微分方程模型(人口预测)

2、基本假设
根据《国家人口发展战略研究》报告，当前中国人口的 增长有如下特点：
1）中国正进入老龄化社会，老年人的比重在不断加大； 2）农村与城镇育龄妇女的生育率及出生人口性别比有 着较大的区别； 3）农村人口不断城镇化，根据《国家人口发展战略研究》 报告，估计转化率为百分之一。
人口的增长率取决于出生率、死亡率和不同人群之间的 迁移率。而出生率又取决于育龄妇女的生育率及育龄妇女在 总人口中所占得比例。因此，需要对这些相关数据进行分析。
上述矩阵是可以对角化的，即存在可逆矩阵P，使得
1 b 0 u 0 0
A
1
0
P
1
0
v
0
P
P
1BP
0 1 c 0 0 1 c
这样，就得到
(x1, x2 , x3 )Tn (P1Bn P)( x1, x2 , x3 )T0
然后再对xn进行规一化处理
yn ( y1n , y2n , y3n )T
需要考虑的一个问题：农村分别在1970年和1990年前后经 历了两个生于高峰，而指数拟合只能体现出未来分年龄段走势 的主趋势。
添加一个不断减弱的周期性震荡来描述这种周期性变化。
正弦函数
在某次生育高峰后还会周期性地出现新的生育高峰，而文 化素养的提高和晚婚晚育的政策会削弱这种峰值效应。
城镇男性
1 (t ) 2 (t)
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关 数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模 型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们 模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明
xn x 3
i1 in
得到
yin li (1 mi (u v)n )ki , i 1, 2
y3n 1 y1n y2n 其中 li , mi , ki R 由 X n (x1n , x2n , x3n )T 确定。
考虑短期（n<60）,建立简单的微分方程模型
d1(t) dt a1(1(t) b1) d2 (t) dt c1(2 (t) d1) 3 (t) 1 1(t) 2 (t)
f1, f2 , g1, g2 , k1, k2 , 为普通参数。
农村男性
1 (t ) 2 (t)
(r (s
b4 )ea4t d4 )ec4t
b4 g3e f d4 g4e
s3t
f4t
in
sin
(t
(t
) / k3
) / k4
3 (t) 1 1(t) 2 (t)
1(t), 2 (t), 3 (t) 分别为幼年、育龄和老年农村男性人口
1、问题分析
人口问题一直是人们所关注的一个课题。关于人口增长 问题已经有多方面的研究，如马尔萨斯指数增长模型、 Logistic人口阻滞增长模型、偏微分方程模型、Lislie模型等。
我国是一个人口大国，人口增长的数学模型研究有着重 要的意义。2007年国家发布了《国家人口发展战略研究》报 告，对于中国人口的发展现状、未来人口增长模型、人口素 质、人口教育、就业问题以及中国人口现阶段增长特点进行 了总结。本研究基于该文章、《中国人口统计年鉴》等资料 所提供的数据信息建立一个具有中国人口增长特点的常微分 方程初值问题的数学模型，并利用该模型对中国未来人口的 增长状况进行预测。
我国的人口出生率、死亡率与自然增长率
按年龄分组的种群增长
• 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 • 以雌性个体数量为对象 • 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律
假设与建模
• 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n • 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… • 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi • 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di
b3 )ea3t d3 )ec3t
