高三试卷数学-山东省实验中学2024届高三上学期第三次诊断考试(12月)数学试卷及参考答案

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
第Ⅰ卷（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{
}220
M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（
）A.13,22⎛⎤
-
⎥⎝⎦ B.1,12⎛⎤
-
⎥⎝⎦
C.{0,1,2}
D.{0,1}
2.已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（）
A.
85
B.85
-
C.
15
D.15
-
3.数列{}n a 满足2
1n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（
）
A .
充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）
A.
29
B.
827
C.
49
D.
12
5.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面
1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是
A.,1]3
B.6
[
3 C.622,33
D.22
[
,1]3
6.如图，1F ､2F 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两
点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（
）
A.y =±
B.y =±
C.y =
D.y =7.已知函数()()
322
2,1131122,13
26ax x f x x ax a x x -≤⎧
⎪
=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（
）
A.
(),2-∞- B.[
)1,+∞ C.12,2
⎛⎤- ⎥
⎝
⎦
D.
3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（
）
A.
3
B.
6
C.
12
D.
6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（）
A.1012k a =
B.10111012
a m a << C.m k
≥ D.21
2s s =10.已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，
直线π
3x =
为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12
个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）
A .
4
ω= B.π
6
ϕ=-
C.()f x 在间π
,06⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D.()g x 图象关于点π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
对称11.已知函数()()2sin π,0212,22
x x f x f x x ≤≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（
）
A.当[]()*2,22x n n n ∈
+∈N 时，()()
1sin π22n
f x x n =-B.函数()f x 在()*
12,22n n n ⎡
⎤+
∈⎢⎥⎣
⎦
N 上单调递增C.方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根
D.若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]
2,4恒成立，则1
k ≥12.圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．
A.若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆
B.若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分
C.存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ
⊥
D.1AP PQ QB ++的取值范围是第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a
成锐角，则y 的取值范围为________．
14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．
15.若关于x 的不等式(
)
2
2
1e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．
16.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是
点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小
（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．
18.如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．
（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求
PA
SA
的值．19.已知在数列{}n a 中，()()
*11211,n n n a a a n n
++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 的通项公式n
n a b n
=
在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．
20.某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A ()
,B B 王同学9天6天12天3天张老师
6天
6天
6天
12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；
（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()
()
РP M N M N >．
21.已知函数()ln f x x =，()x
g x e =．
（1）若函数()()1
1
x x f x x ϕ+=-
-，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()
00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，
使得直线l 与曲线()y g x =相切．
22.已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；
（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记
AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．
（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；
（ⅱ）求2
213
S S S 的值．
山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．
3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
第Ⅰ卷（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{
}220
M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（
）A.13,22⎛⎤
-
⎥⎝⎦ B.1,12⎛⎤
-
⎥⎝⎦
C.{0,1,2}
D.{0,1}
【答案】D 【解析】
【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.
【详解】因为{}
2
20{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩
⎭
Z ，
所以{0,1}M N ⋂=．故选：D ．
2.已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（）
A.
85
B.85
-
C.
15 D.15
-
【答案】D 【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.
【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18
i 12i 5555
z -----====--+，故复数z 的实部为1
5
-，故选：D
3.数列{}n a 满足2
1n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：由()
2
110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A
4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）
A.
29
B.
827
C.
49
D.
12
【答案】C 【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，
其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为124
279
=.故选：C
5.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面
1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是
A.,1]3
B.6
[
3 C.622,33
D.22
[
,1]3
【答案】B 【解析】
【详解】设正方体的棱长为1，
则1111
1AC AC AO OC OC =
=====
，所
以111133
2122cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==∠=⨯
，1131322cos ,sin 33A OC A OC +-∠=-∠=.
又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC ∠为钝角，所以sin α
的范围为[,1]3
，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.
6.如图，1F ､2F 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两
点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（
）
A.y =±
B.y =±
C.y =
D.y =【答案】A 【解析】
【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a
的值，由b
y x a =±得到双曲线的渐近线
方程.
