注意到双曲线221x y -=的一条渐近线是y x =与直线10x y -+=平行，故双曲线右支上的点到10x y -+=的距离可以理解为双曲线右支上的动点P 到渐近线y x =的距离加上两平
显然当P 无限接近渐近线，距离接近于0
，故min d
，max c = 感知高考刺金142
设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()2
2250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）
A ．()1,3
B ．()1,4
C ．()2,3
D ．()2,4
解法一：设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221212,8
2y y y y M ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()5,0C 为圆心
当12y y ≠-时，124AB k y y =+，()122212440
CM y y k y y +=+- 由()1222121244140
AB CM y y k k y y y y +⋅=⋅=-++-得221224y y +=
所以1
23,2y y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭
由()2
1
2221214104
2y y r CM y y +==+=+ 所以()222212
220y y r =- 故2212,y y 是方程()222242200t t r -+-=的两个不同正根，由0∆>得24r <<
此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条，又显然还存在两条垂直于x 轴的直线满足条件，故24r <<．
解法二：设点同上，3M x =，M
在抛物线内，故M y -<
因为点M 在圆上，故()2
225M M x y r -+=，故22416M
r y =+< 又244M y +>，故2416r <<，即24r <<
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（2015四川第9题）如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则mn 的最大值为（ ） A ．16 B ．18 C ．25 D ．
812 解法一：画出可行域208220,0m n m m n ->⎧⎪-⎪-
≥⎨-⎪>>⎪⎩或2081220,0
m n m m n -<⎧⎪-⎪-≤⎨-⎪>>⎪⎩或20800,0m n m n -=⎧⎪-<⎨⎪>>⎩ （或用导数()()()'280f x m x n =-+-≤对1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即218021200,0m n m n m n +-≤⎧⎪+-≤⎨⎪>>⎩
） 令mn t =，则t m n =，当函数t y n =与可行域相交变化中，看t 的变化可得，当t y n
=与162
y n =-相切时，取得最大值，则两式联立0∆=，解得8,18n t ==
解法二：当20m ->时，822122
n m n m --
≥⇒+≤-，故21218m n mn +≤⇒≤ 当且仅当2,2123,6m n m n m n =+=⇒==时取得等号
当20m -<时，8121822n m n m --≤⇒+≤-，故812182
m n mn +≤⇒≤ 当且仅当2,2189, 4.5m n m n m n =+=⇒==时取得等号，因为2m <，故取不到. 故要使mn 取最大值，应有()21802,8n m m n +=<<>
故()18216mn n n =-<
综上，mn 最大值为18
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（2015福建第8题）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 解：因为0,0a b p ab q +=>=>，故0,0a b >>
所以,,2a b -这三个数排序成,2,a b -或,2,b a -成等比数列，所以4ab = （1） 不妨设0a b >>，则,,2a b -或2,,b a -成等差数列，故22a b -= （2） 由（1）（2）得4,1a b ==，得9p q +=
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（2015山东第10题）设函数()31,12,1
x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ）
A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]0,1
C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[)1,+∞ 解法一：当1a ≥时，有()22a f a =≥，则()()22a f f a =，而()222a
f a =，等式两段成立 当1a <时，有()31f a a =-， 若
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a ≤<，()()312a f f a -=，()3122f a a -=，等式成立 若203a <<，则()()()3311f f a a =--，()3122f a a -=，此时31294a a ->-，不成立 故2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
解法二：换元法，画出函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩
的图象，可知函数()y f x =单调递增 设()f a t =，()()()()()222113
f a t f f a f t t f a a =⇒=⇒≥⇒≥⇒≥。