b3 g1e f1tsin
d3 g2e f2t sin
(t
(t
) / k1 )/
k2
3 (t) 11(t) 2 (t)
1(t), 2 (t), 3 (t) 分别为幼年、育龄和老年农村女性人口
比例函数，a3, b3, c3, d3 为非负参数，满足 b3 d3 1
1(t), 2 (t), 3 (t) 分别为幼年、育龄和老年城镇女性人口
比例函数，a1, b1, c1, d1 为非负参数，满足 b1 d1 1
解为
1 (t ) 2 (t)
(r (s
b1 )ea1t d1 )ec1t
b1 d1
3 (t) 1 1(t) 2 (t)
r,s为初值。
同理其它三类（农村男、女、城镇男）有类似的结果。即 0～14和15～49岁两个年龄段的趋势函数都呈指数性下降。
2005年分年龄段人口数量
5）农村人口城镇化 由于农村和城镇人口出生率的较大差异，大量的农村人
口转化为城镇人口对中国人口的增长将造成很大影响，因此 必须把这个因素考虑进去。 《国家人口发展战略研究报告》 预测农村人口的城镇化水平式年增长1%。但考虑到在城镇中 女性在服务业和婚姻方面较男性的优势，可以假设农村男性 以0.9%的比例转化，而女性以1.1%转化。
空间差异
发展中国家：人口增长很快，目前发展中国家每年增 长的人口，在世界人口增长总数中约占90%，原因是：
政治的独立 民族经济的发展
医疗卫生事业的进步
致使人口死亡率下降而 自然增长率高
发达国家：人口增长缓慢，已出现缓慢增长、零增长或 负增长
原因是：由于社会经济和文化教育的发展，人们自愿 节育，出生率逐步下降，目前多已接近零增长，甚至负 增长。
dx dt
112
(t) y
(11(t)
22
(t)
33 (t ))x
1u
dy dt
(11)12 (t) y
(11(t)
22 (t)
33(t))y
2v
du dt
22
2 (t) y
( 1 1 (t )
2 2 (t)
3 3(t))x
1u
dv dt
(1 2
)2
2 (t)v
(1 1 (t )
2
2 (t)
0 0
x80(t
1)
0
0
0
am1 0 0 0 b79
am
0
0
x0
(t
)
x1(t )
x2
(
t
)
0
0
x80
(t
)
其中a15~a50为常数（城镇育龄妇女的女婴生育率），其它为 0。bi=1-ci, ci为i岁城镇女性人口的死亡率。每步得到结果后
进行规一化处理后，进行下一步计算。
L
s2
0
x(k 1) Lx(k)
x(k) Lk x(0)
0
sn1 0
预测任意时段种群
~Leslie矩阵(L矩阵)
按年龄组的分布
题目：中国人口增长预测
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。 根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重 要问题。
3
3 (t ))u
2v
1, 2 1 , 2 1, 2 1, 2 , 3 1,2 ,3
1, 2 , 3 1, 2,3 x, y
u, v
符号规定
城镇、农村育龄女性生育率 城镇、农村男性出生比例 农村男、女转化率 城镇幼年、育龄、老年女性的死亡率 城镇幼年、育龄、老年男性的死亡率 农村幼年、育龄、老年女性的死亡率 农村幼年、育龄、老年男性的死亡率 城镇男、女人口 城镇男、女人口
结论：城镇妇女的幼年阶段与青壮年的育龄阶段所占得比例 的变化呈下降趋势。
证明：将人口分成幼年x1、青壮年x2和老年x3三部分，得到的
X (x1, x2 , x3 )T 满足
x1 1
x2
x3 n 0
b
1
x3 n1
其中α伟每年幼年向青壮年的转化率，β是青壮年向老年 转化率，b是育龄妇女的女婴生育率，c是老年的死亡率。 幼年和青壮年的死亡率很低，予以忽略不计。
以城镇女性人口为例，将城镇女性人口按年龄分作81维 向量，按已知各年龄的人口比例、死亡率和育龄妇女的生育 率，利用Leslie矩阵进行迭代。与通常Leslie矩阵方法不同， 采用的是人口比例而非人口数量。
设
x0
(t
1)
a0
a1
a2
B(t
1)
x1(t 1)
x2(t
1)
b0 0
0 b1
因此，我们可以把中国人口分成城镇男、城镇女、农村 男、农村女四类分别处理，并引进农村人口向城镇迁移的因 素。
3、模型的建立
1）人口分年龄比例的未来走向