【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-，
222222
111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,
()()2
2
2222m a m m a -+=+①，()
2
222244m a m c -+=②,
由①可得3,
m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =
,∴
b
a
=,
所以双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±=±.故选：A
【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.
7.已知函数()()
322
2,1131122,13
26ax x f x x ax a x x -≤⎧
⎪
=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（
）
A.
(),2-∞- B.[
)1,+∞ C.12,2
⎛⎤- ⎥
⎝
⎦
D.
3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦【答案】A 【解析】
【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，得到()g x 在R 上递增求解.
【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，则()g x 在R 上递增，
当1x ≤时，()()22g x a x =-+，则20a +<，即2a <-成立；当1x >时，()322213112326
g x x ax a x =
-+-，则()2
2
32g x x ax a '=-+，当
312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得1
2a ≤；
当
312a >，即23a >时，231024a g a ⎛⎫
'=-≥ ⎪⎝⎭
，无解；
又()21311222326a a a -+≤
-+-，即2430a a --≥，解得3
4
a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，故选：A.
8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）
A.
3 B.
6
C.
12
D.
6
【答案】C 【解析】
【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过
11AO O H
AO OF
=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，
G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，
球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，
在底面正三角形BCD 中，易求BE =，233
BG BE =
=
，3AG ∴=，
又3
44
ABC ABD ACD BCD S S S S ====
⨯= ，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++，即得3A BCD
BCD ABC ABD ACD
V R S S S S -=
+++
，又
12622
333A BCD V -==
，66R ∴=
=
，362
AO AG GO =-=-=
，12363
AO AG R r r r =--=
--=-，又1AHO AFO ，可得11AO O H AO OF =即6
12
r =
，即球的最大半径为12.故选：
C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（）
A.1012k a =
B.10111012
a m a << C.m k
≥ D.21
2s s =【答案】AD 【解析】
【分析】利用中位数的定义可判断A 选项；举反例可判断B 选项C ；利用均值和方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因1232023a a a a <<<< ，样本数据最中间的项为1012a ，
由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；
对于B ，不妨令n a n =()8
20231,2,,2022,100n a =⋯=，
则81012122022100122023101220232023
m a +++++++=>== ，B 错误；
对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,1n a =⋯=，
则10121220222022.11220222023
101220232023
m k a ++++++===
<= ，C 错误；
对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：
()
20242024
1
1
212121
2024
2024
i
i i i a a m ==+=
+=+∑∑，
其方差为
1
22s s =
，D 对.
故选：AD 10.已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，
直线π
3x =
为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12
个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）
A.4ω=
B.π
6
ϕ=-
C.()f x 在间π,06⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增 D.()g x 图象关于点π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
对称【答案】BCD 【解析】
【分析】由题意可得
π
22
T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .
【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2
，所以
π2π222T ω
==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，
又直线π
3
x =为()f x 图象的一条对称轴，所以
2πππ32k ϕ+=+，所以π
π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2
ϕ<，所以π
6ϕ=-，故B 正确；
所以()πsin 26f x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
，由π,06x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦
，
所以()f x 在间π,06⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π
12
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-
-=- ⎪ ⎢⎥⎝
⎭
⎝⎭⎣⎦
，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，故D 正确.故选：BCD .
11.已知函数()()2sin π,0212,22
x x f x f x x ≤≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（
）
A.当[]()*2,22x n n n ∈
+∈N 时，()()
1sin π22n
f x x n =-B.函数()f x 在()*
12,22n n n ⎡
⎤+
∈⎢⎥⎣
⎦
N 上单调递增C.方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根
D.若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]
2,4恒成立，则1k ≥【答案】BC 【解析】
【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.
【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩
，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值
变为原来的1
2倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈
+∈N ，()()1
1
sin π22n f x x n -=-，A 项错误；
B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，当[]
2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
和
7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()
*
12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣
⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C
项正确；
D 项，当[]
2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误
.
故选：BC.
12.圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下
底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．
A.若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆
B.若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分
C.存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥
D.1AP PQ QB ++
的取值范围是【答案】BC 【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算
1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.
【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)O
A B -，
()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=
，
由题意，
22=
，化简得，212
y x =-，由于
P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B
正确；
对A ，3PA PB +==，化简得22
1
1
9
420
x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；
对C ，设点P 在下平面的投影为1P ，若AP PQ ⊥，
则222AP PQ AQ +=，则22222
11
11AP PQ AQ +++=，
当1P 在线段AQ 上时，2
2
11
AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222
2
11
242
AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当11
2
AQ
AP PQ ==时等号成立，所以2
2
2
2
1
1
2()2
AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2
A Q 才能取到4，此时点
B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故
C 正确；对
D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，
1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.
故选：BC
【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a
成锐角，则y 的取值范围为________．
【答案】(1,9)(9,)-+∞ 【解析】
【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.
【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a
成锐角，所以422220AB a y y ⋅=+-=+>
，
解得1y >-，
当AB 与a
同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ
=⎧⎨
-=⎩，解得9y =，
此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a
所成角为0，不满足题意，
综上，AB 与a
成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .
故答案为：(1,9)(9,)
-+∞ 14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．【答案】25【解析】
【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．
【详解】设中截面的半径为r ，则5
2
R r +=
①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，
1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，
又 1 2 ::S S =12 ，
(5):()1:2r R r ∴++=②，
将①代入②整理得：25R =.故答案为：25
15.若关于x 的不等式(
)
2
2
1e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．
【答案】(],2e -∞【解析】
【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()
2
2
1e x
x ax ≥+在()0,∞+恒成立，
即()2
21e x x a x
+≤
在()0,∞+恒成立，
设()
()()2
2
1e 0x x f x x x
+=
>，
()()()
2
33333
12211e e e
x x x x x x x x x x f x x x x -+++--+==='-，
其中23
2e 0x
x x x
++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；
在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞.故答案为：(]
,2e -∞16.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是
点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.
【详解】
设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111
y k x =
，21
221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +=
==--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以231
4
k k =-
，又Q 在直线NP 上，所以21
321
y y k x x +=
+，
因M 、Q 在()222210x y
a b a b +=>>上，
所以22
11221x y a b +=，22
22
221x y a b
+=，
两式相减得2222
1212
22
0x x y y a b
--+=，整理得
2212122121y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，
22
213
1144
b e a =-=-=，
故2
e =
.故答案为：
32
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小
（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．【答案】（1）π
3
C =
（2）
332
【解析】
【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；
（2）方法一根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23
AD c =，1
3BD c =，
再由1cos 2C =
，3
cos 2
ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解.方法二根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公
式求解.【小问1详解】
解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，
得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，
所以2221
cos 22
a b c C ab +-==．
因为(0,π)C ∈，所以π
3
C =．【小问2详解】
方法一因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA AD CB DB
==，则有2b a =，23
AD c =
，13BD c =．
由222
2
14cos 24a a c C a +-==
，得c =．
又224
4439cos 28a c ACD a
+-∠==，
将c =
代入，可得2
a =
或a =当32a =
时，32c =，则13
222
DB CB +=+<
，故舍去，所以a =
所以11333
sin 2222
ABC S ab C =
=⨯=
△．方法二因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA AD
CB DB
==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以
1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有
23322
a a =
，所以a =所以21π333
sin 2322
ABC S ab =
==
△．18.如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．
（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求
PA
SA
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）32
PA SA -=
.【解析】
【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；
（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.
【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .
（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.
因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.
以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB a =，
则30,,02A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，30,0,2S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，
则30,,2AP y a z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，330,,22AS a a ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，
解得()312y a λ=
-，3
2
z a λ=，
即(
)0,1,22P a a λλ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =
.设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =
，
因为()133,1,222BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,0CB a = .
所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即()1110
10x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，
令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=-
.