由于在讨论出生率和死亡率时涉及到不同年龄段的问题， 需要对上述每一类人口在各年龄段所占得比例做出估计。
对每一类人口按其是否参与生育分为：幼年（0-14岁）、 青壮年（15~49）和老年（50岁以上）三个年龄段人口的比 例来处理。通过数据分析可以看出，老龄化的结果造成老年 人口增加，而幼年和青壮年的人口在总人口中所占得比例则 逐年减少，育龄妇女的生育年龄主要集中在20~35岁，且其 生育率趋于常数。
假设 与
建模
xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量
n
x1 (k 1) bi xi (k ) (设至少1个bi>0) i 1
x i
1
(k
1)
s i
x i
(k),
i
1,2,,
n
1
b1
s 1
b2 0
bn1 0
bn
0
x(k) [x1(k), x2 (k),xn (k)]T
~按年龄组的分布向量
向量各分量依次为第t年的城镇0~80岁女性人口的比例，取 2005年1%抽样人口抽样调查数据位初值，对上式进行迭代， 按上述幼年、青壮年、老年三个年龄段人口的比例来表示。
未来 城镇 育龄 妇女 分年 龄走 势图
从上图可以看出，城镇妇女的幼年阶段与青壮年的育龄阶 段所占得比例的变化呈下降趋势。原因：这两个年龄段人口的 总体死亡率很小，每次迭代都乘以一个小于1的数。
2010年全国大学生数学建模竞赛暑期强化培训
微分方程模型
主讲人：徐世英
人口增长与人口问题背景知识
--中央民族大学理学院--
纵向观察：
世界人口增长是由规律可循的 古代----增长缓慢 近代----人口快速增长
现代----人口“爆炸性”增长
影响人口增长的因素---自然-人文-- 生产力发展水平、经济、 医疗卫生条件、生活等 国际大环境---
1）育龄妇女的生育率： 图中是1994~2005年十年间城镇育龄妇女的生育率，从中
可以看出虽然成下降趋势，但下降趋势趋于缓和。农村育龄 妇女的生育率情况类似，总体数据偏高，需要分开考虑。
1994~2005年育龄妇女的生育率(千分比)
2）出生人口性别比 一般情况下的
人口性别比为105： 100左右。而中国这 10年间人口性比比 远远超过这个比例， 这将导致未来育龄 妇女在总人口中的 比例减少，从而导 致总出生率下降， 因此在本研究中有 必要将出生人口的 男女性别比因素考 虑进去。
1994~2005年男女出生比例(以女性为100)
1）死亡率 不同年龄段的死亡率是不同的，需要将死亡率分年龄段考虑。
城镇女性2005年死亡率(千分比)
4）人口的年龄分布 可以看出过去50年
来的人口出生的变化情 况。15年前（1990）和 35（1970）年前均出现 人口生育高峰。进一步 的数据分析表明，这两 次人口生育高峰主要出 现在农村。也看出近15 年来人口出生的下降趋 势。而50岁以下的人口 由于死亡率很低，这些 人成批进入老年阶段将 使老龄人口的比重加大。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、 出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国 人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做 出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2 就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
(r (s
b2 )ea2t d2 )ec2t
b2 d2
3 (t) 1 1(t) 2 (t)
1(t), 2 (t), 3 (t) 分别为幼年、育龄和老年城镇女性人口
比例函数，a2 , b2 , c2 , d2 为非负参数，满足 b2 d2 1
农村女性
1 (t ) 2 (t)
(r (s
比例函数，a4 , b4 , c4 , d4 为非负参数，满足 b4 d4 1
f3, f4 , g3, g4 , k3, k4 , 为普通参数。
预测模型 确定城镇和农村男女各年龄段的比例函数，根据假设：生 育率是由育龄妇女的数量决定、农村和城镇育龄妇女的生育率 均不变、出生人口性别比均不变、各年龄段人口的死亡率不变、 农村人口按照一定的常数比例向城镇迁移，来建立模型。