因为二面角P BC A --的大小为60°，
所以
cos ,cos 60m
n m
n m n ⋅〈〉==
︒
，
所以22630λλ-+=.又01λ<<
，解得32λ=
，即32
PA SA =.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19.已知在数列{}n a 中，()()
*11211,n n n a a a n n
++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式n
n a b n
=
在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()
1*2n n a n n -=⋅∈N （2）()31212n
n T n ⎡⎤=-⋅+⎣
⎦【解析】
【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.
（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：
()()*
1
21n n n a a n n
++=⋅∈N ，∴
()121n n n a a n
++=，∴当2n ≥时，132112112232121
n n n n n n
n a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴1
2
,2
n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ；
方法2：∵()()
*
121n n n a a n n
++=⋅∈N ，∴
121n n
a a n n
+=+，又
1
11a =，故0n a n
≠，∴n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为公比为2，首项为1的等比数列．
∴
12n n
a n
-=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．
【小问2详解】
()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n
=
，∴1
2n n b -=.由题知，()()111
2232222
k k
k k k k
k b b k c
k -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()0122133333
12223212222222
n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333
212223212222222
n n n T n n -=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以01221333333
1222222222222
n n n n T n ---=
⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********
n
n n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()3
1212
n n T n ⎡⎤=
-⋅+⎣⎦.20.某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A ()
,B B 王同学9天6天12天3天张老师
6天
6天
6天
12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；
（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()
()
РP M N M N >．【答案】（1）0.6（2）分布列见解析，1.9
（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；
（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.
【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()18
0.630
P C =
=．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，
所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，
()()2110.9P X P X ==-==，
所以X 的分布列为X 12P
0.1
0.9
所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()
()()
()()
()
1P NM P NM P N P NM P M P M
P M ->
=
-所以()()()P NM P N P M >⋅，
所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()
P NM P N P N P NM ⋅>⋅，
所以
()()
()()
P NM P NM P N P N >
，即()()
||P
M N P M N >21.已知函数()ln f x x =，()x
g x e =．（1）若函数()()1
1
x x f x x ϕ+=-
-，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()
00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，
使得直线l 与曲线()y g x =相切．
【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求得函数()y x ϕ=的定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为00
1
ln 1y x x x =
+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为000
1ln 1
x y x x x +=
+，可得00
01ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1
ln 1
x x x x ϕ+=-
-在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11
ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222
121
011x x x x x x ϕ+'=+=>--，
所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()00
1f x x '∴=
，所以，直线l 的方程为()000
1
ln y x x x x -=
-，即001ln 1y x x x =+-，
()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，
则()01t
g t e x '==
，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -
=+，即000
1ln 1
x y x x x +=+，由题意可得000
ln 1ln 1x x x +-=
，则00
01ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001
ln 1
x x x +=-.由（1）知，函数()1
ln 1
x x x x ϕ+=-
-在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()222
2213
2011
e e e e e ϕ+-=-=>--，
由零点存在定理可知，存在唯一的(
)
2
02,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001
ln 1
x x x +=
-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001
ln 1
x x x +=
-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.
22.已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；
（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记
AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．
（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；
（ⅱ）求2
213
S S S 的值．
【答案】（1）24x y =（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）1【解析】
【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；
（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】
设圆心(,)D x y
|1|y =+，化简整理得：2
4x y =，
所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】
（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为2
4
x y =，所以2x y '
=，
∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =
-+，即211
1124y x x x =-，令0y =，得到1
2
x x =，
同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =
-，令0y =，得到22
x x =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫
⎪⎝⎭，联立2
1122211
24
1124
y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=
-⎪⎩
，消y 解得122x x x +=，
所以12,12x x P +⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
又(0,1)F ，∴1
212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =
-，又2
114x y =，所以11102
x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有
10120
2220
220x x y x x y -+=⎧⎨
-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MP
NP FA MA
==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅，∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31
||sin 2
S NB NF BNF =∠‖，∴
2
222131sin (||||)||||21
11||||||||||||
sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NB
NF BNF ⎛⎫
∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
‖
．
【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。